黑龍江省牡東部地區四校聯考2025屆高二數學第二學期期末監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取4%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，202．“已知函數，求證：與中至少有一個不少于.”用反證法證明這個命題時，下列假設正確的是（）A．假設且B．假設且C．假設與中至多有一個不小于D．假設與中至少有一個不大于3．如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20nmile，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30A．20(2+C．20(6+4．現有甲、乙等5名同學排成一排照相，則甲、乙兩名同學相鄰，且甲不站兩端的站法有（）A．24種 B．36種 C．40種 D．48種5．中國古代儒家提出的“六藝”指:禮?樂?射?御?書?數.某校國學社團預在周六開展“六藝”課程講座活動,周六這天準備排課六節,每藝一節,排課有如下要求:“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰,則針對“六藝”課程講座活動的不同排課順序共有()A．18種 B．36種 C．72種 D．144種6．下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是（）①2018能被2整除；②一切偶數都能被2整除；③2018是偶數；A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①7．設函數，，若存在唯一的整數，使，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．（為虛數單位），則復數對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．設函數可導，則等于（）A．B．C．D．10．若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．11．用反證法證明某命題時，對結論：“自然數中恰有一個偶數”正確的反設為（）A．中至少有兩個偶數 B．中至少有兩個偶數或都是奇數C．都是奇數 D．都是偶數12．定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”，若函數，，的“新駐點”分別為，則的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為__．14．某學校高三年級700人，高二年級700人，高一年級800人，若采用分層抽樣的辦法，從高一年級抽取80人，則全校總共抽取______人.15．已知正方體的棱長為2，是棱的中點，點在正方體內部或正方體的表面上，且平面，則動點的軌跡所形成的區域面積是______.16．命題“∈R，＋2+2≤0”的否定是三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）數列滿足）.（1）計算，并由此猜想通項公式；（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想.18．（12分）已知函數f(x)=axx2+1+a(1)求函數f(x)的單調區間；(2)求證:當a>0時,對于任意x1,x19．（12分）某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜.過去50周的資料顯示，該地周光照量X(小時)都在30小時以上，其中不足50小時的周數有5周，不低于50小時且不超過70小時的周數有35周，超過70小時的周數有10周.根據統計，該基地的西紅柿增加量y(百斤)與使用某種液體肥料x(千克)之間對應數據為如圖所示的折線圖．（1）依據數據的折線圖，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系？請計算相關系數r并加以說明(精確到0.01)(若，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合)（2）蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀最多可運行臺數受周光照量X限制，并有如表關系：周光照量（單位：小時）光照控制儀最多可運行臺數321若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損1000元.以過去50周的周光照量的頻率作為周光照量發生的概率，商家欲使周總利潤的均值達到最大，應安裝光照控制儀多少臺？附：相關系數，參考數據：，，，20．（12分）已知函數.（1）求此函數的單調區間；（2）設．是否存在直線（）與函數的圖象相切？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．21．（12分）求曲線，，所圍成圖形的面積．22．（10分）使用支付寶和微信支付已經成為廣大消費者最主要的消費支付方式，某超市通過統計發現一周內超市每天的凈利潤(萬元)與每天使用支付寶和微信支付的人數(千人)具有相關關系，并得到最近一周的7組數據如下表，并依此作為決策依據.周一周二周三周四周五周六周日131626222529307111522242734(Ⅰ)作出散點圖，判斷與哪一個適合作為每天凈利潤的回歸方程類型？并求出回歸方程(，，，精確到)；(Ⅱ)超市為了刺激周一消費，擬在周一開展使用支付寶和微信支付隨機抽獎活動，總獎金7萬元.根據市場調查，抽獎活動能使使用支付寶和微信支付消費人數增加6千人，7千人，8千人，9千人的概率依次為，，，.試決策超市是否有必要開展抽獎活動？參考數據:，，，.參考公式：，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由扇形圖能得到總數，利用抽樣比較能求出樣本容量；由分層抽樣和條形圖能求出抽取的高中生近視人數.【詳解】用分層抽樣的方法抽取的學生進行調查，樣本容量為：，抽取的高中生近視人數為：，故選A.該題考查的是有關概率統計的問題，涉及到的知識點有扇形圖與條形圖的應用，以及分層抽樣的性質，注意對基礎知識的靈活應用，屬于簡單題目.2、B【解析】分析：因為與中至少有一個不少于的否定是且，所以選B.詳解：因為與中至少有一個不少于的否定是且，故答案為：B.點睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)兩個數中至少有一個大于等于a的否定是兩個數都小于a.3、B【解析】由題意可知：SM=20，∠NMS=45°∴SM與正東方向的夾角為75°，MN與正東方向的夾角為60°，∴SNM=105°，∠MSN=30°?MNS中利用正弦定理可得MNMN=∴貨輪的速度v=故選B4、B【解析】

對5個位置進行編號1，2，3，4，5，則甲只能排在第2，3，4位置，再考慮乙，再考慮其它同學.【詳解】對5個位置進行編號1，2，3，4，5，∵甲不站兩端，∴甲只能排在第2，3，4位置，（1）當甲排在第2位置時，乙只能排第1或第3共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A（2）當甲排在第3位置時，乙只能排第2或第4共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A（3）當甲排在第4位置時，乙只能排第3或第5共2種排法，其他3位同學有A3∴共有2×A∴排法種數N=12+12+12=36種.分類與分步計數原理，在確定分類標準時，一般是從特殊元素出發，同時應注意元素的順序問題.5、D【解析】

由排列、組合及簡單的計數問題得：由題意可將“射”和“御”進行捆綁看成一個整體，共有種，然后與“禮”、“數”進行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種，再相乘得解．【詳解】由題意“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰，可將“射”和“御”進行捆綁看成一個整體，共有種，然后與“禮”、“數”進行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種，由于是分步進行，所以共有種，故選：D.本題考查排列、組合及簡單計數問題，根據問題選擇合適的方法是關鍵，此類問題常見的方法有元素優先法、捆綁法、插空法等，本題屬于中等題.6、C【解析】分析：根據三段論的一般模式進行排序即可．詳解：由題意知，“一切偶數都能被2整除”是大前提，“2018是偶數”是小前提，“2018能被2整除”是結論．故這三句話按三段論的模式排列順序為②③①．故選C．點睛：“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結論——根據一般原理對特殊情況做出的判斷．7、C【解析】

先確定是唯一整數解,再通過圖像計算得到范圍.【詳解】是函數單調遞減；函數單調遞增.存在唯一的整數，使取，，滿足，則0是唯一整數.恒過定點如圖所示：

即綜上所訴：故答案選C本題考查了函數的圖像，函數的單調性，首先確定0是唯一解是解題的關鍵.8、A【解析】

通過求出，然后得到復數對應的點的坐標．【詳解】由得所以復數在復平面對應的點在第一象限．本題主要考查復數的基本概念，兩個復數代數形式的除法，復數與復平面內對應點之間的關系，屬于基礎題．9、C【解析】，故選C.10、D【解析】因為，由題設可得在上恒成立，令，則，又，且，故，所以問題轉化為不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立．令函數，則，應選答案D．點睛：本題的求解過程自始至終貫穿著轉化與化歸的數學思想，求函數的導數是第一個轉化過程，換元是第二個轉化過程；構造二次函數是第三個轉化過程，也就是說為達到求出參數的取值范圍，求解過程中大手筆地進行三次等價的轉化與化歸，從而使得問題的求解化難為易、化陌生為熟悉、化繁為簡，彰顯了數學思想的威力．11、B【解析】

用反證法證明某命題時,應先假設命題的反面成立，求出要證的命題的否定，即為所求.【詳解】解：用反證法證明某命題時,應先假設命題的反面成立，及要證的命題的否定成立，而命題：“自然數中恰有一個偶數”的否定為“中至少有兩個偶數或都是奇數”，故選：B.本題主要考查用反證法證明數學命題，求一個命題的否定，屬于中檔題.12、A【解析】分析：分別對g（x），h（x），φ（x）求導，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），則它們的根分別為α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分別討論β、γ的取值范圍即可．詳解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由題意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，當β≥1時，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，這與β≥1矛盾，∴﹣1＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0時等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故選A．點睛：函數、導數、不等式密不可分，此題就是一個典型的代表，其中對對數方程和三次方程根的范圍的討論是一個難點．兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質得到大小關系，有時可以代入一些特殊的數據得到具體值，進而得到大小關系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由三視圖可分析，幾何體應是相同的兩個三棱錐，并排放置，并且三棱錐的某個頂點的三條棱兩兩垂直，根據圖中數據直接計算體積.【詳解】由三視圖可分析，幾何體應是相同的兩個三棱錐，并排放置，并且三棱錐的某個頂點的三條棱兩兩垂直，.故填：.本題考查了根據三視圖計算幾何體的體積，屬于簡單題型.14、220.【解析】分析：根據學生的人數比，利用分層抽樣的定義即可得到結論．詳解：設全校總共抽取n人，則：故答案為220人.點睛：本題主要考查分層抽樣的應用，根據條件建立比例關系是解決本題的關鍵，比較基礎．15、【解析】

分別取的中點,并連同點順次連接,六邊形就是所求的動點的軌跡,求出面積即可.【詳解】如下圖所示：分別取的中點,并連同點順次連接，因為是三角形的中位線,所以平面,平面,同理都平行平面,所以就是所求的動點的軌跡,該正六邊形的邊長為,所以正六邊形的面積為：.故答案為本題考查了直線與平面平行的判定定理的應用,考查了數學運算能力、空間想象能力.16、"，x2＋2x+2>0；【解析】

解：因為命題“∈R，＋2+2≤0”的否定是"，x2＋2x+2>0三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）分別令，可求解的值，即可猜想通項公式；（2）利用數學歸納法證明.試題解析：（1），由此猜想；（2）證明：當時，，結論成立；假設（，且），結論成立，即當（，且）時，，即，所以，這表明當時，結論成立，綜上所述，.考點：數列的遞推關系式及數學歸納法的證明.18、（1）當a>0時,f(x)的單調遞增區間為(-1,1),單調遞減區間為(-∞,-1),(1,+∞)；當a<0時,f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1),(1,+∞),單調遞減區間為(-1,1)；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（I）首先求出函數f(x)的導數，對字母a進行分類討論，根據f'(x)>0，可知f(x)函數單調遞增，f'(x)<0時f(x)函數單調遞減可得答案．（Ⅱ）要證當a＞0時，對于任意x1，x2∈（0，e]，總有g(x1)＜f(x試題解析解：（Ⅰ）函數f(x)的定義域為R，f'當a>0時，當x變化時，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'-

0

+

0

-

f(x)

↘

↗

↘

當a<0時，當x變化時，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'+

0

-

0

+

f(x)

↗

↘

↗

綜上所述，當a>0時，f(x)的單調遞增區間為(-1,1)，單調遞減區間為(-∞,-1)，(1,+∞)；當a<0時，f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1)，(1,+∞)，單調遞減區間為(-1,1).5分（2）由（1）可知，當a>0時，f(x)在(0,1)上單調遞增，f(x)>f(0)；f(x)在(1,e]上單調遞減，且f(e)=aee2+1+a>a.所以x∈(0,e]時，f(x)>a令g'(x)=0，得①當0<a<e時，由g'(x)>0，得0<x<a；由g'所以函數g(x)在(0,a)上單調遞增，在(a,e]上單調遞減.所以g(x)因a-(alna-a)=a(2-lna)>a(2-ln②當a≥e時，g'(x)≥0在所以函數g(x)在(0,e]上單調遞增，g(x)所以對于任意x1,x綜上所述，對于任意x1,x考點：1.利用導數研究函數的單調性；2.函數單調性的性質．19、（1），可用線性回歸模型擬合y與x的關系；（2）2臺光照控制儀.【解析】

（1）由題中所給的數據計算，進而結合參考數據計算相關系數，得出答案；（2）記商家周總利潤為Y元，由條件可知至少需要安裝1臺，最多安裝3臺光照控制儀．①安裝1臺光照控制儀可獲得周總利潤3000元；②安裝2臺光照控制儀有2種情形：做出分布列即可求解．【詳解】（1）由已知數據可得，所以相關系數因為，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關系．（2）記商家周總利潤為Y元，由條件可知至少需要安裝1臺，最多安裝3臺光照控制儀．①安裝1臺光照控制儀可獲得周總利潤3000元；②安裝2臺光照控制儀的情形：當X＞70時，只有1臺光照控制儀運行，此時周總利潤Y＝3000﹣1000＝2000元，當30＜X≤70時，2臺光照控制儀都運行，此時周總利潤Y＝2×3000＝6000元，故Y的分布列為：Y20006000P0.20.8所以E（Y）＝1000×0.2+5000×0.7+9000×0.1＝4600元．綜上可知，為使商家周利潤的均值達到最大應該安裝2臺光照控制儀.本題考查了線性回歸方程的求法及應用，分布列的求法，利潤的計算，屬于中檔題.20、（1）單調遞增區間是，單調遞減區間是和（2）存在，的值是．【解析】

（