江蘇省連云港市贛榆區海頭高中2024-2025學年高二下數學期末質量跟蹤監視試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列是等比數列，其前項和為，，則（）A． B． C．2 D．42．若從1，2，3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有A．60種 B．63種 C．65種 D．66種3．下列求導運算的正確是（）A．為常數 B．C． D．4．2018年元旦期間，某高速公路收費站的三個高速收費口每天通過的小汽車數（單位：輛）均服從正態分布，若，假設三個收費口均能正常工作，則這個收費口每天至少有一個超過700輛的概率為（）A． B． C． D．5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π6．的展開式中的系數是A．－20 B．－5 C．5 D．207．在中，，，，點滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．78．已知回歸直線的斜率的估計值為1.8，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程是（）A． B． C． D．9．在區域內任意取一點，則的概率是（）A．0 B． C． D．10．在復平面內，復數對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知數列的前項和為，，則“”是“數列是等比數列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．若直線與曲線相切，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在(2x2-1x14．兩根相距的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于的概率是__________．15．若是函數的極值點，則在上的最小值為______.16．設函數．若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，點在以為直徑的圓上，垂直與圓所在平面，為的垂心（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.18．（12分）已知橢圓的一個焦點為，左右頂點分別為，經過點的直線與橢圓交于兩點.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）記與的面積分別為和，求的最大值.19．（12分）某學校高三年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在內，發布成績使用等級制，各等級劃分標準見下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級ABCD規定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級為了解該校高三年級學生身體素質情況，從中抽取了n名學生的原始成績作為樣本進行統計．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分數在80分及以上的所有數據的莖葉圖如圖2所示求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率；根據頻率分布直方圖，求成績的中位數精確到；在選取的樣本中，從A，D兩個等級的學生中隨機抽取2名學生進行調研，求至少有一名學生是A等級的概率．20．（12分）已知函數.（1）計算??的值；（2）結合（1）的結果，試從中歸納出函數的一般結論，并證明這個結論；（3）若實數滿足，求證：.21．（12分）已知函數．（1）若，求a的取值范圍；（2），，求a的取值范圍．22．（10分）已知拋物線的焦點為拋物線上的兩動點，且，過兩點分別作拋物線的切線，設其交點為.（1）證明：為定值；（2）設的面積為，寫出的表達式，并求的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意，根據等比數列的通項公式和求和公式，求的公比，進而可求解，得到答案．【詳解】由題意得，，，公比，則，故選A．本題主要考查了等比數列的通項公式和求和公式的應用，其中解答中熟記等比數列的通項公式和求和公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．2、D【解析】試題分析：要得到四個數字的和是偶數，需要分成三種不同的情況，當取得個偶數時，有種結果，當取得個奇數時，有種結果，當取得奇偶時有種結果,共有種結果.故答案為D.考點：分類計數原理.3、B【解析】

根據常用函數的求導公式.【詳解】因為（為常數），，，，所以，選項B正確.本題考查常用函數的導數計算.4、C【解析】分析：根據正態曲線的對稱性求解即可.詳解：根據正態曲線的對稱性，每個收費口超過輛的概率，這三個收費口每天至少有一個超過輛的概率，故選C.點睛：本題主要考查正態分布的性質與實際應用，屬于中檔題.有關正態分布的應用題考查知識點較為清晰，只要掌握以下兩點，問題就能迎刃而解：（1）仔細閱讀，將實際問題與正態分布“掛起鉤來”；（2）熟練掌握正態分布的性質，特別是狀態曲線的對稱性以及各個區間概率之間的關系.5、C【解析】分析：由該幾何體的三視圖判斷出組合體各部分的幾何特征，以及各部分的幾何體相關幾何量的數據，由面積公式求出該幾何體的表面積.詳解：該幾何體是兩個相同的半圓錐與一個半圓柱的組合體，其表面積為：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.故選：C.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，解題的關鍵是根據三視圖判斷幾何體的結構特征及相關幾何量的數據.6、A【解析】

利用二項式展開式的通項公式，求解所求項的系數即可【詳解】由二項式定理可知：；要求的展開式中的系數，所以令，則；所以的展開式中的系數是是-20；故答案選A本題考查二項式定理的通項公式的應用，屬于基礎題。7、D【解析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數量積．【詳解】在中，，，，點滿足，可得則==本題考查了向量的數量積運算，關鍵是利用基向量表示所求向量．8、D【解析】

根據回歸直線必過樣本點的中心可構造方程求得結果.【詳解】回歸直線斜率的估計值為1.8，且回歸直線一定經過樣本點的中心，，即.故選：.本題考查回歸直線的求解問題，關鍵是明確回歸直線必過樣本點的中心，屬于基礎題.9、C【解析】

求得區域的面積，x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，由圓的面積公式可得其在正方形OABC的內部的面積，由幾何概型的計算公式，可得答案．【詳解】根據題意，設O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的區域為以正方形OABC的內部及邊界，其面積為1；x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，在正方形OABC的內部的面積為，由幾何概型的計算公式，可得點P（x，y）滿足x2+y2＜1的概率是；故選C．本題考查幾何概型的計算，解題的關鍵是將不等式（組）轉化為平面直角坐標系下的圖形的面積，進而由其公式計算．10、B【解析】

運用復數乘法的運算法則，化簡復數，最后確定復數所對應的點所在的象限.【詳解】，因此復數對應點的坐標為，在第二象限，故本題選B.本題考查了復數的乘法運算法則，以及復數對應點復平面的位置.11、C【解析】

先令，求出，再由時，根據，求出，結合充分條件與必要條件的概念，即可得出結果.【詳解】解：當時，，當時，時，，，數列是等比數列；當數列是等比數列時，，，，所以，是充分必要條件。故選C本題主要考查充分必要條件的判定，熟記概念，以及數列的遞推公式即可求解，屬于常考題型.12、C【解析】分析：由直線與曲線相切，可以表示出的值，然后用導數求出的最小值詳解：由題意可得，設切點坐標為，，則則，令，時，，遞減時，，遞增的最小值為故選點睛：本題主要考查了運用導數的幾何意義來求相切情況，在解答多元問題時，要將其轉化為單元問題，本題在求解中轉化為關于變量的最值，利用導數即可求出最小值。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240【解析】

直接利用二項式展開式的通項公式得到答案.【詳解】(2當r=2時，展開式為：C6含x7的項的系數是故答案為240本題考查了二項式定理，屬于基礎題型.14、【解析】在距繩子兩段兩米處分別取A，B兩點，當繩子在線段AB上時（不含端點），符合要求，所以燈與兩端距離都大于2m的概率為，故填．15、【解析】

先對f(x)求導，根據可解得a的值，再根據函數的單調性求出區間上的最小值．【詳解】，則，解得，所以，則.令，得或；令，得.所以在上單調遞減；在上單調遞增.所以.本題考查由導數求函數在某個區間內的最小值，解題關鍵是由求出未知量a．16、【解析】

首先根據奇函數的定義，得到，即，從而確定出函數的解析式，之后對函數求導，結合導數的幾何意義，求得對應切線的斜率，應用點斜式寫出直線的方程，最后整理成一般式，得到結果.【詳解】因為函數是奇函數，所以，從而得到，即，所以，所以，所以切點坐標是，因為，所以，所以曲線在點處的切線方程為，故答案是.該題考查的是有關函數圖象在某點處的切線問題，涉及到的知識點有奇函數的定義，導數的幾何意義，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）.【解析】試題分析：（1）延長交于點，由重心性質及中位線性質可得，再結合圓的性質得，由已知，可證平面，進一步可得平面平面（2）以點為原點，，，方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，利用二面角與二個半平面的法向量的夾角間的關系可求二面角的余弦值．試題解析：（1）如圖，延長交于點.因為為的重心，所以為的中點.因為為的中點，所以.因為是圓的直徑，所以，所以.因為平面，平面，所以.又平面，平面=，所以平面.即平面，又平面，所以平面平面.（2）以點為原點，，，方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，則，.平面即為平面，設平面的一個法向量為，則令，得.過點作于點，由平面，易得，又，所以平面，即為平面的一個法向量.在中，由，得，則，.所以，.所以.設二面角的大小為，則.點睛：若分別二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足，二面角的平面角的大小是的夾角(或其補角，需根據觀察得出結論)．在利用向量求空間角時，建立合理的空間直角坐標系，正確寫出各點坐標，求出平面的法向量是解題的關鍵．18、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）因為為橢圓的焦點，所以，又，所以，所以橢圓方程為.（Ⅱ）當直線無斜率時,此時,,.當直線斜率存在時，設直線方程為，設，直線與橢圓方程聯立得，消掉得，顯然，方程有根，且此時.上式，（時等號成立），所以的最大值為.19、（1），；合格等級的概率為；（2）中位數為；（3）【解析】

由題意求出樣本容量，再計算x、y的值，用頻率估計概率值；根據頻率分布直方圖，計算成績的中位數即可；由莖葉圖中的數據，利用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值．【詳解】由題意知，樣本容量，，；因為成績是合格等級人數為：人，抽取的50人中成績是合格等級的概率為，即估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率為；根據頻率分布直方圖，計算成績的中位數為；由莖葉圖知，A等級的學生有3人，D等級的學生有人，記A等級的學生為A、B、C，D等級的學生為d、e、f、g、h，從這8人中隨機抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28個；至少有一名是A等級的基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18個；故所求的概率為．本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題．20、（1），，.（2）一般結論為：對任意實數都有，證明見解析（3）證明見解析【解析】

代入計算可得所求和為定值；

可得，代入計算，化簡可得所求結論；

求得的導數，判斷單調性，根據單調性利用反證法可得證明．【詳解】（1），，.（2）對任意實數都有.證明：.（3）由知，為上的單調增函數.假設，則或，若，由為上的單調增函數知，；若，由為上的單調增函數知，，則，與條件矛盾，故假設不成立.原命題成立.本題主要考查三次函數的圖象和性質，主要是單調性的應用，反證法，考查化簡運算能力，屬于中檔題．21、(1)．(2)．【解析】

（1）f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|，根據f（1）＞2分別解不等式即可'（2）根據絕對值三角不等式求出f（x）的值域，然后由條件可得f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，解出a的范圍．【詳解】（1）∵f（x）＝|x+2a|﹣|x﹣a|，∴f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|，∵f（1）＞2，∴，或，或，∴a＞1，或a≤1，或a＜﹣4，∴a的取值范圍為；（2）∵||x+2a|﹣|x﹣a||≤|（x+2a）﹣（x﹣a）|＝3|a|，∴f（x）∈[﹣3|a|，3|a|]，∵?x、y∈R，f（x）＞f（y）﹣6，∴只需f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，∴6|a|＜6，∴﹣1＜a＜1，∴a的取值范圍為[﹣1，1]．本題考查了絕對值不等式的解法和利用絕對值三角不等式求函數的范圍，考查了分類討論和轉化思想，屬中檔題．22、（Ⅰ）定值為0；（2）S=，S取得最小值1．【解析】分析：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根據拋物線方程可得焦點坐標和準線方程，設直線方程與拋物線方程聯立消去y，根據判別式大于0求得和，根據曲線1y=x2上任意一點斜率為y′=，可得切線AM和BM的方程，聯立方程求得交點坐標，求得和，進而可求得的結果為0，進而判斷出AB⊥FM．（2）利用（1）的結論，根據的關系式求