江蘇省蘇州外國語學校2025屆數學高二第二學期期末檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的右焦點為．短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知隨機變量服從正態分布,,則A． B． C． D．3．已知，，，則（）A． B． C． D．4．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值為（）A．4 B．5 C．6 D．75．在的展開式中，系數最大的項是（）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項6．已知，的最小值為，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知函數，若且對任意的恒成立，則的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．58．方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．下列命題中真命題的個數是（）①若樣本數據，，…，的方差為16，則數據，，…，的方差為64；②“平面向量，夾角為銳角，則”的逆命題為真命題；③命題“，”的否定是“，”；④若：，：，則是的充分不必要條件.A．1 B．2 C．3 D．410．已知函數的導函數的圖象如圖所示，那么（）A．是函數的極小值點B．是函數的極大值點C．是函數的極大值點D．函數有兩個極值點11．設集合,,,則集合中元素的個數為()A． B． C． D．12．若1-2x2019=a0+A．2017 B．2018 C．2019 D．2020二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，且，則_______.14．函數f(x)=-x-3a(x<0)ax-2(x≥0)，(a>0且a≠1)是R上的減函數，則15．交通部門對某路段公路上行駛的汽車速度實施監控，從速度在的汽車中抽取300輛進行分析，得到數據的頻率分布直方圖如圖所示，則速度在以下的汽車有_____輛.16．如圖，是正方體的棱上的一點，且平面，則異面直線與所成角的余弦值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）函數f(x)對任意的m，，都有，并且時，恒有(1)求證：f(x)在R上是增函數(2)若，解不等式18．（12分）雙曲線的虛軸長為，兩條漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）雙曲線上有兩個點，直線和的斜率之積為，判別是否為定值，；（3）經過點的直線且與雙曲線有兩個交點，直線的傾斜角是，是否存在直線（其中）使得恒成立？（其中分別是點到的距離）若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.19．（12分）某校在一次趣味運動會的頒獎儀式上，高一、高二、高三各代表隊人數分別為160人、120人、人.為了活躍氣氛，大會組委會在頒獎過程中穿插抽獎活動，并用分層抽樣的方法從三個代表隊中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表隊有6人.（1）求的值；（2）把到前排就坐的高二代表隊6人分別記為，，，，，，現隨機從中抽取2人上臺抽獎.求或沒有上臺抽獎的概率.（3）抽獎活動的規則是：代表通過操作按鍵使電腦自動產生兩個之間的均勻隨機數，，并按如圖所示的程序框圖執行.若電腦顯示“中獎”，則該代表中獎；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎，求該代表中獎的概率.20．（12分）(1)求的解集M；(2)設且a＋b＋c＝1．求證：．21．（12分）將正整數排成如圖的三角形數陣，記第行的個數之和為.（1）設，計算，，的值，并猜想的表達式；（2）用數學歸納法證明（1）的猜想.22．（10分）某公司訂購了一批樹苗，為了檢測這批樹苗是否合格，從中隨機抽測株樹苗的高度，經數據處理得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中最高的株樹苗的高度的莖葉圖如圖2所示，以這株樹苗的高度的頻率估計整批樹苗高度的概率.（1）求這批樹苗的高度于米的概率，并求圖中的值；（2）若從這批樹苗中隨機選取株，記為高度在的樹苗數量，求的分布列和數學期望；（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態分布的概率分布，如果這批樹苗的高度近似于正態分布的概率分布，則認為這批樹苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問：該批樹苗是否被簽收？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析：設是橢圓的左焦點，由于直線過原點，因此兩點關于原點對稱，從而是平行四邊形，所以，即，，設，則，所以，，即，又，所以，．故選A．考點：橢圓的幾何性質．【名師點睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得關系或范圍，解題的關鍵是利用對稱性得出就是，從而得，于是只有由點到直線的距離得出的范圍，就得出的取值范圍，從而得出結論．在涉及到橢圓上的點到焦點的距離時，需要聯想到橢圓的定義．2、D【解析】

，選D.3、D【解析】

根據指數和對數函數的單調性可確定臨界值，從而得到大小關系.【詳解】；；且本題正確選項：本題考查利用指數和對數函數的單調性比較大小的問題，屬于基礎題.4、A【解析】試題分析：模擬運算：k=0,S=0,S<100成立S=0+2S=1+2S=3+2S=7+2S=15+2S=15+2S=31+2S=63+26=127,k=6+1=7,S=127<100考點：程序框圖．5、C【解析】

先判斷二項式系數最大的項，再根據正負號區別得到答案.【詳解】的展開式中共有8項.由二項式系數特點可知第4項和第5項的二項式系數最大，但第4項的系數為負值，所以的展開式中系數最大的項為第5項.故選C.本題考查了展開式系數的最大值，先判斷二項式系數的最大值是解題的關鍵.6、C【解析】

如圖所示：在直角坐標系中，取點，，，得到的軌跡方程為，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在直角坐標系中，取點，，，則，，滿足，設，過點作垂直于所在的直線與，則的最小值為，即，根據拋物線的定義知的軌跡方程為：.取，故，即，當垂直于準線時等號成立.故選：.本題考查了向量和拋物線的綜合應用，根據拋物線的定義得到的軌跡方程是解題的關鍵.7、B【解析】分析：問題轉化為對任意恒成立，求正整數的值．設函數，求其導函數，得到其導函數的零點位于內，且知此零點為函數的最小值點，經求解知，從而得到0，則正整數的最大值可求．．詳解：因為，所以對任意恒成立，

即問題轉化為對任意恒成立．

令，則令，則，

所以函數在上單調遞增．

因為

所以方程在上存在唯一實根，且滿足．

當時，，

即，當時，，即，

所以函數在上單調遞減，

在上單調遞增．

所以所以

因為），

故整數的最大值是3，

故選：B．點睛：本題考查了利用導數研究函數的單調區間，考查了數學轉化思想，解答此題的關鍵是，如何求解函數的最小值，屬難題．8、A【解析】

將橢圓方程化為標準方程，根據題中條件列出關于的不等式，解出該不等式可得出實數的取值范圍.【詳解】橢圓的標準方程為，由于該方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，因此，實數的取值范圍是，故選A.本題考查橢圓的標準方程，考查根據方程判斷出焦點的位置，解題時要將橢圓方程化為標準形式，結合條件列出不等式進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.9、C【解析】分析：對四個命題逐一分析即可.詳解：對于①，由方差的性質得：則數據，，…，的方差為，故正確；對于②，逆命題為平面向量，滿足，則向量，夾角為銳角，是假命題，故錯誤；對于③，命題“，”的否定是“，”，正確；對于④，，，是的充分不必要條件，故正確.故選C.點睛：本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識點較多，綜合性較強，但難度不大.10、C【解析】

通過導函數的圖象可知；當在時，；當在時，，這樣就可以判斷有關極值點的情況.【詳解】由導函數的圖象可知：當在時，，函數單調遞增；當在時，，函數單調遞減，根據極值點的定義，可以判斷是函數的極大值點，故本題選C.本題考查了通過函數導函數的圖象分析原函數的極值點的情況.本題容易受導函數的單調性的干擾.本題考查了識圖能力.11、A【解析】

由題意可得出：從,,任選一個；或者從,任選一個；結合題中條件,確定對應的選法，即可得出結果．【詳解】解：根據條件得：從,,任選一個,從而,,任選一個,有種選法；或時,,有兩種選法；共種選法；C中元素有個．故選A．本題主要考查列舉法求集合中元素個數，熟記概念即可，屬于基礎題型.12、A【解析】

通過對等式中的x分別賦0，1，求出常數項和各項系數和得到要求的值.【詳解】令x=0，得a0令x=1，得-1=a所以a0故選A.該題考查的是有二項展開式中系數和的有關運算問題，涉及到的知識點有應用賦值法求二項式系數和與常數項，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由題意可得解得.【名師點睛】（1）向量平行：，,.（2）向量垂直：.（3）向量的運算：.14、(0,【解析】試題分析：因為函數f(x)=-x-3a(x<0)ax-2(x≥0)(a>0且a≠1)是R上的減函數，即?．故其每一段都為減函數，且前一段的最小值須大于等于后一段的最大值；故答案為考點：分段函數的單調性.【方法點晴】本題是對分段函數單調性的考查，難度適中，容易進入陷阱，要想整個函數單調遞減，前提必須為分段函數的每一段都有自己的單調性，所以在研究整函數的單調性時每一段都在考查范圍內．當函數為減函數時，故其每一段都為減函數，且前一段的最小值須大于等于后一段的最大值；當函數為增函數時，故其每一段都為增函數，且前一段的最大值須小于等于后一段的最小值.15、150【解析】

先計算出速度在以下的頻率，然后再計算出車輛的數量【詳解】因為速度在以下的頻率為，所以速度在以下的汽車有.本題考查了頻率分布直方圖的應用求解實際問題，先計算出頻率，然后再計算出結果，較為簡單16、【解析】不妨設正方體的棱長為，如圖，當為中點時，平面，則為直線與所成的角，在中，，故答案為.【方法點晴】本題主要考查異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據幾何體的特殊性質建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）不等式的解集為:.【解析】

(1)利用=和增函數的定義證明;(2)先通過賦值法得到,再根據(1)的增函數可解得不等式的解集.【詳解】(1)證明:任取,則==,因為,所以,因為時，恒有,所以,所以,所以,所以,根據增函數的定義可知,f(x)在R上是增函數.(2)在中,令得,即,在中,令得,即,所以,又,所以,所以,所以等價于,因為函數在上是增函數,所以,即,所以,所以,所以不等式的解集為:.本題考查了用定義證明增函數,利用增函數的性質解不等式,屬于中檔題.18、（1）；（2）8；（3）存在且【解析】分析：（1）根據題意，雙曲線的虛軸長為，兩條漸近線方程為.易求求雙曲線的方程；（2）設直線的斜率，顯然，聯立得，求出，，可證；（3）設直線方程，聯立，（*），∵，方程總有兩個解，設，得到，根據得，整理得，由，則符合題目要求，存在直線．詳解：（1）雙曲線；（2）設直線的斜率，顯然，聯立得，，，；（3）設直線方程，聯立，（*），∵，方程總有兩個解，設，，根據得，整理得，∵，∴符合題目要求，存在直線．點睛：本題考查雙曲線的求法，直線與雙曲線的位置關系，屬難題.19、（1）160；（2）；（3）【解析】本題考查概率與統計知識，考查分層抽樣，考查概率的計算，確定概率的類型是關鍵．（1）根據分層抽樣可得故可求n的值；（2）求出高二代表隊6人，從中抽取2人上臺抽獎的基本事件，確定a和b至少有一人上臺抽獎的基本事件，根據古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上臺抽獎的概率（3）確定滿足0≤x≤1，0≤y≤1點的區域，由條件得到的區域為圖中的陰影部分，計算面積，可求該代表中獎的概率．解：（Ⅰ）由題意得，解得.…………4分（Ⅱ）從高二代表隊6人中隨機抽取2人的所有基本事件如下：(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)(a,f)、(b,c)(b,d)(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)共15種………6分設“高二代表隊中a和b至少有一人上臺抽獎”為事件，其中事件的基本事件有9種.則.…………9分（Ⅲ）由已知，可得，點在如圖所示的正方形OABC內，由條件，得到區域為圖中的陰影部分.由，令得，令得.∴設“該運動員獲得獎品”為事件則該運動員獲得獎品的概率……………14分20、(1)；(2)見解析.【解析】

(1)利用零點分類法進行求解即可;(2)對求證的式子中的每一項先應用重要不等式,最后應用基本不等式即可證明.【詳解】(1),由,得或或解得，故．（2）因為,(當且僅當時取等號)所以(當且僅當時取等號).本題考查了解絕對值不等式,考查了應用重要不等式、基本不等式證明不等式.21、（1）；（2）見解析．【解析】分析：直接計算，猜想：；（2）證明：①當時，猜想成立.②設時，命題成立，即③證明當時，成立。詳解：（1）解：，，，，猜想；（2）證明：①當時，猜想成立.②設時，命題成立，即，由題意可知.所以，，所以時猜想成立.由①、②可知，猜想對任意都成立.點睛：推理與證