上海市浦東新區建平中學2025年高二數學第二學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內切圓，現在大正方形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．2．某校對甲、乙兩個文科班的數學考試成績進行分析，規定：大于或等于分為優秀，分以下為非優秀．統計成績后，得到如下的列聯表．根據列聯表的數據判斷有多少的把握認為“成績與班級有關系”（）優秀非優秀合計甲班乙班合計臨界值表：參考公式：．A． B． C． D．3．已知集合，，則A． B． C． D．4．下列說法中，正確說法的個數是（）①在用列聯表分析兩個分類變量與之間的關系時，隨機變量的觀測值越大，說明“與有關系”的可信度越大②以模型去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.3③已知兩個變量具有線性相關關系，其回歸直線方程為，若，，則A．0 B．1 C．2 D．35．拋物線上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是A． B． C． D．6．如表提供了某廠節能降耗技術改造后在生產產品過程中的記錄的產量與相應的生產能耗的幾組對應數據如圖：根據下表數據可得回歸方程，那么表中的值為（）A． B． C． D．7．已知某隨機變量的概率密度函數為則隨機變量落在區間內在概率為()A． B． C． D．8．若復數（）不是純虛數，則（）A． B． C． D．且9．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種10．設隨機變量ξ～N（μ，σ2），函數f（x）=x2+4x+ξ沒有零點的概率是0.5，則μ等于（）A．1 B．4 C．2 D．不能確定11．設，滿足約束條件則的最大值為（）A． B． C． D．12．在區間[0,2]上隨機取兩個數x，y，則xy∈[0,2]的概率是（）．A．1-ln22B．3-2ln二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數有且只有一個零點，是上兩個動點（為坐標原點），且，若兩點到直線的距離分別為，則的最大值為__________.14．函數y=3sin(2x+π15．設分別為橢圓的右頂點和上頂點，已知橢圓過點，當線段長最小時橢圓的離心率為_______．16．已知△ABC中，角A，B，C成等差數列，且△ABC的面積為2＋，則AC邊長的最小值是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若，恒成立，求的取值范圍.18．（12分）已知函數,（）.（1）當時，求的單調區間；（2）設點，是函數圖象的不同兩點，其中，，是否存在實數，使得，且函數在點切線的斜率為，若存在，請求出的范圍；若不存在，請說明理由.19．（12分）在件產品中，有件正品，件次品，從這件產品中任意抽取件.（1）共有多少種不同的抽法？（2）抽出的件中恰有件次品的抽法有多少種？（3）抽出的件中至少有件次品的抽法有多少種？20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數），且直線與曲線交于兩點，以直角坐標系的原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）已知點的極坐標為，求的值21．（12分）為評估設備生產某種零件的性能，從設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑5859616263646566676869707173合計件數11356193318442121100經計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值，用樣本估計總體.（1）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品，從設備的生產流水線上隨意抽取3個零件，計算其中次品個數的數學期望；（2）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據以下不等式進行評判（表示相應事件的概率）：①；②；③.評判規則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級并說明理由.22．（10分）某儀器配件質量采用值進行衡量，某研究所采用不同工藝，開發甲、乙兩條生產線生產該配件，為調查兩條生產線的生產質量，檢驗員每隔分別從兩條生產線上隨機抽取一個配件，測量并記錄其值，下面是甲、乙兩條生產線各抽取的30個配件值莖葉圖.經計算得，，，，其中分別為甲，乙兩生產線抽取的第個配件的值.（1）若規定的產品質量等級為合格，否則為不合格.已知產品不合格率需低于，生產線才能通過驗收，利用樣本估計總體，分析甲，乙兩條生產線是否可以通過驗收；（2）若規定時，配件質量等級為優等，否則為不優等，試完成下面的列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“配件質量等級與生產線有關”？產品質量等級優等產品質量等級不優等合計甲生產線乙生產線合計附：0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：設大正方形的邊長為1，其內切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，從而陰影部分的面積為，由此利用幾何概型能求出在大正方形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.詳解：設大正方形的邊長為1，其內切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，所以大正方形的面積為1，圓的面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以在大正方形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.點睛：本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計算問題，其中根據題意，準確求解陰影部分的面積是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，以及函數與方程思想的應用，屬于基礎題.2、C【解析】

計算出的觀測值，利用臨界值表找出犯錯誤的概率，可得出“成績與班級有關系”的把握性.【詳解】由表格中的數據可得，所以，，因此，有的把握認為“成績與班級有關系”，故選C.本題考查獨立性檢驗的基本思想，解題的關鍵就是計算出的觀測值，并利用臨界值表找出犯錯誤的概率，考查計算能力，屬于基礎題.3、C【解析】

利用一元二次不等式的解法化簡集合，再根據集合的基本運算進行求解即可．【詳解】因為，，所以，故選C．研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系.4、D【解析】

①分類變量與的隨機變量越大,說明“A與B有關系”的可信度越大②對同取對數，再進行化簡，可進行判斷③根據線性回歸方程，將，代入可求出值【詳解】對于①,分類變量A與B的隨機變量越大,說明“A與B有關系”的可信度越大,正確;

對于②,,兩邊取對數,可得,

令,可得,.即②正確;

對于③,根據具有線性相關關系的兩個變量的統計數據所得的回歸直線方程為中,,,則.故

③正確因此，本題正確答案是:①②③答案選D二聯表中越大，說明“A與B有關系”的可信度越大；將變量轉化成一般線性方程時，可根據系數對應關系對號入座進行求解；線性回歸方程的求解可根據,代入求出值5、B【解析】

由拋物線方程化標準方程為，再由焦半徑公式，可求得。【詳解】拋物線為，由焦半徑公式，得。選B.拋物線焦半徑公式：拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。6、D【解析】

計算出、，將點的坐標代入回歸直線方程可求出的值.【詳解】由題意得，，由于回歸直線過樣本的中心點，所以，，解得，故選：D.本題考查回歸直線方程的應用，解題時要熟悉回歸直線過樣本中心點這一結論的應用，考查計算能力，屬于基礎題.7、B【解析】

求概率密度函數在（1，3）的積分，求得概率．【詳解】由隨機變量X的概率密度函數的意義得，故選B．隨機變量的概率密度函數在某區間上的定積分就是隨機變量在這一區間上概率．8、A【解析】

先解出復數（）是純虛數時的值，即可得出答案．【詳解】若復數（）是純虛數，根據純虛數的定義有：，則復數（）不是純虛數，故選A本題考查虛數的分類，屬于基礎題．9、B【解析】5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有=960種不同的排法，選B．10、B【解析】試題分析：由題中條件：“函數f（x）=x2+4x+ξ沒有零點”可得ξ＞4，結合正態分布的圖象的對稱性可得μ值．解：函數f（x）=x2+4x+ξ沒有零點，即二次方程x2+4x+ξ=0無實根得ξ＞4，∵函數f（x）=x2+4x+ξ沒有零點的概率是0.5，∴P（ξ＞4）=0.5，由正態曲線的對稱性知μ=4，故選B．考點：正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．11、C【解析】

作出不等式對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，求目標函數的最大值即可．【詳解】畫出約束條件所表示的平面區域，如圖所示，由得到，平移直線，當過A時直線截距最小，最大，由得到，所以的最大值為，故選：C．本題主要考查簡單線性規劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．12、C【解析】試題分析：由題意所有的基本事件滿足0≤x≤20≤y≤2，所研究的事件滿足0≤y≤2x，畫出可行域如圖，總的區域面積是一個邊長為2的正方形，其面積為4，滿足0≤y≤2x的區域的面積為考點：幾何概型二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據函數的奇偶性先求解出的值，然后根據判斷出中點的軌跡，再根據轉化關系將的最大值轉化為圓上點到直線的距離最大值，由此求解出結果.【詳解】因為的定義域為，且，所以是偶函數，又因為有唯一零點，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，設的中點為，，如下圖所示：所以，又因為，所以，所以的軌跡是以坐標原點為圓心，半徑為的圓，所以當取最大值時，為過垂直于的線段與的交點，所以，所以.故答案為：.本題考查函數奇偶性、圓中的軌跡方程、圓上點到直線的距離最值，屬于綜合型題型，難度較難.圓上點到一條與圓相離直線的距離最值求解方法：先計算出圓心到直線的距離，則距離最大值為，距離最小值為.14、π【解析】

∵函數y=sinx的周期為∴函數y=3sin(2x+π故答案為π.15、【解析】

將代入橢圓方程可得，從而，利用基本不等式可知當時，線段長最小，利用橢圓的關系和可求得結果.【詳解】橢圓過得：由橢圓方程可知：，又（當且僅當，即時取等號）當時，線段長最小本題正確結果：本題考查橢圓離心率的求解問題，關鍵是能夠利用基本不等式求解和的最小值，根據等號成立條件可得到橢圓之間的關系，從而使問題得以求解.16、【解析】

分析：由已知及等差數列的性質可得，結合三角形內角和定理可求的值，利用三角形面積公式可得，利用余弦定理及基本不等式可解得邊的最小值.詳解：成等差數列，，又，由，得，，因為，，解得，的最小值為，故答案為.點睛：本題主要考查了等差數列的性質、三角形內角和定理、三角形面積公式、余弦定理，基本不等式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化與劃歸思想，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）利用分類討論法解不等式得解集；（2）先求出，，再解不等式得解.【詳解】解：（1）不等式可化為當時，，，所以無解；當時，，所以；當時，，，所以.綜上，不等式的解集是.（2），若，恒成立，則，解得：.本題主要考查分類討論法解不等式，考查絕對值三角不等式和不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.18、（1）的增區間為,減區間為；（2）存在實數取值范圍是.【解析】

（1）分別研究，兩種情況，先對函數求導，利用導數的方法判斷其單調性，即可得出結果；（2）先由題意，得到，再根據，得到，得出，再由導數的幾何意義，結合題中條件，得到，構造函數，用導數的方法研究函數的單調性，進而可得出結果.【詳解】(1)當時,,令得,令得.當時，，所以在上是增函數。所以當時，的增區間為,減區間為；(2)由題意可得：，，所以，，令，則在單調遞增，單調遞減,，當時，，所以存在實數取值范圍是.本題主要考查導數的應用，通常需要對函數求導，用導數的方法研究單調性，最值等，屬于常考題型.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）從這件產品中任意抽出件，是組合問題，利用組合數的定義可得出結果；（2）抽出的件中恰好有件次品是指件正品，件次品，利用組合計數原理和分步計數原理可得出結果；（3）在件產品中任意抽出件的抽法種數減去件產品全是正品的抽法種數，用間接法求解．【詳解】（1）從這件產品中任意抽出件，共有種不同的抽法；（2）抽出的件中恰好有件次品的抽法，是指件正品，件次品，有種不同的抽法；（3）抽出的件中至少有件次品的抽法種數，可以在件產品中任意抽出件的抽法種數減去件產品全是正品的抽法種數，因此，共有種不同的抽法.本題考查組合知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．20、(1).(2).【解析】分析：(1)曲線C的參數方程消去參數，得曲線C的普通方程，整理得到，由此，根據極坐標與平面直角坐標之間的關系，可以求得曲線C的極坐標方程；(2)將直線的參數方程與曲線C的普通方程聯立，利用直線方程中參數的幾何意義，結合韋達定理，求得結果.詳解：（1）的普通方程為，整理得，所以曲線的極坐標方程為.（2）點的直角坐標為，設，兩點對應的參數為，，將直線的參數方程代入曲線的普通方程中得，整理得.所以，且易知，，由參數的幾何意義可知，，，所以.點睛：該題考查的是有關坐標系與參數方程的問題，涉及到的知識點有曲線的參數方程向普通方程的轉化，曲線的平面直角坐標方程向極坐標方程的轉化，直線的參數方程中參數的幾何意義，在解題的過程中，要認真分析，細心求解.21、（1）；（2）設備的性能為丙級別.理由見解析【解析】

（1）對于次品個數的數學期望的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合條件的次品數/樣本總數，次品可通過尋找直徑小于等于或直徑大于的零件個數求得，再根據該分布符合，進行期望的求值（2）根據（2）