遼寧省錦州市2024-2025學年數學高二第二學期期末經典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的左右焦點分別為，，以為圓心，為直徑的圓與橢圓在第一象限相交于點，且直線的斜率為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．2．中，邊的高為，若，，，，，則（)A． B． C． D．3．有位同學按照身高由低到高站成一列，現在需要在該隊列中插入另外位同學，但是不能改變原來的位同學的順序，則所有排列的種數為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線，兩條漸近線與圓相切，若雙曲線的離心率為，則的值為（）A． B． C． D．5．設為虛數單位，則復數()A． B． C． D．6．某班共有52人，現根據學生的學號，用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本．已知3號、29號、42號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的學號是()A．10 B．11 C．12 D．167．已知直線與直線垂直，則的關系為（）A． B． C． D．8．設函數，，給定下列命題：①若方程有兩個不同的實數根，則；②若方程恰好只有一個實數根，則；③若，總有恒成立，則；④若函數有兩個極值點，則實數.則正確命題的個數為（）A． B． C． D．9．已知某產品連續4個月的廣告費用（千元）與銷售額（萬元），經過對這些數據的處理，得到如下數據信息：①廣告費用和銷售額之間具有較強的線性相關關系；②；③回歸直線方程中的＝0.8（用最小二乘法求得）；那么，廣告費用為8千元時，可預測銷售額約為（）A．4.5萬元 B．4.9萬元 C．6.3萬元 D．6.5萬元10．設是虛數單位，條件復數是純虛數，條件，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．設，則“”是“”成立的（）A．充要不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充要也不必要條件12．已知三棱錐的底面是等邊三角形，點在平面上的射影在內（不包括邊界），.記，與底面所成角為，；二面角，的平面角為，，則，，，之間的大小關系等確定的是（）A． B．C．是最小角，是最大角 D．只能確定，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正六棱柱相鄰兩個側面所成的二面角的大小為________14．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________．15．已知復數，其中是虛數單位，復數滿足，則復數的模等于__________.16．執行下圖的程序框圖，如果輸入，則輸出的值為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面⊥平面．(1)證明：平面⊥平面；(2)為直線的中點，且，求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數.（1）若，求函數的極值；（2）當時，判斷函數在區間上零點的個數.19．（12分）在極坐標系中，曲線：，以極點為坐標原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標系，曲線的參數方程為（t為參數）.（1）求、的直角坐標方程；（2）若曲線與曲線交于A、B兩點，且定點P的坐標為，求的值.20．（12分）已知，，分別為內角，，的對邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.21．（12分）學校為了對教師教學水平和教師管理水平進行評價，從該校學生中選出300人進行統計.其中對教師教學水平給出好評的學生人數為總數的，對教師管理水平給出好評的學生人數為總數的，其中對教師教學水平和教師管理水平都給出好評的有120人.（1）填寫教師教學水平和教師管理水平評價的列聯表：對教師管理水平好評對教師管理水平不滿意合計對教師教學水平好評對教師教學水平不滿意合計請問是否可以在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認為教師教學水平好評與教師管理水平好評有關？（2）若將頻率視為概率，有4人參與了此次評價，設對教師教學水平和教師管理水平全好評的人數為隨機變量.①求對教師教學水平和教師管理水平全好評的人數的分布列（概率用組合數算式表示）；②求的數學期望和方差.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）22．（10分）如圖，正方形的邊長為2，點，分別為，的中點，將，分別沿，折起，使，兩點重合于點，連接.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求與平面所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用直角三角形的邊角關系、橢圓的定義離心率計算公式即可得出．【詳解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直線的斜率為故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三邊關系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故選：D．本題考查橢圓的幾何性質及其應用，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).2、D【解析】

試題分析：由，，可知3、C【解析】

將問題轉化為將這個同學中新插入的個同學重新排序，再利用排列數的定義可得出答案．【詳解】問題等價于將這個同學中新插入的個同學重新排序，因此，所有排列的種數為，故選C.本題考查排列問題，解題的關鍵就是將問題進行等價轉化，考查轉化與化歸數學思想的應用，屬于中等題．4、A【解析】

先由離心率確定雙曲線的漸近線方程，再由漸近線與圓相切，列出方程，求解，即可得出結果.【詳解】漸近線方程為：，又因為雙曲線的離心率為，，所以，故漸近線方程為，因為兩條漸近線與圓相切，得：，解得；故選A。本題主要考查由直線與圓的位置關系求出參數，以及由雙曲線的離心率求漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質，以及直線與圓的位置關系即可，屬于常考題型.5、D【解析】

由復數的乘除運算即可求得結果【詳解】故選本題主要考查了復數的除法運算，解題的關鍵是要掌握復數四則運算法則，屬于基礎題。6、D【解析】

由題計算出抽樣的間距為13，由此得解．【詳解】由題可得，系統抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D本題主要考查了系統抽樣知識，屬于基礎題．7、C【解析】

根據兩直線垂直，列出等量關系，化簡即可得出結果.【詳解】因為直線與直線垂直，所以，即選C根據兩直線垂直求出參數的問題，熟記直線垂直的充要條件即可，屬于常考題型.8、C【解析】

利用導數研究函數的單調性，零點，極值以及恒成立問題.【詳解】對于①，的定義域，，令有即，可知在單調遞減，在單調遞增，，且當時，又，從而要使得方程有兩個不同的實根，即與有兩個不同的交點，所以，故①正確對于②，易知不是該方程的根，當時，，方程有且只有一個實數根，等價于和只有一個交點，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為．由大致圖像可知或，故②錯對于③當時，恒成立，等價于恒成立，即函數在上為增函數，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調遞增，在上單調遞減，則，于是，故③正確.對于④有兩個不同極值點，等價于有兩個不同的正根，即方程有兩個不同的正根，由③可知，，即，則④正確.故正確命題個數為3，故選.本題考查利用導數研究函數有關性質，屬于基礎題目．解題時注意利用數形結合，通過函數圖象得到結論．9、C【解析】

由已知可求出，進而可求出，即可得到回歸方程，令，可求出答案.【詳解】由題意，，因為，所以，則回歸直線方程為.當時，.故選C.本題考查了線性回歸方程的求法，考查了計算能力，屬于基礎題.10、A【解析】

復數是純虛數，必有利用充分條件與必要條件的定義可得結果.【詳解】若復數是純虛數，必有所以由能推出；但若,不能推出復數是純虛數.所以由不能推出.，因此是充分不必要條件,故選A.本題主要考查復數的基本概念以及充分條件與必要條件的定義，屬于簡單題.判斷充要條件應注意：首先弄清條件和結論分別是什么，然后直接依據定義、定理、性質嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉化為包含關系來處理.11、C【解析】試題分析：當時，，當一正一負時，，當時，，所以，故選C．考點：充分必要條件．12、C【解析】

過作PO⊥平面ABC，垂足為，過作OD⊥AB，交AB于D，過作OE⊥BC，交BC于E，過作OF⊥AC，交AC于F，推導出OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA，由此得到結論．【詳解】解：如圖，過作PO⊥平面ABC，垂足為，過作OD⊥AB，交AB于D，過作OE⊥BC，交BC于E，過作OF⊥AC，交AC于F，連結OA，OB，OC，PD，PE，PF，∵△ABC為正三角形，PA＜PB＜PC，二面角P?BC?A，二面角P?AC?B的大小分別為，，PA，PB與底面所成角為，，∴＝∠PAO，＝∠PBO，γ＝∠PEO，＝∠PFO，OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，在直角三角形OAF中，，在直角三角形OBE中，，OA＜OB，∠OAF＜∠OBE，則OF＜OE，同理可得OD＜OF，∴OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA，∴＜，＜，＞，＜，可得是最小角，是最大角，故選：C．本題考查線面角、二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由正六棱柱的幾何特征可得為正六棱柱相鄰兩個側面所成的二面角的平面角，根據正六邊形的內角計算即可.【詳解】解：如圖，由正六棱柱的幾何特征可知，則為正六棱柱相鄰兩個側面所成的二面角的平面角，.故答案為：.本題考查二面角的求解，關鍵是要找到二面角的平面角，是基礎題.14、【解析】分析：過作，垂足為，則平面，則即為所求平面角，從而可得結果.詳解：依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，由平面，可得，所以平面，則即為所求平面角，因為，，所以，故答案為.點睛：本題考查長方體的性質，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.求直線與平面所成的角由兩種方法：一是傳統法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，利用平面幾何知識解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及平面的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.15、【解析】

可設出復數z，通過復數相等建立方程組，從而求得復數的模.【詳解】由題意可設，由于，所以，因此，解得，因此復數的模為：.本題主要考查復數的四則運算，相等的條件，比較基礎.16、【解析】試題分析：由題意，．考點：程序框圖．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由為矩形，得，再由面面垂直的性質可得平面，則，結合，由線面垂直的判定可得平面，進一步得到平面平面；（Ⅱ）取中點O，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方關系求得二面角的正弦值．【詳解】（Ⅰ）證明：為矩形，，平面平面，平面平面，平面，則，又，，平面，而平面，平面平面；（Ⅱ）取中點O，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，由，是以為直角的等腰直角三角形，得：，．設平面的一個法向量為，由，取，得；設平面的一個法向量為，由，取，得.．∴二面角的正弦值為．本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求解二面角，是中檔題．18、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

試題分析：（1）求導數得，又，所以，由此可得函數的單調性，進而可求得極值；（2）由，得．因此分和兩種情況判斷函數的單調性，然后根據零點存在定理判斷函數零點的個數．試題解析：（1）∵，∴，因為，所以，當x變化時，的變化情況如下表：100遞增極大值遞減極小值遞增由表可得當時，有極大值，且極大值為，當時，有極小值，且極小值為.（2）由（1）得．∵，∴.①當時，在上單調遞增，在上遞減又因為所以在（0,1）和（1,2）上各有一個零點，所以上有兩個零點．②當，即時，在上單調遞增，在上遞減，在上遞增，又因為所以在上有且只有一個零點，在上沒有零點，所以在上有且只有只有一個零點.綜上：當時，在上有兩個零點；當時，在上有且只有一個零點．點睛：利用導數研究方程根（函數零點）的方法研究方程根（函數零點）的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據題目要求，畫出函數圖象的走勢規律，標明函數極(最)值的位置，通過數形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現．19、（1），；（2）.【解析】

（1）由，，能求出曲線的直角坐標方程；曲線的參數方程消去參數，即可求出曲線的直角坐標方程；（2）曲線的參數方程代入，得到，由此借助韋達定理即可求出的值.【詳解】（1）曲線：，，曲線的直角坐標方程為.曲線的參數方程為（為參數）.曲線消去參數，得曲線的直角坐標方程為.（2）曲線的參數方程為（為參數）代入，得，即，，，.參數方程化為普通方程的關鍵是消參數，要根據參數的特點進行轉化；極坐標方程轉化為普通方程，要巧用極坐標方程兩邊同乘以或同時平方技巧，將極坐標方程構造成含有，，的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程；解決極坐標方程與參數方程的綜合問題時，對于參數方程或極坐標方程應用不熟練的情況下，我們可以先化為直角坐標的普通方程，這樣思路可能更加清晰；對于一些運算比較復雜的問題，用參數方程計算會比較簡捷.20、（1）；（2）.【解析】

(1)利用正弦定理把邊轉化為角，再由兩角和的正弦可求出角；(2)利用三角形面積公式可得到，再由余弦定理可求出的周長；【詳解】(1)由正弦定理知，∴，∴，.（或用余弦定理將換掉求解）(2)由(1)及已知可得，解得，由余弦定理知，∴，∴的周長為.本題考查了正弦定理、余弦定理以及面積公式，考查了學生的計算能力，屬于較易題.21、(1)可以在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認為教師教學水平好評與教師管理水平好評有關.(2)①見解析②，【解析】分析：（1）由題意得到列聯表，根據列聯表求得的值