湖南省汨羅市第二中學2024-2025學年數學高二下期末監測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷葉上跳來跳去（每次跳躍時，均從一片荷葉跳到另一片荷葉），而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示.假設現在青蛙在荷葉上，則跳三次之后停在荷葉上的概率是（）A． B． C． D．2．下列函數既是奇函數又在（﹣1，1）上是減函數的是（）A． B．C．y＝x﹣1 D．y＝tanx3．若一個直三棱柱的所有棱長都為1，且其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）．A． B． C． D．4．設兩個正態分布和的密度函數圖像如圖所示．則有（）A．B．C．D．5．正邊長為2，點是所在平面內一點，且滿足，若，則的最小值是（）A． B． C． D．6．函數在閉區間上有最大值3，最小值為2，的取值范圍是A． B． C． D．7．4名學生報名參加語、數、英興趣小組，每人選報1種，則不同方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種8．設函數，，若存在唯一的整數，使，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設，則（）A． B． C． D．10．若，則等于（）A． B． C． D．11．已知是函數的零點，是函數的零點，且滿足，則實數的最小值是（）.A．-1 B． C． D．12．某產品的銷售收入（萬元）關于產量（千臺）的函數為；生產成本（萬元）關于產量（千臺）的函數為，為使利潤最大，應生產產品()A．9千臺 B．8千臺 C．7千臺 D．6千臺二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標系中，已知點M（1，0，1），N（-1，1，2），則線段MN的長度為____________14．已知橢圓：與雙曲線：的焦點重合，與分別為、的離心率，則的取值范圍是__________.15．已知正整數n，二項式的展開式中含有的項，則n的最小值是________16．若，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2018年6月14日，第二十一屆世界杯足球賽將在俄羅斯拉開帷幕.為了了解喜愛足球運動是否與性別有關，某體育臺隨機抽取100名觀眾進行統計，得到如下列聯表.（1）將列聯表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜愛足球運動與性別有關？（2）在不喜愛足球運動的觀眾中，按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加一臺訪談節目，求這2人至少有一位男性的概率.18．（12分）已知(a∈R).（1）當時,判斷f(x)在定義域上的單調性；（2）若f(x)在[1,e]上的最小值為,求a的值；（3）若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立，試求19．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規定：機動車行經人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統計數據：月份12345違章駕駛員人數1201051009085（Ⅰ）請利用所給數據求違章人數與月份之間的回歸直線方程并預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數；（Ⅱ）交警從這5個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人，調查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關系，得到如下列聯表：不禮讓斑馬線禮讓斑馬線合計駕齡不超過1年22830駕齡1年以上81220合計302050能否據此判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關？參考公式：，，（其中）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）某小組共有10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.（I）設為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件發生的概率；（II）設為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數學期望.21．（12分）已知橢圓:經過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，為橢圓的左焦點，若，求直線的方程.22．（10分）已知橢圓的離心率為，其中左焦點.（1）求出橢圓的方程；（2）若直線與曲線交于不同的兩點，且線段的中點在曲線上，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據條件先求出逆時針和順時針跳的概率，然后根據跳3次回到A，則應滿足3次逆時針或者3次順時針，根據概率公式即可得到結論．【詳解】設按照順時針跳的概率為p，則逆時針方向跳的概率為2p，則p+2p=3p=1，解得p=，即按照順時針跳的概率為，則逆時針方向跳的概率為，若青蛙在A葉上，則跳3次之后停在A葉上，則滿足3次逆時針或者3次順時針，①若先按逆時針開始從A→B，則對應的概率為××=，②若先按順時針開始從A→C，則對應的概率為××=，則概率為+==，故選：C.本題考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎題.2、B【解析】

對各選項逐一判斷即可，利用在上為增函數，在上為減函數,即可判斷A選項不滿足題意，令，即可判斷其在遞增，結合復合函數的單調性判斷法則即可判斷B選項滿足題意對于C,D，由初等函數性質，直接判斷其不滿足題意.【詳解】解：根據題意，依次分析選項：對于A，在上為增函數，在上為減函數,所以y（3x﹣3﹣x）在R上為增函數，不符合題意；對于B，，所以是奇函數，令，則由，兩個函數復合而成又，它在上單調遞增所以既是奇函數又在（﹣1，1）上是減函數，符合題意，對于C，y＝x﹣1是反比例函數，是奇函數，但它在（﹣1，1）上不是減函數，不符合題意；對于D，y＝tanx為正切函數，是奇函數，但在（﹣1，1）上是增函數，不符合題意；故選：B．本題主要考查了函數奇偶性的判斷，還考查了復合函數單調性的判斷法則及初等函數的性質，屬于中檔題。3、B【解析】

根據題意畫出其立體圖形.設此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點,利用勾股定理求出球的半徑,即可求得該球的表面積．【詳解】畫出其立體圖形:直三棱柱的所有棱長都為1,且每個頂點都在球的球面上，設此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點，設球的半徑為，在中是其外接圓半徑,由正弦定理可得:,,即在中∴球的表面積.故選:B.本題主要考查空間幾何體中位置關系、球和正棱柱的性質.解決本題的關鍵在于能想象出空間圖形,并能準確的判斷其外接球的球心就是上下底面中心連線的中點．4、A【解析】根據正態分布函數的性質：正態分布曲線是一條關于對稱，在處取得最大值的連續鐘形曲線；越大，曲線的最高點越底且彎曲較平緩；反過來，越小，曲線的最高點越高且彎曲較陡峭，選A．5、A【解析】分析：建立直角坐標系后求出各點坐標，用坐標表示詳解：如圖：以為原點，所在直線為軸，過點垂直于為軸則，，設，則點軌跡為由可得：故當時，故選點睛：本題主要考查的是平面向量的基本定理．設不共線的兩個向量為基底，求參量和的最值，本題的解法較多，可以通過建立空間直角坐標系，求交點坐標建立數量關系，也可以用等和線來解．6、C【解析】

本題利用數形結合法解決，作出函數的圖象，如圖所示，當時，最小，最小值是2，當時，，欲使函數在閉區間，上的上有最大值3，最小值2，則實數的取值范圍要大于等于1而小于等于2即可．【詳解】解：作出函數的圖象，如圖所示，當時，最小，最小值是2，當時，，函數在閉區間，上上有最大值3，最小值2，則實數的取值范圍是，．故選：．本題考查二次函數的值域問題，其中要特別注意它的對稱性及圖象的應用，屬于中檔題．7、B【解析】

直接根據乘法原理計算得到答案.【詳解】每個學生有3種選擇，根據乘法原理共有種不同方法.故選：.本題考查了乘法原理，屬于簡單題.8、C【解析】

先確定是唯一整數解,再通過圖像計算得到范圍.【詳解】是函數單調遞減；函數單調遞增.存在唯一的整數，使取，，滿足，則0是唯一整數.恒過定點如圖所示：

即綜上所訴：故答案選C本題考查了函數的圖像，函數的單調性，首先確定0是唯一解是解題的關鍵.9、A【解析】

根據復數除法運算得到，根據復數模長定義可求得結果.【詳解】，.故選：.本題考查復數模長的求解，涉及到復數的除法運算，屬于基礎題.10、D【解析】

中最大的數為，包含個數據，且個數據是連續的正整數，由此可得到的表示.【詳解】因為，所以表示從連乘到，一共是個正整數連乘，所以.故選：D.本題考查排列數的表示，難度較易.注意公式：的運用.11、A【解析】

先根據的單調性確定出最小值從而確定出的值，再由不等式即可得到的范圍，根據二次函數零點的分布求解出的取值范圍.【詳解】因為，所以當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，又因為，所以，因為對應的，且有零點，（1）當時，或，所以，所以，所以，（2）當時，或，此時，所以，綜上可知：，所以.故選：A.本題考查利用導數判斷函數的零點以及根據二次函數的零點分布求解參數范圍，屬于綜合性問題，難度較難.其中處理二次函數的零點分布問題，除了直接分析還可以采用畫圖象的方法進行輔助分析.12、B【解析】

根據題意得到利潤關于產量的函數式，再由導數求得使利潤最大時的產量，即可求解出答案?！驹斀狻吭O利潤為萬元，則，，令，得，令，得，∴當時，取最大值，故為使利潤最大，應生產8千臺．選B.本題主要考查了利用導數的性質求函數的最值來解決實際問題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據兩點間距離公式計算．【詳解】．故答案為．本題考查空間兩點間距離公式，屬于基礎題．14、【解析】

由兩曲線焦點重合，得出的關系，再求出，由剛才求得的關系式消元后得，令，換元后利用函數的單調性可得范圍．其中要注意變量的取值范圍，否則會出錯．【詳解】因為橢圓：與雙曲線：的標準方程分別為：和，它們的焦點重合，則,所以，∴，，另一方面，令，則，，于是，所以故答案為：本題考查橢圓與雙曲線的離心率問題，利用焦點相同建立兩曲線離心率的關系，再由函數的性質求得取值范圍．為了研究函數的方便，可用換元法簡化函數．15、4.【解析】分析：根據二項式呃展開式得到第r+1項為，，對r,n賦值即可.詳解：二項式的展開式中第r+1項為則，當r=1時，n=4。故答案為：4.點睛：這個題目考查的是二項式中的特定項的系數問題，在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數還是系數，還要注意在求系數和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等.16、8【解析】

根據題意對進行換元，然后利用基本不等式的推廣公式求解出目標的最小值。【詳解】解：令，，即，所以，當且僅當，即，即當時等號成立.本題考查了基本不等式推廣公式的使用，運用基本不等式推廣公式時，一定要注意題意是否滿足“一正、二定、三相等”的條件。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析；(2).【解析】分析：讀懂題意，補充列聯表，代入公式求出的值，對照表格，得出結論；（2）根據古典概型的特點，采用列舉法求出概率。詳解：（1）補充列聯表如下：由列聯表知故可以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜愛足球運動與性別有關.（2）由分層抽樣知，從不喜愛足球運動的觀眾中抽取6人，其中男性有人，女性有人.記男性觀眾分別為，女性觀眾分別為，隨機抽取2人，基本事件有共15種記至少有一位男性觀眾為事件，則事件包含共9個基本事件由古典概型，知點睛：本題主要考查了獨立性檢驗的應用以及古典概型，屬于中檔題。解決獨立性檢驗的三個步驟：（1）根據樣本數據制成列聯表；（2）計算的值；（3）查值比較的值與臨界值的大小關系，作出判斷。18、（1）見解析；（2）a=-e【解析】分析：（1）f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝，由此利用導數性質能求出f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數；（2）由（1）根據a的取值范圍分類討論，由此利用導數性質能求出a；（3）由fx<x2?詳解：(1)由題意知f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數．(2)由(1)可知，f′(x)＝.①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為增函數，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)．②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為減函數，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去)．③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，當1<x<－a時，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上為減函數；當－a<x<e時，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上為增函數，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，∴a＝－.綜上所述，a＝－.(3)∵f(x)<x2，∴lnx－<x2.又x>0，∴a>xlnx－x3.令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝.∵x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是減函數．∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是減函數．g(x)<g(1)＝－1，∴當a≥－1時，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立．故a的取值范圍是[－1，＋∞)．點睛：本題考查函數的單調區間和實數取值范圍的求法，解題時認真審題，注意分類討論思想和導數性質的合理應用.19、（Ⅰ）66人；（Ⅱ）能.【解析】

（I）利用所給數據，求出線性回歸方程，令即可得出答案。（Ⅱ）由列聯表中數據計算出觀測值，與臨界值比較即可?！驹斀狻浚↖）利用所給數據，計算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（120+105+100+90+85）＝100；==＝100﹣（﹣8.5）×3＝125.5；∴與之間的回歸直線方程；當時，，即預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員有66人；（II）由列聯表中數據，計算，由此能判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關．本題考查線性回歸方程與獨立性檢驗，考查學生的理解計算能力，屬于簡單題。20、（I）；（II）.【解析】

（I）和為4次有兩種情況，一個是1次一個是3次與兩個都是2次；（II）隨機變量的所有可能取值有三種，為0,1,2，分別求出其概率即可求解.【詳解】（I）由已知得