江蘇省姜堰區實驗初中2025年高二下數學期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數，若的值域為，則實數的取值范圍是()A． B．C． D．2．設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（）A． B． C． D．3．已知數據的中位數為，眾數為，平均數為，方差為，則下列說法中，錯誤的是（）A．數據的中位數為B．數據的眾數為C．數據的平均數為D．數據的方差為4．已知函數，其圖象關于直線對稱，為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象上的所有點（）A．先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變B．先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變C．先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變D．先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變5．用反證法證明某命題時，對結論：“自然數中恰有一個偶數”正確的反設為（）A．中至少有兩個偶數 B．中至少有兩個偶數或都是奇數C．都是奇數 D．都是偶數6．若函數的圖象與直線相切，則()A． B． C． D．7．設方程的兩個根為，則（）A． B． C． D．8．設函數的定義域為，若對于給定的正數，定義函數，則當函數，時，定積分的值為（）A． B． C． D．9．在中，角A，B，C的對邊分別為，若，則的形狀為A．正三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形10．已知命題p：?x0>0，使得(A．?x≤0，總有(x+2)ex≥1 B．C．?x>0，總有(x+2)ex≥1 D．11．設，，都為正數，那么，用反證法證明“三個數，，至少有一個不小于2”時，做出與命題結論相矛盾的假設是（）A．這三個數都不大于2 B．這三個數都不小于2C．這三個數至少有一個不大于2 D．這三個數都小于212．若，，，則實數，，的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則=______.14．已知命題p：?x∈R，ex－mx＝0，q：?x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p∨(q)為假命題，則實數m的取值范圍是________.15．如圖1，在棱長為的正方體中，P、Q是對角線上的點，若，則三棱錐的體積為________16．已知空間向量，，（其中、），如果存在實數，使得成立，則_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三個實數根，求實數的取值范圍.18．（12分）如圖，設△ABC的三個內角A、B、C對應的三條邊分別為，且角A、B、C成等差數列，，線段AC的垂直平分線分別交線段AB、AC于D、E兩點.（1）若△BCD的面積為，求線段CD的長；（2）若，求角A的值.19．（12分）已知正項數列滿足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設為數列的前項和，證明：.20．（12分）在平面直角坐標系中，已知曲線C的參數方程為（a為參數）.現以坐標原點為極點，軸為極軸建立極坐標系.（1）設P為曲線C上到極點的距離最遠的點，求點P的極坐標；（2）求直線被曲線C所截得的弦長.21．（12分）在直角坐標系中，，不在軸上的動點滿足于點為的中點。(1)求點的軌跡的方程；(2)設曲線與軸正半軸的交點為，斜率為的直線交于兩點，記直線的斜率分別為，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由。22．（10分）已知,且.證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】很明顯，且應滿足當時，類指數函數的函數值不大于一次函數的函數值，即，解得：，即實數的取值范圍是.本題選擇B選項.點睛：(1)問題中參數值影響變形時，往往要分類討論，需有明確的標準、全面的考慮；(2)求解過程中，求出的參數的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結果是否符合要求．2、B【解析】

由題意知函數y＝ex與y＝ln(2x)互為反函數，其圖象關于直線y＝x對稱，兩曲線上點之間的最小距離就是y＝x與y＝ex上點的最小距離的2倍．設y＝ex上點(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行．則，∴x0＝ln2，y0＝1，∴點(x0，y0)到y＝x的距離為＝(1－ln2)，則|PQ|的最小值為(1－ln2)×2＝(1－ln2)．3、D【解析】

利用中位數、眾數、平均數、方差的性質求解．【詳解】若數據的中位數為，眾數為，平均數為,則由性質知數據的中位數,眾數，平均數均變為原來的2倍，故正確；則由方差的性質知數據的方差為4p,故D錯誤；故選D．本題考查中位數、眾數、平均數、方差的應用，解題時要認真審題，是基礎題．4、D【解析】

由函數的圖象關于直線對稱，得，進而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數的圖象關于直線對稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數的圖象上的所有點“先向左平移個單位長度，得再將橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變,得”即可.故選：D本題考查三角函數的圖象與性質，考查圖像變換，考查運算求解能力，是中檔題5、B【解析】

用反證法證明某命題時,應先假設命題的反面成立，求出要證的命題的否定，即為所求.【詳解】解：用反證法證明某命題時,應先假設命題的反面成立，及要證的命題的否定成立，而命題：“自然數中恰有一個偶數”的否定為“中至少有兩個偶數或都是奇數”，故選：B.本題主要考查用反證法證明數學命題，求一個命題的否定，屬于中檔題.6、B【解析】

設切點為，由可解得切點坐標與參數的值。【詳解】設切點為，則由題意知即解得或者故選B高考對導數幾何意義的考查主要有以下幾個命題角度：（1）已知切點求切線方程；（2）已知切線方程(或斜率)求切點或曲線方程；（3）已知曲線求切線傾斜角的取值范圍．7、D【解析】

畫出方程左右兩邊所對應的函數圖像，結合圖像可知答案。【詳解】畫出函數與的圖像，如圖結合圖像容易知道這兩個函數的圖像有兩個交點，交點的橫坐標即為方程的兩個根，結合圖像可知，，根據是減函數可得，所以有圖像可知所以即，則，所以，而所以故選D本題考查對數函數與指數函數的圖像與性質，解題的關鍵是畫出圖像，利用圖像解答，屬于一般題。8、D【解析】分析：根據的定義求出的表達式，然后根據定積分的運算法則可得結論．詳解：由題意可得，當時，，即．所以．故選D．點睛：解答本題時注意兩點：一是根據題意得到函數的解析式是解題的關鍵；二是求定積分時要合理的運用定積分的運算性質，可使得計算簡單易行．9、C【解析】

根據題目分別為角A，B，C的對邊，且可知，利用邊化角的方法，將式子化為，利用三角形的性質將化為，化簡得，推出，從而得出的形狀為直角三角形．【詳解】由題意知，由正弦定理得又展開得，又角A，B，C是三角形的內角又綜上所述，的形狀為直角三角形，故答案選C．本題主要考查了解三角形的相關問題，主要根據正余弦定理，利用邊化角或角化邊，若轉化成角時，要注意的應用．10、C【解析】

原命題為特稱命題，則其否定為全稱命題，即可得到答案【詳解】∵命題p：?x0∴?p：?x>0，總有(x+2)故選C本題主要考查的是命題及其關系，命題的否定是對命題結論的否定，屬于基礎題．11、D【解析】分析：利用反證法和命題的否定分析解答.詳解：“三個數，，至少有一個不小于2”的否定是“這三個數都小于2”，所以做出與命題結論相矛盾的假設是這三個數都小于2.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)三個數a,b,c至少有一個不小于m的否定是三個數都小于m.12、A【解析】

利用冪指對函數的單調性，比較大小即可.【詳解】解：，，，∴，故選：A本題考查了指對函數的單調性及特殊點，考查函數思想，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、365【解析】分析：令代入可知的值，令代入可求得的值，然后將兩式相加可求得的值．詳解：中，令代入可知令代入可得，除以相加除以2可得.即答案為365.點睛：本題主要考查的是二項展開式各項系數和，充分利用賦值法是解題的關鍵．14、.【解析】

根據復合函數的真假關系，確定命題p，q的真假，利用函數的性質分別求出對應的取值范圍即可得到結論．【詳解】若p∨（?q）為假命題，則p，?q都為假命題，即p是假命題，q是真命題，由ex﹣mx=0得m=，設f（x）=，則f′（x）==，當x＞1時，f′（x）＞0，此時函數單調遞增，當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數單調遞遞減，當x＜0時，f′（x）＜0，此時函數單調遞遞減，∴當x=1時，f（x）=取得極小值f（1）=e，∴函數f（x）=的值域為（﹣∞，0）∪[e，+∞），∴若p是假命題，則0≤m＜e；命題q為真命題時，有Δ＝4m2－4≤0，則－1≤m≤1.所以當p∨(q)為假命題時，m的取值范圍是[0，1].故答案為：“”，“”“”等形式命題真假的判斷步驟：（1）確定命題的構成形式；（2）判斷其中命題的真假；（3）確定“”，“”“”等形式命題的真假.15、【解析】

棱錐的體積轉化為的體積，求出底面積與高，從而可得結果.【詳解】到平面的距離是面對角線的一半，即，到直線的距離即到直線的距離，，，棱錐的體積等于的體積，本題主要考查錐體體積公式的應用，解題的關鍵是利用等積變換，將棱錐的底面積與高確定，屬于基礎題.16、【解析】

利用向量的坐標運算得出關于、、的方程組，解出即可得出的值.【詳解】，，且，所以，解得，因此，.故答案為：.本題考查空間向量共線的坐標運算，建立方程組求解是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）分別在、、三種情況下去掉絕對值，得到不等式，解不等式求得結果；（Ⅱ）將方程變為，分類討論得到的圖象，通過數形結合求得取值范圍.【詳解】（Ⅰ）當時，，可得：當時，，解得：當時，，則無解綜上所述：不等式的解集為：（Ⅱ）由方程可變形為：令，則作出函數的圖象如下圖所示：結合圖象可知：，又，本題考查絕對值不等式的求解、根據方程根的個數求解參數范圍的問題，關鍵是能夠將方程根個數問題轉化為直線與函數交點的個數問題，通過數形結合的方式來進行求解.18、（1）；（2）。【解析】試題分析：（1）由題三角形ABC的三個內角A,B,C成等差數列，結合內角和為，可以列出方程組，所以可以求出角，又已知，且三角形BCD的面積為，根據三角形面積公式可有，可以求出，在三角形BCD中，可以應用余弦定理求出CD邊的長度；（2）在三角形BCD中，應用正弦定理：，所以可以求出，于是得到，所以，則，且DE為線段AC的垂直平分線，所以DA=DC，即三角形ADC為等腰直角三角形，所以可以求出A角的值。本題考查解利用正、余弦定理解三角形，要求學生掌握定理的基本應用。能夠靈活的運用定理解決實際問題。試題解析：（1）∵角A,B,C成等差數列，，∴又∵△BCD的面積為，，∴，∴在△BCD中，由余弦定理可得（2）由題意，在△BCD中，，即，∴，則，即又DE為AC的垂直平分線，故考點：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解三角形。19、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由題意，得，可求出；（Ⅱ）由，得與同號，可得，再由可得，問題得證；（Ⅲ）令，得，當時，由可得，再由可使問題得證.【詳解】（Ⅰ）解：由題意，，解得或（舍去）.（Ⅱ）證明：因為，且，所以與同號，…，與也同號.而，因此.又，所以.綜上，有成立.（Ⅲ）證明：令，則，且.由，得到.于是當時，，又，因此，即.考慮，故，即.當時，也成立.綜上所述，.本題考查了數列遞推式，數列求和，考查了放縮法證明不等式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題.20、(1)(2)【解析】

(1)首先求出曲線C的直角坐標方程，再求出直線，故可求出另一交點，化為極坐標方程即為所求；（2）利用圓心到直線的距離公式即得答案.【詳解】（1）曲線C的直角坐標方程為：，圓經過坐標原點，因此，直線為：，與圓交于點，化為極坐標為，故點P的極坐標為；（2）直線的直角坐標方程為：，圓心到直線的距離，所截弦長為：.本題主要考查直角坐標，參數方程，極坐標方程之間的互化，直線與圓的位置關系，意在考查學生的轉化能力，計算能力，難度不大.21、（1）；（2）定值0【解析】

（1）解法一：設點的坐標為，可得出點，由，轉化為，利用斜率公式計算并化簡得出曲線的方程，并標出的范圍；解法二：設點，得出，由知點在圓上，再將點的坐標代入圓的方程并化簡，可得出曲線的方程，并標出的范圍；（2）先求出點的坐標，并設直線的方程為，設點、，將直線的方程與曲線的方程聯立，列出韋達定理，利用斜率公式并代入韋達定理計算出來證明結論成立。【詳解】（1）解法一：設點，因為軸，為的中點，則，，所以，，即，化簡得，所以，的方程為；解法二：依題意可知點的軌跡方程為，設點，因為軸，為的中點，所以，，所以，即，所以，的方程為；（2）依題意可知，設