山西省臨汾市高級中學2025年數學高二第二學期期末調研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若在和處切線平行，則（）A．B．C．D．2．若點O和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）3．“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異”是以我國哪位數學家命名的數學原理（）A．楊輝 B．劉微 C．祖暅 D．李淳風4．在等差數列中，，則為（）A．2 B．3 C．4 D．55．復數在平面內對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．王老師在用幾何畫板同時畫出指數函數（）與其反函數的圖象，當改變的取值時，發現兩函數圖象時而無交點，并且在某處只有一個交點，則通過所學的導數知識，我們可以求出當函數只有一個交點時，的值為（）A． B． C． D．7．,若,則的值等于（）A．B．C．D．8．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個動點，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．9．已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是A． B． C． D．10．已知，則()A． B． C． D．以上都不正確11．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a5+a7+a9＝21，則S13＝（）A．36 B．72 C．91 D．18212．《數學統綜》有如下記載：“有凹錢，取三數，小小大，存三角”.意思是說“在凹（或凸）函數（函數值為正）圖象上取三個點，如果在這三點的縱坐標中兩個較小數之和最大的數，則存在將這三點的縱坐標值作為三邊長的三角形”.現已知凹函數，在上取三個不同的點，均存在為三邊長的三角形，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若的二項展開式中的的系數為，則__________．14．已知函數若方程恰有三個不同的實數解..，則的取值范圍是__________.15．已知函數的零點，則整數的值為______.16．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠甲、乙兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下通過日常監控得知，甲、乙兩條生產線生產的產品為合格品的概率分別為相.（1）若從甲、乙兩條生產線上各抽檢一件產品。至少有一件合格的概率為.求的值：（2）在（1）的前提下，假設每生產一件不合格的產品，甲、乙兩條生產錢損失分別為元和元，若從兩條生產線上各隨機抽檢件產品。估計哪條生產線的損失較多？（3）若產品按照一、二、三等級分類后銷售，每件可分別獲利元，元，元，現從甲、乙生產線各隨機抽取件進行檢測，統計結果如圖所示。用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產一件產品的利潤為，求的分布列并估計該廠產量為件時利潤的期望值.18．（12分）《流浪地球》是由劉慈欣的科幻小說改編的電影，在2019年春節檔上影，該片上影標志著中國電影科幻元年的到來；為了振救地球，延續百代子孫生存的希望，無數的人前仆后繼，奮不顧身的精神激蕩人心，催人奮進.某網絡調查機構調查了大量觀眾的評分，得到如下統計表：評分12345678910頻率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36（1）求觀眾評分的平均數？（2）視頻率為概率，若在評分大于等于8分的觀眾中隨機地抽取1人，他的評分恰好是10分的概率是多少？（3）視頻率為概率，在評分大于等于8分的觀眾中隨機地抽取4人，用表示評分為10分的人數，求的分布列及數學期望.19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（，為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.若直線與曲線相切.（1）求曲線的極坐標方程；（2）在曲線上任取兩點，，該兩點與原點構成，且滿足，求面積的最大值.20．（12分）為評估設備生產某種零件的性能，從設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑5859616263646566676869707173合計件數11356193318442121100經計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值，用樣本估計總體.（1）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品，從設備的生產流水線上隨意抽取3個零件，計算其中次品個數的數學期望；（2）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據以下不等式進行評判（表示相應事件的概率）：①；②；③.評判規則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級并說明理由.21．（12分）我校食堂管理人員為了解學生在校月消費情況，隨機抽取了100名學生進行調查.如圖是根據調査的結果繪制的學生在校月消費金額的頻率分布直方圖.已知，，金額段的學生人數成等差數列，將月消費金額不低于550元的學生稱為“高消費群”.（1）求m，n值，并求這100名學生月消費金額的樣本平均數.（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；（2）根據已知條件完成下面列聯表，并判斷能否有的把握認為“高消費群”與性別有關？高消費群非高消費群合計男女1050合計附：，其中0.100.050.0100.005K02.7063.8416.6357.87922．（10分）（1）已知，求復數；（2）已知復數滿足為純虛數，且，求復數．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

求出原函數的導函數，可得，得到，則，由x1≠x2，利用基本不等式求得x12+x22＞1．【詳解】由f（x）lnx，得f′（x）（x＞0），∴，整理得：，則，∴，則，∴x1x2≥2，∵x1≠x2，∴x1x2＞2．∴2x1x2＝1．故選：A．本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．2、B【解析】

由題意可得,,故.設,則.

關于

對稱,故

在上是增函數,當時有最小值為,無最大值,故的取值范圍為,

故選B.3、C【解析】

由題意可得求不規則幾何體的體積的求法，即運用祖暅原理.【詳解】“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異”的意思是“夾在兩平行平面之間的兩個幾何體被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果兩個截面面積仍然相等，那么這兩個幾何體的體積相等”，這就是以我國數學家祖暅命名的數學原理，故選：C.本題考查祖暅原理的理解，考查空間幾何體體積的求法，考查對概念的理解，屬于基礎題.4、A【解析】

由等差數列性質，得，問題得解.【詳解】是等差數列，，，解得.故選：A本題考查了等差數列的性質，屬于基礎題.5、B【解析】分析：先化簡復數z,再判斷其在平面內對應的點在第幾象限.詳解：由題得，所以復數z在平面內對應的點為，所以在平面內對應的點在第二象限.故答案為B.點睛：（1）本題主要考查復數的計算和復數的幾何意義，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)復數對應的點是（a,b）,點（a,b）所在的象限就是復數對應的點所在的象限.復數和點（a,b）是一一對應的關系.6、B【解析】

當指數函數與對數函數只有一個公共點時，則在該點的公切線的斜率相等，列出關于的方程.【詳解】設切點為，則，解得：故選B.本題考查導數的運算及導數的幾何意義，考查數形結合思想的應用，要注意根據指數函數與對數函數圖象的凹凸性，得到在其公共點處公切線的斜率相等.7、D【解析】試題分析：考點：函數求導數8、C【解析】

根據題意畫出圖形，結合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計算它的表面積．【詳解】三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H為PA的中點，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是S=4πR2=4×=57π．故答案為C本題主要考查正弦定理和線面位置關系，考查了幾何體外接球的應用問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.解題的關鍵求外接球的半徑．9、C【解析】試題分析：當時，，函數有兩個零點和，不滿足題意，舍去；當時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點，故不滿足題意，舍去；當時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則，選C．考點：1、函數的零點；2、利用導數求函數的極值；3、利用導數判斷函數的單調性．10、B【解析】由題意可得：據此有：.本題選擇B選項.11、C【解析】

根據等差數列的性質求出,根據等差數列的前項和公式可得.【詳解】因為{an}為等差數列,所以,所以,所以.故選C.本題考查了等差數列的性質、等差數列的前項和.屬于基礎題.12、A【解析】

由題意，三點的縱坐標中兩個較小數之和小于等于2，可得m2﹣m+2≤2，即可得出結論．【詳解】易知，所以，在上的最小值為.由題意可知，當，∴或，，故選A.本題考查新定義，考查學生轉化問題的能力，正確轉化是關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

，所以9-3r=6,r=1,=9,,故填1.14、【解析】

通過作出函數圖像，將三個實數解問題轉化為三個交點問題，可得m的取值范圍，于是再解出c的取值范圍可得最后結果.【詳解】作出函數圖像，由圖可知，恰有三個不同的實數解，于是，而，，解得，故，所以的取值范圍是.本題主要考查函數圖像的運用，分段函數的交點問題，意在考查學生的轉化能力，圖像識別能力，對學生的數形結合思想要求較高.15、3【解析】

根據函數單調性可知若存在零點則零點唯一，由零點存在定理可判斷出零點所在區間，從而求得結果.【詳解】由題意知：在上單調遞增若存在零點，則存在唯一一個零點又，由零點存在定理可知：，則本題正確結果：本題考查零點存在定理的應用，屬于基礎題.16、【解析】試題分析：根據題意，記白球為A，紅球為B，黃球為，則一次取出2只球，基本事件為、、、、、共6種，其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種；所以所求的概率是．考點：古典概型概率三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)乙生產線損失較多.(3)見解析【解析】

（1）利用對立事件概率公式可得；（2）根據二項分布的期望公式可得；（3）根據統計圖得三個等級的概率，求出隨機變量的分布列，利用公式求得期望．【詳解】（1）由題意，知，解得.（2）由（1）知，甲生產線產品不合格率為，乙生產線產品不合格率為.設從甲、乙生產線各隨機抽檢件產品，抽到不合格品件數分別為和，則，，所以，甲、乙損失的平均數分別為，.所以，乙生產線損失較多.（3）由題意，知，，.因為，，，所以的分布列為所以，（元）．所以，該產量為件時利潤的期望值為元.本題主要考查了離散型隨機變量的分布列及數學期望的求解，對于求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可能取值，計算得出概率，列出離散型隨機變量概率分布列，最后由期望公式計算出數學期望，其中列出離散型隨機變量概率分布列及計算數學期望是理科高考數學必考問題.18、（1）8；（2）；（3）分布列見解析，2.【解析】

（1）利用平均數的公式求解即可；（2）所求概率為評分恰好是10分的概率與評分大于等于8分的概率的比,即可求解；（3）由題知服從,進而去利用公式求解分布列及期望即可.【詳解】（1）設觀眾評分的平均數為,則（2）設A表示事件“1位觀眾評分不小于8分”,B表示事件“1位觀眾評分是10分”（3）由題知服從,（,1,2,3,4）則的分布列為：01234P本題考查平均數,考查二項分布的分布列與期望,考查數據處理能力.19、（1）；（2）【解析】

（1）由直線與圓相切，可得圓心到直線的距離等于半徑，列方程求解,進而由直角坐標轉化為極坐標即可；（2）設，（，，），由，展開利用三角函數求最值即可.【詳解】（1）由題意可知，直線的直角坐標方程為.曲線是圓心為，半徑為的圓，由直線與曲線相切可得.可知曲線的直角坐標方程為.所以曲線的極坐標方程為，即.（2）由（1）不妨設，（，，）..當時，面積的最大值為.本題主要考查了直角坐標與極坐標的互化，考查了極坐標系下三角形的面積公式，考查了三角函數的最值問題，屬于中檔題.20、（1）；（2）設備的性能為丙級別.理由見解析【解析】

（1）對于次品個數的數學期望的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合條件的次品數/樣本總數，次品可通過尋找直徑小于等于或直徑大于的零件個數求得，再根據該分布符合，進行期望的求值（2）根據（2）提供的評判標準，再結合樣本數據算出在每個對應事件下的概率，通過比較發現，，，三個條件中只有一個符合，等級為丙【詳解】解：（1）由圖表知道：直徑小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共計6件，從設備的生產流水線上任取一件，取到次品的概率為，依題意，故；（2）由題意知，，，，，，，所以由圖表知道：，，，所以該設備的性能為丙級別.對于正態分布題型的數據分析，需要結合的含義來進行