浙江省臺州市八校聯盟20222023學年高一上學期期中聯考數學（原卷版）（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（共5題，每題4分，滿分20分）1.若復數$z=3+4i$，則$z^2=$（）A.$7+24i$B.$724i$C.$7+24i$D.$724i$2.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=2$，$f(1)=6$，則$f(0)=$（）A.2B.3C.4D.53.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，則公差$d=$（）A.1B.2C.3D.44.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(1,2)$，則$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.0B.1C.2D.35.若函數$y=\ln(x^21)$的定義域為（）A.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(1,1)$C.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$D.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$二、填空題（共5題，每題4分，滿分20分）1.若$\sin\theta=\frac{3}{5}$，則$\cos\theta=$______。2.已知函數$f(x)=2x^23x+1$，則$f(2)=$______。3.在等比數列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$，公比$q=3$，則$b_4=$______。4.若矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A^T=$______。5.若函數$y=e^x+e^{x}$，則$y'$的值為______。三、解答題（共3題，每題10分，滿分30分）1.已知函數$f(x)=x^33x^2+2x$，求$f(x)$的極值。2.解不等式組$\begin{cases}x^25x+6>0\\2x^23x2\leq0\end{cases}$。3.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(1,1)$，$\vec{c}=2\vec{a}+3\vec{b}$，求$\vec{c}$的模長。四、證明題（共2題，每題10分，滿分20分）1.證明：對于任意正整數$n$，$n^2<n!$。2.證明：若$a,b$為正實數，且$a+b=1$，則$(a^2+b^2)\geq\frac{1}{2}$。五、應用題（共2題，每題10分，滿分20分）1.某工廠生產一種產品，每件產品的成本為200元，售價為300元。若每月生產的產品中有20%無法售出，則每月至少需要生產多少件產品才能保證盈利？2.一輛汽車從甲地出發，以每小時60公里的速度行駛，同時一輛摩托車從乙地出發，以每小時80公里的速度行駛。兩地相距400公里，求兩車相遇時，汽車已行駛的時間。六、計算題（共3題，每題10分，滿分30分）1.計算極限lim_{xto0}frac{sin3x}{x}。2.計算積分int_{1}^{1}(x^2+1)dx。3.計算矩陣A^3，其中A=begin{pmatrix}2&1&00&3&10&0&4end{pmatrix}。七、化簡題（共3題，每題5分，滿分15分）1.化簡表達式frac{3x^26x}{x^24}。2.化簡表達式sqrt{27}+sqrt{12}sqrt{48}。3.化簡表達式log_2(8)+log_2(16)log_2(4)。八、求值題（共3題，每題5分，滿分15分）1.求值：sin(150°)+cos(30°)。2.求值：frac{log_3(27)}{log_3(9)}。3.求值：frac{2^33^2}{4^26}。九、判斷題（共5題，每題4分，滿分20分）1.若函數f(x)在區間(a,b)內單調遞增，則f'(x)>0，對任意xin(a,b)成立。（）2.若矩陣A和B可逆，則(A+B)^{1}=A^{1}+B^{1}。（）3.若向量veca和vecb垂直，則vecavecb=0。（）4.若函數y=e^x和y=e^x互為反函數，則它們的圖像關于y=x對稱。（）5.若函數y=ln(x)的圖像向右平移3個單位，再向上平移2個單位，則新函數的解析式為y=ln(x3)+2。（）十、作圖題（共2題，每題10分，滿分20分）1.作出函數y=x^33x的圖像。2.作出函數y=frac{1}{x}和y=ln(x)的圖像，并標出它們的交點。十一、探究題（共2題，每題10分，滿分20分）1.探究函數f(x)=ax^2+bx+c的圖像與系數a、b、c之間的關系。2.探究等差數列an和等比數列bn的通項公式之間的關系。十二、信息題（共2題，每題10分，滿分20分）1.根據給出的數據，估計函數y=ax^2+bx+c的系數a、b、c的值。數據：(1,2),(0,3),(1,4)2.根據給出的數據，判斷函數f(x)是否為奇函數或偶函數。數據：(2,5),(1,3),(0,1),(1,3),(2,5)十三、綜合題（共2題，每題10分，滿分20分）1.已知函數f(x)=x^33x^2+2x，求f(x)的極值點和拐點。2.已知向量veca(1,2)，vecb(3,4)，求veca和vecb的夾角。十四、操作題（共2題，每題10分，滿分20分）1.使用計算器計算：sin(45°)+cos(60°)。2.使用計算器計算：log_2(16)+log_2(8)log_2(4)。十五、寫作題（共1題，滿分20分）1.請寫一篇關于數學在生活中的應用的小短文，不少于200字。一、選擇題答案：1.B2.C3.A4.D5.B二、填空題答案：1.22.53.14.05.2三、解答題答案：1.證明：對于任意正整數n，n^2<n!。證明過程：使用數學歸納法。當n=1時，顯然成立。假設當n=k時成立，即k^2<k!。則當n=k+1時，(k+1)^2=k^2+2k+1<k!+2k+1<(k+1)k!<=(k+1)!。由數學歸納法可知，對于任意正整數n，n^2<n!成立。2.證明：若a,b為正實數，且ab>1，則(a^2+b^2)geqfrac12。證明過程：由已知條件ab>1，得a>frac1b。兩邊同時平方，得a^2>frac1b^2。則a^2+b^2>frac1b^2+b^2=frac1b^2+2+b^21=frac1b^2+1+2(b^21)。由于b^21=(b1)(b+1)，且b>1，所以b^21>0。則a^2+b^2>frac1b^2+1+2(b^21)>frac1b^2+1>frac12。所以(a^2+b^2)geqfrac12成立。四、應用題答案：1.每月至少需要生產200件產品才能保證盈利。2.汽車已行駛的時間為2小時。五、計算題答案：1.limxto0fracsin3xx=32.int11(x21)dx=23.矩陣A^3=Abeginpmatrix8&3&10&27&90&0&64endpmatrix六、化簡題答案：1.frac3x26xx24=frac322.sqrt27sqrt12sqrt48=3sqrt34sqrt3=sqrt33.log2(8)log2(16)log2(4)=342=10七、求值題答案：1.sin(150)cos(30)=frac12fracsqrt32=fracsqrt362.fraclog3(27)log3(9)=frac323.frac2332426=frac239=6八、判斷題答案：1.×2.√3.√4.√5.×九、作圖題答案：1.函數yx33x的圖像為一條開口向下的拋物線，頂點為(0,0)。2.函數yfrac1x和yln(x)的圖像分別為一條經過第一象限的漸近線和一條向上凸的曲線，交點為(1,0)。十、探究題答案：1.函數f(x)ax2bxc的圖像與系數a、b、c之間的關系：a決定拋物線的開口方向和大小，b決定拋物線的位置，c決定拋物線與y軸的交點。2.等差數列an和等比數列bn的通項公式之間的關系：an的通項公式為a1+(n1)d，bn的通項公式為b1q^(n1)，其中d為等差數列的公差，q為等比數列的公比。十一、信息題答案：1.函數yax2bxc的系數a、b、c的值分別為：a=1，b=2，c=3。2.函數f(x)不是奇函數也不是偶函數。十二、綜合題答案：1.函數f(x)x33x22x的極值點為(1,2)和(1,2)，拐點為(0,0)。2.向量veca(1,2)和vecb(3,4)的夾角為arccos(frac12)。十三、操作題答案：1.sin(45)cos(60)=fracsqrt22frac12=fracsqrt242.log2(16)lo