上海市虹口區復興高級中學2024-2025學年高二下數學期末檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．—個盒子里裝有相同大小的紅球、白球共個,其中白球個.從中任取兩個,則概率為的事件是(

).A．沒有白球 B．至少有一個白球C．至少有一個紅球 D．至多有一個白球2．在發生某公共衛生事件期間，有專業機構認為該事件在一段時間沒有發生在規模群體感染的標志為“連續10天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據，一定符合該標志的是A．甲地：總體均值為3，中位數為4 B．乙地：總體均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數為2，眾數為3 D．丁地：總體均值為2，總體方差為33．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．不等式的解集為（）A． B．C． D．5．已知集合，，那么()A． B． C． D．6．設，則（）A． B．10 C． D．1007．已知函數在恰有兩個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知函數，其圖象關于直線對稱，為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象上的所有點（）A．先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變B．先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變C．先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變D．先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變9．設，則=A．2 B． C． D．110．已知展開式中項的系數為5，則＝（）A． B．π C．2π D．4π11．已知函數的導函數為，且滿足，則（）A． B． C．2 D．-212．已知隨機變量，若，則分別是（）A．6和5.6 B．4和2.4 C．6和2.4 D．4和5.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某市在“一帶一路”國際合作高峰論壇前夕，在全市高中學生中進行“我和‘一帶一路’”的學習征文，收到的稿件經分類統計，得到如圖所示的扇形統計圖，又已知全市高一年級共交稿份，則高三年級的交稿數為________.14．如圖，在平面四邊形中，，，，.若點為上的動點，則的最小值為______.15．對于任意的實數,記為中的最小值.設函數，，函數,若在恰有一個零點,則實數的取值范圍是____________.16．若函數在區間上為單調增函數，則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知以點為圓心的圓經過點和，線段的垂直平分線交圓于點和，且．（1）求直線的方程；（2）求圓的方程．18．（12分）繼共享單車之后，又一種新型的出行方式------“共享汽車”也開始亮相南昌市，一款共享汽車在南昌提供的車型是“吉利”.每次租車收費按行駛里程加用車時間,標準是“1元/公里＋0.1元/分鐘”，李先生家離上班地點10公里，每次租用共享汽車上、下班，由于堵車因素，每次路上開車花費的時間是一個隨機變量，根據一段時間統計40次路上開車花費時間在各時間段內的情況如下：時間（分鐘）次數814882以各時間段發生的頻率視為概率，假設每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為分鐘.（1）若李先生上、下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘，便是所有可選擇的交通工具中的一次最優選擇，設是4次使用共享汽車中最優選擇的次數，求的分布列和期望.（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽車，一個月（以20天計算）平均用車費用大約是多少（同一時段，用該區間的中點值作代表）.19．（12分）已知函數，，若且對任意實數均有成立．（1）求表達式；（2）當時，是單調函數，求實數的取值范圍．20．（12分）已知函數當時，求函數在處的切線方程；當時，求函數的最大值。21．（12分）若二面角的平面角是直角，我們稱平面垂直于平面，記作.（1）如圖，已知，，，且，求證：；（2）如圖，在長方形中，，，將長方形沿對角線翻折，使平面平面，求此時直線與平面所成角的大小.22．（10分）（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，過點(22,π4)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】表示任取的兩個球中只有一個白球和兩個都是白球的概率，即至少有一個白球的概率.故選B.點睛：古典概型中基本事件數的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.2、D【解析】試題分析：由于甲地總體均值為，中位數為，即中間兩個數（第天）人數的平均數為，因此后面的人數可以大于，故甲地不符合.乙地中總體均值為，因此這天的感染人數總數為，又由于方差大于，故這天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位數為，眾數為，出現的最多，并且可以出現，故丙地不符合，故丁地符合.考點：眾數、中位數、平均數、方差3、D【解析】由題意，令，所以，所以，因為，所以所以所以，故選D.4、D【解析】

利用指數函數的單調性，得到關于的一元二次不等式，解得答案.【詳解】不等式，轉化為，因為指數函數單調遞增且定義域為，所以，解得.故不等式的解集為.故選：D.本題考查解指數不等式，一元二次不等式，屬于簡單題.5、C【解析】

解出集合B，即可求得兩個集合的交集.【詳解】由題：，所以.故選：C此題考查求兩個集合的交集，關鍵在于準確求出方程的解集，根據集合交集運算法則求解.6、B【解析】

利用復數的除法運算化簡為的形式，然后求得的表達式，進而求得.【詳解】，，.故選B.本小題主要考查復數的除法運算，考查復數的平方和模的運算，屬于基礎題.7、B【解析】

本題可轉化為函數與的圖象在上有兩個交點，然后對求導并判斷單調性，可確定的圖象特征，即可求出實數的取值范圍.【詳解】由題意，可知在恰有兩個解，即函數與的圖象在上有兩個交點，令，則，當可得，故時，；時，.即在上單調遞減，在上單調遞增，，，，因為，所以當時，函數與的圖象在上有兩個交點，即時，函數在恰有兩個零點.故選B.已知函數有零點（方程有根）求參數值常用的方法：（1）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；（2）數形結合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后觀察求解.8、D【解析】

由函數的圖象關于直線對稱，得，進而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數的圖象關于直線對稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數的圖象上的所有點“先向左平移個單位長度，得再將橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變,得”即可.故選：D本題考查三角函數的圖象與性質，考查圖像變換，考查運算求解能力，是中檔題9、C【解析】

先由復數的除法運算（分母實數化），求得，再求．【詳解】因為，所以，所以，故選C．本題主要考查復數的乘法運算，復數模的計算．本題也可以運用復數模的運算性質直接求解．10、B【解析】

通過展開式中項的系數為列方程，解方程求得的值.利用幾何法求得定積分的值.【詳解】展開式中項為即，條件知，則；于是被積函數圖像，圍成的圖形是以為圓心，以2為半徑的圓的，利用定積分的幾何意義可得，選B.本小題主要考查二項式展開式，考查幾何法計算定積分，屬于中檔題.11、D【解析】試題分析：題中的條件乍一看不知如何下手，但只要明確了是一個常數，問題就很容易解決了．對進行求導：=，所以，-1.考點：本題考查導數的基本概念及求導公式．點評：在做本題時，遇到的主要問題是①想不到對函數進行求導；②的導數不知道是什么．實際上是一個常數，常數的導數是0.12、B【解析】分析：根據變量ξ～B（10，0.4）可以根據公式做出這組變量的均值與方差，隨機變量η=8﹣ξ，知道變量η也符合二項分布，故可得結論．詳解：∵ξ～B（10，0.4），∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，∵η=8﹣ξ，∴Eη=E（8﹣ξ）=4，Dη=D（8﹣ξ）=2.4故選：B．點睛：本題考查變量的均值與方差，均值反映數據的平均水平，而方差反映數據的波動大小，屬于基礎題．方差能夠說明數據的離散程度，期望說明數據的平均值，從選手發揮穩定的角度來說，應該選擇方差小的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

計算高三所占扇形圓心角度數，再根據比例關系求得高三年級的交稿數.【詳解】根據扇形統計圖知，高三所占的扇形圓心角為.且高一年級共交稿份，則高三年級的交稿數為（份），故選：D.本題考查扇形統計圖的應用，解題時要根據扇形統計圖的特點列等式求解，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

建立直角坐標系，得出，，利用向量的數量積公式即可得出，結合，得出的最小值.【詳解】因為，所以以點為原點，為軸正方向，為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，所以，又因為，所以直線的斜率為，易得，因為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，所以，設點坐標為，則，則，，所以又因為，所以當時，取得最小值為．本題主要考查平面向量基本定理及坐標表示、平面向量的數量積以及直線與方程．15、或【解析】分析：函數可以看做由函數向上或向下平移得到，在同一個坐標系中畫出和圖象即可分析出來詳解：如圖，設，所以函數可以看做由函數向上或向下平移得到其中在上當有最小值所以要使得,若在恰有一個零點,滿足或所以或點睛：函數問題是高考中的熱點，也是難點，函數零點問題在選擇題或者填空題中往往要數形結合分析比較容易，要能夠根據函數變化熟練畫出常見函數圖象，對于不常見簡單函數圖象要能夠利用導數分析出其圖象，數形結合分析.16、[1，＋∞)【解析】函數在區間上為單調增函數等價于導函數在此區間恒大于等于0，故三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】

（1）先求得直線的斜率和的中點，進而求得斜率，利用點斜式得直線方程．（2）設出圓心的坐標，利用直線方程列方程，利用點到直線的距離確定和的等式綜合求得和，則圓的方程可得．【詳解】（1）直線的斜率，的中點坐標為直線的方程為（2）設圓心，則由點在上，得．①又直徑，，．②由①②解得或，圓心或圓的方程為或本題主要考查了直線與圓的方程的應用．考查了學生基礎知識的綜合運用能力．18、（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）542元.【解析】試題分析：（1）首先求為最優選擇的概率是，故ξ的值可能為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），進而求得分布列和期望值；（2）根據題意得到每次花的平均時間為35.5，根據花的費用為10+35.5*0.1得到費用.解析：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽車，為最優選擇的概率依題意ξ的值可能為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），，，，，，∴ξ的分布列為：ξ01234P（或）．（Ⅱ）每次用車路上平均花的時間（分鐘）每次租車的費用約為10+35.5×0.1=13.55元．一個月的平均用車費用約為542元．19、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據可以得到與的關系，將中代換成表示，再根據對任意實數均有成立，列出關于的不等式，求解得到的值，進而得到的值，即可求得的表達式；（2）為二次函數，利用二次函數的單調性與開口方向和對稱軸的關系，列出關于的不等關系，求解即可得到實數的取值范圍.試題解析：(1）∵,∴．∵，∴，∴，∴．∵恒成立，∴∴∴，從而，∴．(2）．∵在上是單調函數，∴或，解得，或．∴的取值范圍為．點睛：本題考查了求導公式求函數的導函數，考查了函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法，數形結合法解決，同時考查了二次函數的單調性問題，二次函數的單調性與開口方向和對稱軸有關，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.20、（1）（2）答案不唯一，具體見解析【解析】

（1）當時，，利用導數的幾何意義求曲線的切線方程；（2）求函數的導數，討論，，三種情況函數的單調性，得到函數的最大值.【詳解】解：當時，，，所以切線方程為，即當時，當，，單調遞增，此時，當時，當，，單調遞減，當，，單調遞增，此時,又，所以當時，當時，.當時，當，，單調遞減，此時綜上，當時，，當時，.本題第二問考查了根據函數的導數求函數的最值，第二問的難點是當時，根據函數的單調性可知函數的最大值是或，需做差討論得到和的大小關系.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）在內過點作，根據題意得到，進而可得出結論；（2）過點作于點，連接，得到即是直線與平面所成角，根據題中條件，求出，，由余弦定理得到，進而可求出結果.【詳解】（1）在內過點作，因為，，且，所以，因為，所以；（2）