山東省威海市示范名校2025屆高二數學第二學期期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，現從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素組合，則可以組成這樣的新集合的個數為（）A． B． C． D．2．已知二項式的展開式中二項式系數之和為64，則該展開式中常數項為A．－20 B．－15 C．15 D．203．如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是（）A．34 B．55 C．78 D．894．已知函數，若是函數的唯一極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知函數滿足，若函數與的圖像的交點為，，…，，且，則（）A．1 B．2 C．3 D．46．命題“對任意的，，”的否定是（）A．不存在， B．不存在，C．存在， D．存在，7．圓與圓的位置關系是（）A．相交 B．內切 C．外切 D．相離8．下列選項敘述錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題是“若，則”B．若命題，則C．若為真命題，則，均為真命題D．若命題為真命題，則的取值范圍為9．點A、B在以PC為直徑的球O的表面上，且AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的表面積是24π，則異面直線PB和AC所成角余弦值為（）A．33 B．32 C．1010．在正方體中，點，分別是，的中點，則下列說法正確的是（）A． B．與所成角為C．平面 D．與平面所成角的余弦值為11．設點和直線分別是雙曲線的一個焦點和一條漸近線，若關于直線的對稱點恰好落在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．12．一個圓柱形的罐子半徑是4米，高是9米，將其平放，并在其中注入深2米的水，截面如圖所示，水的體積是（）平方米A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．連續3次拋擲一枚質地均勻的硬幣，在至少有一次出現正面向上的條件下，恰有一次出現反面向上的概率為．14．若函數與函數的圖像有兩個不同的交點，則實數b的取值范圍是________；15．已知等比數列中，，則公比______；______．16．一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在中，，D是AE的中點，C是線段BE上的一點，且，，將沿AB折起使得二面角是直二面角．（l）求證：CD平面PAB；（2）求直線PE與平面PCD所成角的正切值．18．（12分）某廠生產的產品在出廠前都要做質量檢測，每一件一等品都能通過檢測，每一件二等品通過檢測的概率為.現有10件產品，其中6件是一等品，4件是二等品.(Ⅰ)隨機選取1件產品，求能夠通過檢測的概率；(Ⅱ)隨機選取3件產品，其中一等品的件數記為，求的分布列；(Ⅲ)隨機選取3件產品，求這三件產品都不能通過檢測的概率.19．（12分）在直角坐標系中，曲線C的參數方程為為參數．在以原點為極點，為參數）．在以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程；（Ⅱ）設，直線與曲線C交于M，N兩點，求的值．20．（12分）已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且，求直線的斜率的取值范圍；21．（12分）已知點，直線，動點到點的距離等于它到直線的距離．(Ⅰ)試判斷點的軌跡的形狀，并寫出其方程；(Ⅱ)若曲線與直線相交于兩點，求的面積.22．（10分）已知二項式的展開式中第五項為常數項.（1）求展開式中二項式系數最大的項；（2）求展開式中有理項的系數和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用分類計數加法原理和分步計數乘法原理計算即可，注意這個特殊元素的處理.【詳解】已知集合，，現從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素組合，分為2類：含5，不含5；則可以組成這樣的新集合的個數為個.故選C.2、C【解析】

利用二項式系數之和為64解得，再利用二項式定理得到常數項.【詳解】二項式的展開式中二項式系數之和為64當時，系數為15故答案選C本題考查了二項式定理，先計算出是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力.3、B【解析】試題分析：由題意，①②③④⑤⑥⑦⑧，從而輸出，故選B.考點：1.程序框圖的應用.4、A【解析】分析：由f（x）的導函數形式可以看出ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點，令g（x）=ex﹣kx，g′（x）=ex﹣k，需要對k進行分類討論來確定導函數為0時的根．詳解：∵函數的定義域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函數f（x）的唯一一個極值點∴x=1是導函數f′（x）=0的唯一根．∴ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點，令g（x）=ex﹣kxg′（x）=ex﹣k①k≤0時，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時單調遞增的g（x）的最小值為g（0）=1，g（x）=0無解②k＞0時，g′（x）=0有解為：x=lnk0＜x＜lnk時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減lnk＜x時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增∴g（x）的最小值為g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=ex和y=ex圖象，它們切于（1，e），綜上所述，k≤e．故答案為：A．點睛：（1）本題主要考查利用導數研究函數的單調性和最值，考查利用導數研究函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是分析轉化ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點.5、D【解析】

求出f（x）的對稱軸，y=|x2-ax-5|的圖象的對稱軸，根據兩圖象的對稱關系，求和，解方程可得所求值．【詳解】∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的圖象關于直線x=對稱，又y=|x2-ax-5|的圖象關于直線x=對稱，當m為偶數時，兩圖象的交點兩兩關于直線x=對稱，∴x1+x2+x3+…+xm=?a=2m，解得a=1．當m奇數時，兩圖象的交點有m-1個兩兩關于直線x=對稱，另一個交點在對稱軸x=上，∴x1+x2+x3+…+xm=a?+=2m．解得a=1．故選D．本題考查了二次型函數圖象的對稱性的應用，考查轉化思想以及計算能力．6、C【解析】

已知命題為全稱命題,則其否定應為特稱命題，直接寫出即可.【詳解】命題“對任意的”是全稱命題，它的否定是將量詞的任意的實數變為存在，再將不等號變為即可.即得到：存在.故選:C.本題主要考查全稱命題的否定，注意量詞和不等號的變化，屬于簡單題.7、C【解析】

據題意可知兩個圓的圓心分別為，；半徑分別為1和4；圓心距離為5，再由半徑長度與圓心距可判斷兩圓位置關系.【詳解】設兩個圓的半徑分別為和，因為圓的方程為與圓所以圓心坐標為，圓心距離為5，由，可知兩圓外切，故選C.本題考查兩圓的位置關系，屬于基礎題.8、C【解析】分析：根據四種命題的關系進行判斷A、B，根據或命題的真值表進行判斷C，由全稱命題為真的條件求D中參數的值．詳解：命題“若，則”的逆否命題是“若，則”，A正確；若命題，則，B正確；若為真命題，則，只要有一個為真，C錯誤；若命題為真命題，則，，D正確．故選C．點睛：判斷命題真假只能對每一個命題進行判斷，直到選出需要的結論為止．命題考查四種命題的關系，考查含邏輯連接詞的命題的真假以及全稱命題為真時求參數的取值范圍，掌握相應的概念是解題基礎．9、C【解析】

首先作出圖形，計算出球的半徑，通過幾何圖形，找出異面直線PB和AC所成角，通過余弦定理即可得到答案.【詳解】設球O的半徑為R,則4πR2=24π，故R=6，如圖所示：分別取PA,PB,BC的中點M,N,E，連接MN,NE,ME,AE，易知，PA⊥平面ABC，由于AB⊥BC，所以AC=AB2+BC2=25，所以PA=PC2-AC2=2，因為E為BC的中點，則AE=AB2+BE2=2cos∠MNE=MN2+NE2-M本題主要考查外接球的相關計算，異面直線所成角的計算.意在考查學生的空間想象能力，計算能力和轉化能力，難度較大.10、C【解析】

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．【詳解】解：設正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F（0，2，1），（0，1，﹣2），（﹣2，0，1），2≠0，∴A1E與BF不垂直，故A錯誤；（﹣2，2，﹣1），（﹣2，﹣2，0），cos，0，∴A1F與BD所成角為90°，故B錯誤；（2，0，0），（0，2，1），（0，1，﹣2），?0，0，∴A1E⊥DA，A1E⊥DF，∴A1E⊥平面ADF，故C正確；（﹣2，2，﹣1），平面ABCD的法向量（0，0，1），設A1F與平面ABCD所成角為θ，則sinθ，∴cosθ．∴A1F與平面ABCD所成角的余弦值為，故D錯誤．故選：C．本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．11、C【解析】

取雙曲線的左焦點為，設右焦點為，為漸近線，與漸近線的交點為關于直線的對稱點設為，連接，運用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，離心率公式，計算可得所求值．【詳解】如圖所示，取雙曲線的左焦點為，設右焦點為，為漸近線，與漸近線的交點為關于直線的對稱點設為，連接，直線與線段的交點為，因為點與關于直線對稱，則，且為的中點，所以，根據雙曲線的定義，有，則，即，所以，故選：C．本題主要考查了雙曲線的離心率的求法，注意運用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．12、D【解析】分析：由已知可得水對應的幾何體是一個以截面中陰影部分為底，以9為高的柱體，求出底面面積，代入柱體體積公式，可得答案．詳解：由已知中罐子半徑是4米，水深2米，故截面中陰影部分的面積S=平方米，又由圓柱形的罐子的高h=9米，故水的體積V=Sh=48立方米，故選D．點睛：本題考查的知識點是柱體的體積公式，扇形面積公式，弓形面積公式，難度中檔．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：至少有一次正面向上的概率為，恰有一次出現反面向上的概率為，那么滿足題意的概率為．考點：古典概型與排列組合．14、【解析】

作出函數的圖象和直線，由圖形觀察可知它們有兩交點的情形。【詳解】作出函數的圖象和直線，如圖，當直線過點時，，當直線與函數圖象相切時，，，，（舍去），∴函數與函數的圖像有兩個不同的交點時。故答案為：本題考查直線與函數圖象交點個數問題，解題時用數形結合思想，即作出函數圖象（半個橢圓）及直線當平移直線時觀察它與函數圖象的交點情況．本題解題時要特別注意函數圖象只是橢圓的上半部分，不能誤認為是整個橢圓，那就會得出錯誤結論．15、24【解析】

根據等比數列通項公式構造方程求解即可.【詳解】本題正確結果：；本題考查等比數列基本量的求解，關鍵是熟練掌握等比數列通項公式，屬于基礎題.16、【解析】

利用側面展開圖是正方形得到圓柱的底面半徑與高的關系后可得圓柱的表面積與側面積之比.【詳解】設正方形的邊長為，圓柱的底面半徑為，則，，所以圓柱的全面積為，故側面積與全面積之比為，填.圓柱的側面展開圖是矩形，其一邊的長為母線長，另一邊的長為底面圓的周長，利用這個關系可以得到展開前后不同的幾何量之間的關系.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析.（2）.【解析】分析：（1）推導出是的斜邊上的中線，從而是的中點，由此能證明平面；（2）三棱錐的體積為，由此能求出結果．詳解：（1）因為，所以，又，，所以，又因為，所以是的斜邊上的中線，所以是的中點，又因為是的中點．所以是的中位線，所以，又因為平面，平面，所以平面．（2）據題設分析知，，，兩兩互相垂直，以為原點，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為，且，分別是，的中點，所以，，所以，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，所以，令，則，設直線與平面所成角的大小為，則．故直線與平面所成角的正切值為．點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（1）；（2）分布列見解析；（3）.【解析】

（Ⅰ）設隨機選取一件產品，能夠通過檢測的事件為A，事件A包括兩種情況，一是抽到的是一個一等品，二是抽到的是一個二等品，這兩種情況是互斥的，根據互斥事件的概率公式得到結果；（II）由題意知X的可能取值是0，1，2，3，結合變量對應的事件和等可能事件的概率，寫出變量的概率，寫出分布列；（III）隨機選取3件產品，這三件產品都不能通過檢測，包括兩個環節，第一這三個產品都是二等品，且這三件都不能通過檢測，根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．【詳解】（Ⅰ）設隨機選取一件產品，能夠通過檢測的事件為事件等于事件“選取一等品都通過檢測或者是選取二等品通過檢測”；(Ⅱ)由題可知可能取值為0,1,2,3.,,,.故的分布列為

0

1

2

3

(Ⅲ)設隨機選取3件產品都不能通過檢測的事件為事件等于事件“隨機選取3件產品都是二等品且都不能通過檢測”所以，.本題考查離散型隨機變量的分布列，考查等可能事件的概率，本題是一個概率的綜合題目19、（Ⅰ），；（Ⅱ）7.【解析】

（Ⅰ）直接把曲線C的參數方程平方相加，可以消除參數，得到普通方程，結合極坐標與直角坐標的互化公式可得直線的直角坐標方程；（Ⅱ）先寫出直線的標準式參數方程，代入曲線方程，化為關于的一元二次方程，再由根與系數的關系及的幾何意義，即可求出。【詳解】(I)曲線C的普通方程:，直線l的直角坐標方程：；（II）設直線l的參數方程為（t為參數）代入，得，故；設對應的對數分別為，則，故.本題主要考查曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數方程與普通方程的互化。易錯點是在應用直線參數方程中參數的幾何意義時，參數方程必須是標準式，否則容易導致錯誤。20、(1)(2)【解析】分析：（1）利用離心率，點在曲線上，列出的方程．（2）聯立直線與橢圓方程根據韋達定理列出，的關系式，利用向量關系式，列出關于斜率的不等式，解出取值范圍．詳解：（1）設橢圓的方程為：，由已知：