18.1平行四邊形的性質第18章平行四邊形18.1.2平行四邊形的性質定理3幾何語言：平行四邊形定理1：平行四邊形的兩組對邊分別相等.在ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．（平行四邊形的對邊相等）∠A=∠C,∠B=∠D（平行四邊形的對角相等）∠A+∠B=180°∠A+∠D

=180°（平行四邊的鄰角互補）

平行四邊形定理2：平行四邊形的兩組對角分別相等.推論：平行四邊的鄰角互補.復習回顧我們知道平行四邊形是中心對稱圖形，繞中心O旋轉180°后，你發現對角線什么特征?你有什么猜想？知識精講ABCDO猜想：平行四邊形的對角線互相平分.ACDBO已知：如圖：ABCD的對角線AC、BD相交于點O.求證：OA=OC，OB=OD

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC.

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

∴△AOD≌△COB（ASA）.∴OA=OC，OB=OD.3241知識精講平行四邊形的性質3：幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形OA=OCOB=OD∴ADBCO平行四邊形的對角線互相平分.知識精講例1

已知ABCD的對角線AC和BD相交于點O，△AOB的周長為15，AB=6，那么對角線AC與BD的和是多少？典例解析如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，平行四邊形ABCD的周長是100cm，△AOB與△BOC的周長的和是122cm，且AC:DB=2:1，求AC和BD的長．針對練習例2

如圖，ABCD的對角線AC,BD交于點O.點O作直線EF,分別交AB,CD于點E，F.求證：OE=OF.ABCDFEO思考改變直線EF的位置，OE=OF還成立嗎?典例解析ABCDOEFABCDOEFABCDOEF請判斷下列圖中，OE=OF還成立么？同例3易證明OE=OF還成立.【點睛】過平行四邊形的對角線交點作直線與平行四邊形的一組對邊或對邊的延長線相交，得到線段總相等.總結提升例3

如圖，ABCD的對角線AC,BD交于點O，其周長為16，且△AOB的周長比△BOC的周長小2.求邊AB和BC的長.典例解析例4.如圖，平行四邊形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四邊形ABCD的周長為48，DE=5，DF=10，求平行四邊形ABCD的面積.解：設AB=x，則BC=24-x.根據平行四邊形的面積公式可得5x=10(24-x)，解得x=16．則平行四邊形ABCD的面積為5×16=80．【點睛】已知平行四邊形的高DE，DF，根據“等面積法”及平行四邊形的性質列方程求解.典例解析問題平行四邊形的對角線分平行四邊形ABCD為四個三角形，它們的面積有怎樣的關系呢？解：相等.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵△ADO與△ODC等底同高，∴S△ADO=S△ODC.同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.還可結合全等來證喲.【點睛】平行四邊形的對角線分平行四邊形為四個面積相等的三角形，且都等于平行四邊形面積的四分之一.相對的兩個三角形全等.問題思考ABCDOFE例6

如圖，AC,BD交于點O，EF過點O,平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等嗎？MN解：設直線EF交AD,BC于點N,M.∵AD∥BC,∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.又∵AO=CO,∴△NAO≌△MCO，∴S四邊形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB

=S△AOB+S△COB=.∴S四邊形ANMB=S四邊形CMND,即平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等.典例解析ABDOEFABCDOEFCABCDOEF思考如圖，AC,BD交于點O，EF過點O,平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等嗎？【點睛】過對角線交點的任一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分.同例5易求得平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等.問題思考1.平行四邊形具有而一般四邊形不具有的特征是（）A.不穩定性

B.對角線互相平分C.內角的為360度 D.外角和為360度B2.若平行四邊形的一邊長為５,則它的兩條對角線長可以是()Ａ.12和2Ｂ.3和4

Ｃ.4和6Ｄ.4和8D達標檢測3.如圖，在平面直角坐標系中，OBCD的頂點O﹑B﹑D的坐標如圖所示，則頂點C的坐標為（）xYCO(0,0)B(5,0)D(2,3)A.(3,7)B.(5,3)C.(7,3)D.(8,2)C達標檢測4.如圖，在

ABCD中，對角線AC,BD交于點O，AC＝10，BD=8,則AD的取值范圍是______________.

ODBAC●1＜AD＜9達標檢測ODBAC5.如圖,在

ABCD中,對角線AC﹑BD相交于點O,且AC+BD=20,△AOB的周長等于15,則CD=______.5達標檢測6.如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點O.已知AB=5cm，△AOB的周長和△BOC的周長相差3cm，則AD的長為__________.2cm或8cmO達標檢測

∵AC⊥BC，AB=10

7.

在

ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC，則BD的長為多少？達標檢測8.如圖，已知O是平行四邊形ABCD的對角線的交點，AC=24，BD=18，AB=16，求△OCD的周長及AD邊的取值范圍．解：由題意得OA=OC=12，OB=OD=9，CD=AB=16,