河北省唐山市遵化市2025年數學高二下期末監測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在一次連環交通事故中，只有一個人需要負主要責任，但在警察詢問時，甲說：“主要責任在乙”；乙說：“丙應負主要責任”；丙說“甲說的對”；丁說：“反正我沒有責任”．四人中只有一個人說的是真話，則該事故中需要負主要責任的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．某校1000名學生中,型血有400人,型血有250人,型血有250人,型血有100人,為了研究血型與色弱的關系,要從中抽取一個容量為60人的樣本,按照分層抽樣的方法抽取樣本,則型血、型血、型血、型血的人要分別抽的人數為（）A．24,15,15,6 B．21,15,15,9 C．20,18,18,4 D．20,12,12,63．若焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則該雙曲線的一個頂點到其中一條漸近線的距離為()A． B． C． D．4．已知函數與的圖象如圖所示，則函數（）A．在區間上是減函數 B．在區間上是減函數C．在區間上減函數 D．在區間上是減函數5．已知，且，函數的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，則的值為（）A． B． C． D．6．已知，，，則（）A． B． C． D．7．電腦芯片的生產工藝復雜，在某次生產試驗中，得到組數據，，，，，.根據收集到的數據可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則（）A． B． C． D．8．已知a，b∈R，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．參數方程x=2t，A． B． C． D．10．某班共有52人，現根據學生的學號，用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本．已知3號、29號、42號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的學號是()A．10 B．11 C．12 D．1611．已知兩變量x和y的一組觀測值如下表所示：x234y546如果兩變量線性相關，且線性回歸方程為，則＝()A．－ B．－C． D．12．《九章算術》中有這樣一個問題：今有竹九節，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節容四升，下三節容二升，中三節容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在長方體中，，，，那么頂點到平面的距離為______．14．已知變量，滿足約束條件，設的最大值和最小值分別是和，則__________.15．已知隨機變量服從正態分布，若，，則．16．在中，內角所對的邊分別為，且的外接圓半徑為1，若，則的面積為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正項數列滿足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設為數列的前項和，證明：.18．（12分）已知函數（1）求函數的單調遞減區間；（2）將函數的圖像向左平移個單位,再將所得圖像上各點的橫坐標縮短為原來的倍,縱坐標不變,得到函數的圖像,求在上的值域.19．（12分）已知曲線，直線（t為參數）.（1）寫出曲線C的參數方程，直線的普通方程；（2）過曲線C上任意一點作與直線夾角為30°的直線，交于點A，求的最大值與最小值.20．（12分）某工廠生產某種型號的電視機零配件，為了預測今年月份該型號電視機零配件的市場需求量，以合理安排生產，工廠對本年度月份至月份該型號電視機零配件的銷售量及銷售單價進行了調查，銷售單價（單位：元）和銷售量（單位：千件）之間的組數據如下表所示：月份銷售單價（元）銷售量（千件）（1）根據1至月份的數據，求關于的線性回歸方程（系數精確到）；（2）結合（1）中的線性回歸方程，假設該型號電視機零配件的生產成本為每件元，那么工廠如何制定月份的銷售單價，才能使該月利潤達到最大（計算結果精確到）？參考公式：回歸直線方程，其中.參考數據：.21．（12分）為了調查中學生每天玩游戲的時間是否與性別有關，隨機抽取了男、女學生各50人進行調查，根據其日均玩游戲的時間繪制了如下的頻率分布直方圖.（1）求所調查學生日均玩游戲時間在分鐘的人數；（2）將日均玩游戲時間不低于60分鐘的學生稱為“游戲迷”，已知“游戲迷”中女生有6人；①根據已知條件，完成下面的列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“游戲迷”和性別關系；非游戲迷游戲迷合計男女合計②在所抽取的“游戲迷”中按照分層抽樣的方法抽取10人，再在這10人中任取9人進行心理干預，求這9人中男生全被抽中的概率.附：（其中為樣本容量）.0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522．（10分）樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環.據此，某網站推出了關于生態文明建設進展情況的調查，大量的統計數據表明，參與調查者中關注此問題的約占80%.現從參與調查的人群中隨機選出人，并將這人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示(1)求的值(2)現在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人進行問卷調查，求在第1組已被抽到人的前提下，第3組被抽到人的概率；（3）若從所有參與調查的人中任意選出人，記關注“生態文明”的人數為，求的分布列與期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

①假定甲說的是真話，則丙說“甲說的對”也是真話，這與四人中只有一個人說的是真話矛盾，所以假設不成立，故甲說的是假話；②假定乙說的是真話，則丁說“反正我沒有責任”也為真話，這與四人中只有一個人說的是真話矛盾，所以假設不成立，故乙說的是假話；③假定丙說的是真話，由①知甲說的也是真話，這與四人中只有一個人說的是真話矛盾，所以假設不成立，故丙說的是假話；綜上可得，丁說的真話，甲乙丙三人說的均為假話，即乙丙丁沒有責任，所以甲負主要責任，故選A.2、A【解析】

根據分層抽樣中各層抽樣比與總體抽樣比相等可得出每種血型的人所抽的人數.【詳解】根據分層抽樣的特點可知，型血的人要抽取的人數為，型血的人要抽取的人數為，型血的人要抽取的人數為，型血的人要抽取的人數為，故答案為A.本題考查分層抽樣，考查分層抽樣中每層樣本容量，解題時要充分利用分層抽樣中各層抽樣比與總體抽樣比相等來計算，考查計算能力，屬于基礎題．3、C【解析】

先由雙曲線的離心率的值求出的值，然后求出雙曲線的頂點坐標和漸近線方程，再利用點到直線的距離公式可求出結果【詳解】解：因為焦點在軸上的雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線方程為，其頂點為，漸近線方程為由雙曲線的對稱性可知，只要求出其中一個頂點到一條漸近線的距離即可不妨求點到直線的距離故選：C此題考查了雙曲線的有關知識和點到直線的距離公式，屬于基礎題4、B【解析】分析：求出函數的導數，結合圖象求出函數的遞增區間即可．詳解：，

由圖象得：時，，

故在遞增，

故選：B．點睛：本題考查了函數的單調性問題，考查數形結合思想，考查導數的應用，是一道中檔題．5、B【解析】試題分析：根據函數的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，可得．由，且，可得，∴，則，故選B．考點：正弦函數的圖象．6、C【解析】

通過分段法，根據指數函數、對數函數和三角函數的性質，判斷出，由此選出正確結論.【詳解】解：∵，，，；∴.故選C.本小題主要考查利用對數函數、指數函數和三角函數的性質比較大小，考查分段法比較大小，屬于基礎題.7、D【解析】分析：根據回歸直線方程經過的性質，可代入求得，進而求出的值．詳解：由，且可知所以所以選D點睛：本題考查了回歸直線方程的基本性質和簡單的計算，屬于簡單題．8、A【解析】

根據復數的基本運算，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：因為，若，則等式成立，即充分性成立，若成立，即，所以解得或即必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件，故選：A．本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合復數的基本運算是解決本題的關鍵，屬于基礎題．9、D【解析】

由x=2t，得t=2x，代入y=2【詳解】由題意知x≠0，將t=2x代入y=解得y24-x22=1，因為本題考查參數方程與普通方程之間的轉化，參數方程化普通方程一般有以下幾種消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。消參時要注意參數本身的范圍，從而得出相關變量的取值范圍。10、D【解析】

由題計算出抽樣的間距為13，由此得解．【詳解】由題可得，系統抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D本題主要考查了系統抽樣知識，屬于基礎題．11、D【解析】

先計算＝＝3，＝＝5，代入方程即可．【詳解】＝＝3，＝＝5，代入線性回歸方程可得5＝3＋，解之得＝.故選D線性回歸直線必過樣本中心．12、B【解析】

由題意可得，上、中、下三節的容量成等差數列．再利用等差數列的性質，求出中三節容量，即可得到答案．【詳解】由題意，上、中、下三節的容量成等差數列，上三節容四升，下三節容二升，則中三節容量為，故選B．本題主要考查了等差數列的性質的應用，其中解答中熟記等差數列的等差中項公式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出圖形，計算出四面體的體積，并計算出的面積，然后利用等體積法計算出點到平面的距離.【詳解】如下圖所示：三棱錐的體積為.在中，由勾股定理得，同理可得，取的中點，連接，則，由勾股定理得.所以，的面積為.設點到平面的距離為，則，解的.因此，點到平面的距離為.故答案為：.本題考查點到平面距離的計算，常用的方法有等體積法、空間向量法，考查計算能力，屬于中等題.14、【解析】

在平面直角坐標系內，畫出不等式組所表示的平面區域，可以發現變量，都是正數，故令，這樣根據的幾何意義，可以求出的取值范圍，利用表示出，利用函數的性質，可以求出的最值，最后計算出的值.【詳解】在平面直角坐標系內，畫出不等式組所表示的平面區域，如下圖所示：從圖中可知：變量，都是正數，令，它表示不等式組所表示的平面區域內的點與原點的連線的斜率，解方程組：，可得點，解方程組：，可得點，所以有，因此，，，故.本題考查了不等式所表示的平面區域，考查了斜率模型，考查了數形結合思想.15、0.8【解析】分析：先根據正態分布曲線對稱性求，再根據求結果.詳解：因為正態分布曲線關于對稱，所以,因此點睛：利用正態分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.16、【解析】

分析：由正弦定理可把其中一邊化為角，從而由及公式求得面積.

詳解：由題意得，即，∴，故答案為.點睛：正弦定理：，利用它把三角形的邊角與外接圓半徑建立聯系，這樣可得三角形面積為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由題意，得，可求出；（Ⅱ）由，得與同號，可得，再由可得，問題得證；（Ⅲ）令，得，當時，由可得，再由可使問題得證.【詳解】（Ⅰ）解：由題意，，解得或（舍去）.（Ⅱ）證明：因為，且，所以與同號，…，與也同號.而，因此.又，所以.綜上，有成立.（Ⅲ）證明：令，則，且.由，得到.于是當時，，又，因此，即.考慮，故，即.當時，也成立.綜上所述，.本題考查了數列遞推式，數列求和，考查了放縮法證明不等式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題.18、（1）減區間；（2）【解析】

（1）由二倍角公式及輔助角公式將函數化為的形式，令處于的遞減區間內，求出x的范圍即可；（2）由三角函數圖像平移變換法則，求出新函數的解析式，結合的圖像求出值域.【詳解】（1）∵,由,解出,所以的減區間為

（2）因為將左移得到，橫坐標縮短為原來的,得到∵,所以所求值域為本題考查三角函數圖像的平移及伸縮變換以及單調區間和給定區間上的值域，平移時注意將系數提公因式后對x進行加減，求值域時注意結合函數圖像會使得解題更加簡便.19、（1）（為參數），；（2）最小值為，最大值為.【解析】

（1）令，進而可求出曲線的參數方程；消去參數，整理即可.（2）根據題意可知是點P到直線的距離的兩倍，利用點到直線的距離公式以及輔助角公式，借助三角函數的性質即可求解.【詳解】（1）曲線（為參數），直線.（2）易知是點P到直線的距離的兩倍，所以：，最小值為，最大值為.本題考查了參數方程與普通方程的相互轉化、點到直線的距離公式、輔助角公式以三角函數的最值，屬于基礎題.20、（1）（2）7月份銷售單價為10.8元時，該月利潤才能達到最大.【解析】

（1）利用公式可計算線性回歸方程.（2）利用（1）的回歸方程可得7月份的利潤函數，利用二次函數的性質可得其最大值.【詳解】解:（1）由條件知，，，，從而，故關于的線性回歸方程為.（2）假設7月份的銷售單價為元，則由（1）可知，7月份零配件銷量為，故7月份的利潤，其對稱軸，故7月份銷售單價為10.8元時，該月利潤才能達到最大.本題考查線性回歸方程的計算，注意線性回歸方程所在的直線必定過點.此類問題是基礎題.21、（1）人（2）①填表見解析，能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“游戲迷”和性別有關.②【解析】

（1）計算日均玩游戲時間在分鐘的頻率,再乘以總人數即可;（2）①計算“游戲迷”有人，由于“游戲迷”中女生有6人，得男生有14人,即可列表,計算觀測值，對照臨界值得出結論；②利用古典概型求解即可【詳解】（