專題16」二次根式【九大題型】

【人教版】

”幺國應自

【題型1根據二次根式概念判斷二次根式】........................................................1

【題型2根據二次根式的定義求字母的值】.......................................................2

【題型3根據二次根式有意義條件求范圍】.......................................................4

【題型4根據二次根式有意義條件求值】.........................................................4

【題型5利用二次根式的性質化簡（數字型）】...................................................6

【題型6利用二次根式的性質化簡（字母及復合型）】.............................................7

【題型7根據參數范圍及二次根式的性質化簡二次根式】..........................................9

【題型8含隱含條件的參數范圍化簡二次根式】..................................................10

【題型9復雜的復合型二次根式化簡】...........................................................12

”會話一更三

【知識點1二次根式的定義】

形如?（。20）的式子叫做二次根式，廠叫做二次根號，。叫做被開方數.

【題型1根據二次根式概念判斷二次根式】

【例1】（2022春?寧津縣期末）下列各式中，一定是二次根式的個數為（）

V3?Vm,y/x2+1,V4,V—m2—1,芋（〃20）,y/2a+1（〃<：）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【分析】根據二次根式的定義即可作出判斷.

【解答】解：目一定是二次根式；

當〃7Vo時.，標不是二次根式；

對于任意的數X,.3+1>0，則+1一定是二次根式;

海是三次方根，不是二次根式；

-nr-1<0,則AZ—TH?一1不是二次根式;

日是二次根式；

當aV京寸，2.+1可能小于0,不是二次根式.

故選：A.

【變式1-1］（2022春?順平縣期末）下列各式是二次根式的是（）

A.V^2B.-V2C.V2D.Vx

【分析】根據二次根式的定義，形如聲（〃20）的式子是二次根式，即可解答.

【解答】解：A、々無意義，故A不符合題意；

B、-或是二次根式，故B符合題意；

C、尤不是二次根式，故。不符合題意：

D、6G20）是二次根式，故。不符合題意；

故選：8.

【變式1-2］（2022春?宜城市期末）在式子&，V3,kH；1+），中，二次根式有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據二次根式的定義，形如傷（〃20）的式子是二次根式，即可解答.

【解答】解：在式了遮，V3?Vx2+1）人+y中，二次根式有魚，Vx2+1>

共有2個，

故選：B.

【變式1-3］（2022春?鳳慶縣期末）下列各式：瓜而，U，V8,V7^T（x>1）,Vx24-2x+l+，

一定是二次根式的有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【分析】利用二次根式的定義對每個式子進行判斷即可.

【解答】解：???式子口（。20）是二次根式，

???代，口后二I（121）,山d+2%+1是二次根式,Q5無意義，那是三次根式，

一定是二次根式的有：y/5,Vx—1（x21）,Vx2+2x4-1,

故選：B.

【題型2根據二次根式的定義求字母的值】

［ft2］（2022春?萊州市期末）若際是整數，則正整數〃的最小值是（）

A.IB.3C.6D.12

【分析】根據12=2?X3,若際是整數，則12〃一定是一人完全平方數，據此即可求得”的值.

【解答】解：???12=22X3,

???S石是整數的正整數〃的最小值是3.

故選:B.

【變式2-1]（2022春?昭陽區校級月考）若胸是整數，則正整數〃的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】先化簡歷，然后根據二次根式的定義判斷即可.

【解答】解：???順=4\療，

???正整數〃的最小值是：5.

故選：D.

【變式2-2】（2022春?信州區校級月考）當工=-;時，代數式3->/^下1有最大值，其最大值是3.

【分析】根據二次根式的非負性分析求值.

【解答】解：不12

A-V2X+1<0,

A3-V2X+1<3,

當2x+1=0時，即x=—也

3-辰工彳有最大值為3,

故答案為：—/3.

【變式2-3]（202式金牛區校級自主招生）已知〃為實數，則代數式“27—12。+2a2的最小值為（）

A.0B.3C.3A/3D.9

【分析】把被開方數用配方法整理，根據非負數的意義求二次根式的最小值.

【解答】解：???原式="27-12a+2a2

=J2（M-6a+9）+9

=J2（a-3尸+9

.??當（"-3）2=0,即a=3時

代數式'27-12a+2a2的值最小,為眄即3

故選：B.

【知識點2二次根式有意義的條件】

（1）二次根式中的被開方數是韭負數；（2）二次根式具有非負性：g0.

【知識點3判斷二次根式有意義的條件】

（1）如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數都必須是

韭負數；（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零.

【題型3根據二次根式有意義條件求范圍】

【例3】（2022春?來鳳縣期末）若代數式—1在實數范圍內有意義,則x的取值范圍是（）

A.x>5B.x25C.xW5D.x<5

【分析】根據二次根式的被開方數是非負數即可得出答案.

【解答】解：120,

故選：B.

【變式3-1］（2022春?泰山區期末）若式子”有意義，則。的取值范圍為（）

a-2

A.?1B.。羊2C.-1且D.a>-1

【分析】既要使二次根式后TT有意義，即。+1N0,又要使分式有意義，即4-2W0即可.

【解答】解：由題意得，

。+120且“-2W0,

卻心-I且4#2,

故選：C.

【變式3-2］（2022春?泰山區期末）若J（3x-4尸=4一3%,則x的取值范圍是」式

【分析】根據二次根式的性質列出不等式即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：4-3G0,

?j4

--X-3f

故答案為：

【變式3-3］（2022春?睢縣期中）若里有意義，則x的取值范圍為.GO且#6.

【分析】應從兩方面考慮X的取值范圍：分母不為0和二次根式有意義.

【解答】解：由有有意義，則6?k|W0且4x20,

6Txi

解得工20且xW6.

【題型4根據二次根式有意義條件求值】

【例4】（2022春?海淀區校級期末）已知小〃都是實數，。=Y1五+/^二1一2,則M的值為4

【分析1直接利用二次根式有意義的條件得出。，〃的值，進而得山答案.

【解答】解：由題意可得，

[1-2a>0

14a-2>O'

解得：a=I，

則b=-2,

故G的值為(？9=4.

故答案為：4.

【變式4-1](2022春?西湖區校級期中)某數學興趣小組在學習二次根式必二|a|后，研究了如下四個問

題，其中錯誤的是()

A.在41的條件下化簡代數式a+Va2-2a+l的結果為2a?1

B.a+Va2-2a+1的值隨a變化而變化,當。取某個數值時，上述代數式的值可以為0.6

C.當a十7a2-2a+1的值恒為定值時,字母a的取值范圍是“W1

D.若迎2-2。+1=(Va-1)2,則字母a必須滿足a21

a—l(a>l)

0(a=1),然后逐個選項進行判斷即可.

1-a(a<1)

a-l(a>l)1

0(a=1),

(1-a(a<l)

2

當a>1時，Q+y/a—2a+1=a+a-1=2a-1,

2

當a=1時,Q+Va-2a4-1=a+a-1=2a-1=1,

當a<1時，a+Va2-2a4-1=a-a+\=\,

因此A選項、C選項、。選項均正確，只有8選項不正確，

故選：B.

【變式4-2】(2022春?海安市校級月考)若是實數，且y〈五=！+代工+%求詈的值為-1.

【分析】根據二次根式有意義的條件可得｛；二;解不等式組可得x=l,進而可得yV點再根據絕

對值的性質可得1-)，>(),然后化簡約分即可.

【解答】解：由題意得：｛；二;3；，

解得：x=l,

則yV%

”yl_^y.=_],

y-1y-1

故答案為：?1.

【變式4-3]（2022?勃利縣期末）已知a滿足|2017-a|+Va—2018=a,則a-20172的值是2018

【分析】先依據二次根式有意義得到“22018,進而化簡原式求出答案.

【解答】解：V|2OI7-?|+Va-2O18=?,

：.a-2U1K2,

故々22（）18,

則原式可變為：a-2017+Va-2018=a,

故a-2018=20172,

則a-20172=2018.

故答案為：2018.

【知識點4二次根式的性質】

性質1：（V5）2=a（a>0）,即一個非負數的算術平方根的平方等于它本身；

性質2：^=\a\4a（a-0），即一個任意實數平方的算術平方根等于它本身的絕對值.

-a（a<0）

【題型5利用二次根式的性質化簡（數字型）】

【例5】（2022春?平山縣期末）二次根式斤取的值是（）

A.-2B.2或?2C.4D.2

【分析】根據算術平方根的意義，可得答案.

【解答】解：正可=2,故D正確，

故選：O.

【變式5-1]（2022春?金東區期中）下列計算正確的是（）

A.V9=±3B.7n+3Z=5C.V4=2D.7（-3）2=-3

【分析】根據二次根式的性質即可求出答案.

【解答】解：A、原式=3,故A不符合題意.

B、原式=丁4+9=VT5,故8不符合題意.

C、原式=2,故。符合題意.

D、原式=3,故。不符合題意.

故選：c.

【變式5-2】（2022春?樂清市期末）當。=5時，二次根式的值是（）

A.3B.2C.1D.-1

【分析】把〃=5代入式子中，進行計算即可解答.

【解答】解：當。=5時，二次根式14+。=>/4+5=我=3,

故選：A.

【變式5-3］（2022春?辛集市期末）下列各式中，正確的是（）

A.V25=±5B.J-（V5）2=V5C.J16j=4^D.：

【分析】根據算術平方根的定義，二次根式有意義的條件，立方根的定義可進行判斷.

【解答】解:A.???5?=25,

AV25=5,A不符合題意；

B.V-（V5）2=-5<0,

'J-（通）2無意義,3不符合題意；

C.J16^=后=苧B45C不符合題意；

°?腎°符合題意，

故選：D.

【題型6利用二次根式的性質化簡（字母及復合型）】

［例6］（2022?泗水縣二模）已知y=’（無_3）2_燈+4,當x分別取正整數1,2,3,4,5,2022

時，所對應y值的總和是（）

A.2026B.2027C.2028D.2029

【分析】根據二次根式的性質得出當X-3N0H寸，），=1；當廠3<0時，），=7-2x,分別求出x=l,x=

2時，y的值，再求出答案即可.

【解答】解：y=-3尸-A+4=|X-3|-x+4,

當x-32（）,即43時，y=x-3-x+4=l：

當x-3V（）,即xV3時，y=3-x-x+4=7-2t,

當x=1時，y=5,

當x=2時，y=3,

所以當刀分別取正整數1,2,3,4,5,…，2022時，所對應），值的總和5i3i1i1i1i1i???i1

=9+2019XI

=9+2019

=2028,

故選：C.

【變式6-1］（2022秋?南昌期末）閱讀下面的解題過程，判斷是否正確？若不正確，請寫出正確的解答.

已知m為實數，化簡；——m/-----

7m

,W：原式二-m--myj-m

=（—m—lyyJ—rn.

【分析】根據二次根式的性質，機口成立，則〃?為負數，由此可先判斷已知解答是錯誤的，再化簡解

\Jm

答即可.

【解答】解：不正確,

?「工成立，則加為負數,

根據題意，加

yjm

3

-V—m—m7I---m-

=my/—m+

=my/—m+，一m

=(7??+1)y/-m.

【變式6-2］（2022春?鳳凰縣月考）若式子"4一4Q+a?與“談一8a+16的和為2,則。的取值范圍是，

【分析】根據二次根式的性質，得出。-220且a?4W0,進而確定。的取值范圍.

（解答］解：'：V4-4a+a2+Va2-8a+16

=J（a—2>+J（a-4尸

=|t/-2|+|?-4|,

當a>4時，原式=a-2+a-4=2a-6,因此不符合題意；

當2WaW4時，原式=。-2+4-。=2,因此符合題意;

當aV2時，原式=2-a+4-〃=6-2”，因此不符合題意:

???2(aW4,

故答案為：2WaW4.

【變式6-3](2022?綿陽模擬)等式巧行口=-4/71工成立的x的取值范圍在數軸上表示為()

【1.f

A.-101

---11??~?

B.-101

1___

C.-101

.I1A

D.-I01

【分析】根據二次根式有意義的條件即可求出x的范圍.

【解答】解：由題意可知：｛：：；>0，

解得：-IWXWO,

故選：A.

【題型7根據參數范圍及二次根式的性質化簡二次根式】

【例7】(2022春?黃驊市期中)己知小從。在數軸上的位置如下圖：化簡代數式后-|a+〃|+照可+|b+c|

的值為-a

11、

h20c

【分析】首先根據數軸確定。、尻C的符號，再由二次根式的性質及有理數的加減法法則確定各個絕對

值里面的式子的符號，然后去掉絕對值符號，從而對?所求代數式進行化簡.

【解答】解：根據數軸可以得到：hVaVOVc,且網>|小

/.fl+Z?<0?c-?>0,b+c<0,

Va2—\a+b\+yj(c—a)2+\b+c\,

=|?|-\a+b\+\c-a\+\b+c\,

=-a+(a+b)+(c-67)-(b+c)?

=-a+a+b+c-a-b-Cf

故答案為：-a.

【變式7-1](2022?寧波)已知：aV0,化簡j4-(a+^)2-^4+(a-^)2=

【分析】根據二次根式的性質化簡.

又???二次根式內的數為非負數

/.a-

-a=0

.*.a=\或?1

Va<0

：,a=-1

???原式=0-2=-2.

【殳式7-2]（2022?廣饒縣期末）實數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化洵卜列代數式的值標一

J（c-a+b）2+|/?+c|-=-b.

ab0c

【分析】根據數軸得出VbVOVc,同>同>族|,根據二次根式的性質得出悶?|c-a+b|+|Hc|■力，去掉絕

對值符號后合并即可.

【解答】解：:從數軸可知：a<b<O<c,匕|>間>1例，

，原式=同-匕-。+。|+由+c|?。

=-a-c+a-b+b+c-b

=-b,

故答案為：-b.

【變式7-3]（2022春?禹州市校級月考）已知1VXV3,求，1-2%+/+g-8%+16的值.

【分析】利用x的取值范圍，結合完全平方公式將原式開平方求出答案.

【解答】解：???1VXV3,

V1—2%+x2+Vx2—8x+16

=V（x-l）2+V（x-4）2

=x-1+4-x

=3.

【題型8含隱含條件的參數范圍化簡二次根式】

【例8】（2022?建湖縣一模）2、6、m是某三角形三邊的長，則—4。一—8產等于（）

A.2m-12B.12-2/HC.12D.-4

【分析】直接利用三角形三邊關系得出〃?的取值范圍，進而化簡二次根式得出答案.

【解答】解：???2、6、是某三角形三邊的長，

，4VmV8,

?*.m-4>0?rn-8<0?

/.—4)2—J(m-8)2

=m-4-(8-/〃)

=m-4-8+，n

=2m-12.

故選：A.

【變式8-1](2022春?辛集市期末)已知冷Y0,化簡；*點

【分析】根據題意可知，)，V0,然后對二次根式進行化簡，杈據孫V0,去絕對值號.

【解答】解：??,二次根式X",

/.y<0,

Vxy<0,

ER帝"母尸,

故答案為：Q.

【變式8-2](2022?徐匯區校級月考)如果a,b,c為三角形A8C的三邊長，請化簡：J(a-b+c.+

7(/?—c—a)2=2a-2。+2c.

【分析】直接利用三角形三邊關系得出〃-力+c>(),b-c-a<(),進而利用二次根式的性質化簡得出答

案.

【解答】解：:小b,c為三角形A8C的三邊長，

??a-b+c>0,b-c-a<0,

；?原式=a?)+c-(b?c?a)

=a-b+c-b+c+a

=2a-2b+2c.

故答案為:2a-2b+2c.

【變式8-3](2022春?靖江市期末)已知：機是西的小數部分，求，氏2+.一2的值.

【分析】先估算得到〃?=逐一2,則工=6=6+2,即L>〃?，利用完全平方公式得到原式=

mV5-2m

](m二)2,再根據二次根式的性質得到原式=加-2I，去絕對值得原式=-〃葉工，然后把m和工的值

Mmmm7n

代入計算即可.

【解答】解：是6的小數部分，

m=x/5—2,

原式="加一3)2=依一訝

..,/〃=V5—2,

=-7^—=V5+2,BP->in,

mV5-2m

；?原式=-(m——m)

--m+—m

=-(V5-2)4-V5+2

=4.

【題型9復雜的復合型二次根式化簡】

【例9】(2022?思明區校級期末)若。=2021X2022-202產，b=1013X1008-1012X1007,c=

J20192+2020+2021,則a,b,c的大小關系是()

A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【分析】先化簡各式，然后再進行比較即可.

【解答】解：4=2021X2022-20212

=2021X(2022-2021)

=2021X1

=2021；

&=1O13X1OO8-1012X1007

=(1012+1)(1007+1)-1012X1007

=1OI2X1007+1012+1007+1-1012X1007

=1012+1007+1

=2020；

c=V20192+2020+2021

=7(2020-I)2+2020+2021

=V20202-2x2020+1+2020+2021

=5/20202+2：

r.2020VJ20202+2<2021,

?\b<c<af

故選：D.

【變式9-1](2022?興平市期中)像丁4-25J畫-鬧…這樣的根式叫做復合二次根式.有一些復合

二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡，如：V4-2V3=V3-2V3+1=J(V3)2-2X>/3+I2=

J(V3—I)2=V3—1；再如：Js+2瓜=13+2后+2=J(百/+2x4-(>/2)2=J(V3+V2)2=

乃+企.請用上述方法探索并解決下列問題：

(1)化簡：V11+2V30=_店+V6_,V24-6715=_V15-3_；

(2)若a+6>/5=2.且白，加，〃為正整數，求a的值.

【分析】(1)將被開方數寫成完全平方式，再化簡.

(2)變形已知等式，建立小加，〃的方程組求解.

【解答】解⑴

J11+2同=J5+2同+6=J(花〉+2通x述+(石產=J(花+㈣2=V5+V6.

V24-6V15=V15-6715+9=J(V15)2-2x3xV154-32=J(V15-3)2=V15-3.

(2)1?(771+VSn)2=m2^5n2-^-2