中考數學2025年云南中考數學模擬26題二次函數（35道降次冪）（有答案解析）1．已知拋物線經過點，當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減?。Or是拋物線與x軸的交點（交點也稱公共點）的橫坐標，．（1）求b、c的值：（2）求證：；（3）以下結論：，你認為哪個正確？請證明你認為正確的那個結論．2．已知拋物線經過點（0，2），且與軸交于A、B兩點．設k是拋物線與軸交點的橫坐標；M是拋物線的點，常數m>0，S為△ABM的面積．已知使S=m成立的點M恰好有三個，設T為這三個點的縱坐標的和．(1)求c的值；(2)直接寫出T的值；(3)求的值．3．已知拋物線經過點，對稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)若點在該拋物線上，且；求的取值范圍；(3)若設是拋物線與軸的一個交點的橫坐標，記，比較與的大?。?．已知拋物線．(1)求該拋物線的對稱軸；(2)若拋物線圖象經過點是拋物線與軸交點的橫坐標，記，比較與的大?。?．已知拋物線的對稱軸是直線．設是拋物線與軸交點的橫坐標，記．(1)求的值；(2)比較與的大?。?．在平面直角坐標系中，已知拋物線，若點，是該拋物線上兩個不同的點，且．(1)求，的值；(2)若該拋物線與直線有且僅有一個交點，求代數式的值．7．已知，某拋物線的解析式為（均為不為零的常數），且滿足：(1)；(2)求該拋物線與軸交點中的定點坐標．8．在平面直角坐標系中，設二次函數（為常數，且）(1)若時，求該二次函數圖像與軸的交點坐標；(2)若二次函數的圖像與直線有且僅有一個交點，求代數式的值．9．已知拋物線的頂點坐標為，與軸交點為．(1)求拋物線的解析式；(2)在該拋物線上且為整數，若的值為整數，求出點的坐標．10．已知拋物線經過點，與y軸交于點A，其頂點為B，設k是拋物線與x軸交點的橫坐標．(1)求的面積；(2)求代數式的值．11．已知觀察二次函數的圖象后，發現當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，當時，的值為．點、（）是二次函數的圖象上任意兩點，設．(1)求此二次函數的解析式；(2)當時，求的最大值．12．已知是拋物線與軸交點的橫坐標．(1)若在自變量的值滿足時，與其對應的函數值的最小值為1，求此時的值；(2)求代數式值．13．在平面直角坐標系中，拋物線經過點．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點在拋物線上，，且與均為整數，求點A的坐標．14．數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化，數與形之間的聯系稱之為數形結合．在初中階段的數學學習中，我們需要運用數形結合的數學思想，來解決函數的相關問題，我們定義：在平面直角坐標系中，若一個點的縱坐標是橫坐標的平方，則這個點稱為平方點，如．已知拋物線解析式為．(1)若拋物線經過平方點，求b的值(2)在（1）的條件下，拋物線經過，證明：．15．已知拋物線的對稱軸為直線，且經過點．(1)求該拋物線的解析式．(2)設k是拋物線與x軸交點的橫坐標，求的值．16．已知拋物線C：（a為常數）．(1)若拋物線C經過點和點，且與x軸的交點的橫坐標為t，求下列各式的值：①；②(2)將點向左平移5個單位長度得到點B，若線段與拋物線C只有一個公共點．請直接寫出a的取值范圍．17．已知函數（k為正整數）．(1)若函數的圖象與坐標軸有3個不同的交點，且交點的橫、縱坐標均為整數，求此函數的解析式；(2)無論k為何值，該函數都經過定點，且，求的值．18．已知是拋物線的圖象與軸交點的橫坐標．(1)求證：；(2)求代數式值．19．已知拋物線的頂點在軸上．(1)求的值；(2)求的值．20．已知拋物線與軸交于、兩點（點位于點的左側），設是拋物線與軸交點的橫坐標，拋物線與軸交于點．(1)點是拋物線上的一個動點，若，求所有滿足條件的的面積之和；(2)求代數式值．21．已知拋物線交軸于、兩點（點在點左側），交軸于點，且當時，，點是第一象限內拋物線上的一個動點．(1)求，的值；(2)①若為整數，且的值也為整數，直接寫出滿足條件的點的坐標；②若點在該拋物線上，且，，求的值．22．已知拋物線，a，b，c為常數且．(1)若，則拋物線的對稱軸為直線_________；(2)在（1）的條件下，拋物線過點，，，求n的值．23．已知拋物線的頂點D及與y軸的交點C都在直線上，對稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)若在自變量x的值滿足時，與其對應的函數值y的最小值為，求此時t的值；(3)設m為拋物線與x軸一個交點的橫坐標，求的值．24．已知拋物線的頂點坐標為，設是拋物線與軸交點的橫坐標．(1)求拋物線的解析式．(2)求的值．25．已知拋物線經過點，頂點坐標為，設r為拋物線與軸的交點的橫坐標，．(1)求，，的值；(2)試判斷與0的大小關系，并證明你的結論．26．在平面直角坐標系中，設二次函數（a為常數，且）．(1)若二次函數的圖象與直線有且僅有一個交點，求代數式的值；(2)若點是二次函數圖象上的兩個不同的點，且，設，求T的取值范圍．27．已知拋物線的頂點為點，過點的直線的解析式為．(1)設是拋物線與直線交點的橫坐標，求證：；(2)拋物線與軸從左至右交于，兩點，分別過點和點作軸的垂線，交直線于點和點，將拋物線沿其對稱軸平移，使平移后的拋物線與線段總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？28．已知拋物線經過點，關于直線成軸對稱．設拋物線與函數圖象的交點（交點也稱公共點）的橫坐標為d．，．(1)求拋物線的解析式；(2)以下結論：，，，你認為哪個正確？并證明你認為正確的結論．29．如圖，拋物線與y軸交于點，頂點坐標為，C是x軸上一動點．

(1)求b，c的值．(2)當△ABC周長最小時，求點C的坐標．(3)設m是拋物線與x軸的交點的橫坐標，求的值．30．已知關于的二次函數．(1)求證：不論為任何實數，方程總有實數根；(2)若拋物線與軸交于兩個不同的整數點，為正整數，點與在拋物線上（點不重合），且，求代數式的值．31．在平面直角坐標系中，拋物線經過原點．(1)求拋物線的解析式．(2)設是直線與拋物線交點的橫坐標，求的值．32．已知經過點的拋物線與軸分別交于點和點，點A到點的距離為，．(1)求，的值；(2)試比較的值與的大小，并說明理由．33．已知：．(1)求的值；(2)求證：；(3)若，以下結論：，，，你認為哪個正確？請證明你認為正確的那個結論．34．已知二次函數（c是常數）．(1)若二次函數的最大值為，求c的值；(2)在（1）的條件下，將二次函數向右平移3個單位長度，向下平移6個單位長度后得到新的二次函數，設m是的圖象與x軸交點的橫坐標，求代數式的值．35．已知拋物線頂點的橫坐標為，且與軸分別交于點和點（其中），與軸交于點．(1)求、的值；(2)求證：；(3)求的值．答案解析1．（1）b=-16，c=-2；（2）見解析；（3）m＞1，證明見解析【詳解】解：（1）∵拋物線經過點（0，-2），∴，即c=-2，∵當x＜-4時，y隨x的增大而增大，當x＞-4時，y隨x的增大而減小，∴直線x=-4是拋物線的對稱軸，∴，解得：b=-16，∴b=-16，c=-2；（2）證明：∵b=-16，c=-2，∴，∵r是拋物線與x軸交點的橫坐標，∴r是方程的解，即，則，∴，∴==∵，∴，∴；（3）m＞1正確，證明：由（2）可知：，∴，即，∴，在中，令，解得：或，∴r＜0，∴，，∴，∵，∴，即m＞1．2．(1)2(2)(3)【詳解】（1）解：∵將點（0，2）帶入得：．（2）由（1）可知，拋物線的解析式為，∵當S=m時恰好有三個點M滿足，∴必有一個M為拋物線的頂點，且M縱坐標互為相反數．當時，．即此時M（，），則另外兩個點的縱坐標為．∴．（3）由題可知，，則∴則．3．(1)(2)(3)當時，；當時，【詳解】（1）解：把代入中得．∵對稱軸是直線，∴，解得．∴拋物線的解析式為．（2）解：∵由（1）知：．∵對稱軸是直線，∴當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小，當時，y有最大值為，∵點在該拋物線上，且，∴當時，；當時，；∴；（3）解：∵m是拋物線與x軸的一個交點的橫坐標，∴，即．∴，∵，∴，∴或，∴當時，；當時，．4．(1)(2)當時，；當時，【詳解】（1）解：拋物線為，對稱軸為直線．即拋物線的對稱軸為直線．（2）解：圖象經過點，把代入，則解得：，故拋物線解析式，是拋物線與軸交點的橫坐標，，解得：，，，，故．當時，，此時；當時，，此時．5．(1)(2)當時，；當時，．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸是直線，∴，∴；（2）解：∵是拋物線與軸交點的橫坐標，∴，∴，∴，∴，而代入得：，∴，∴，∵，解得：，當時，∴；當時，，∴．6．(1)，(2)【詳解】（1）解：∵點，是該拋物線上兩個不同的點∴把，分別代入得則∵∴∴∵點，是該拋物線上兩個不同的點，且拋物線∴不受的影響∵∴∴把代入，得∴（2）解：由（1）得，∴依題意，∴整理得∵該拋物線與直線有且僅有一個交點∴的即∴令∴∴即可整理得∴∴∴同理得∴∴∴∵∴∴∴∴∴7．(1)見解析(2)該拋物線與軸交點中的定點坐標為【詳解】（1）由題意，，．．．又，，均為不為零的常數，．．．（2）由題意，根據（1）中，對于函數，當時，．拋物線通過定點．該拋物線與軸交點中的定點坐標為．8．(1)該二次函數圖像與軸的交點坐標為或(2)【詳解】（1）解：當時，二次函數為，令，則，解得：，，該二次函數圖像與軸的交點坐標為或；（2）二次函數的圖像與直線有且僅有一個交點，有兩個相等的實數根，，，即，為常數，且，等號兩邊同時除以得：，即，，，，．9．(1)(2)或或或【詳解】（1）解：拋物線的頂點坐標為，設二次函數解析式為，圖象與軸的交點為，把代入中，，解得，拋物線的解析式為：；（2）解：若在該拋物線上，把代入中，，，，為整數，而2的因數有或，或，或0或3或，或8或5或5，或或或．10．(1)(2)【詳解】（1）解：拋物線經過點，，解得：，，當時，，當時，，，，，

如圖，．（2）解：k是拋物線與x軸交點的橫坐標，，，，，，，．11．(1)(2)2028【詳解】（1）解：由題意得：對稱軸為：，即：，得：．當時，的值為，即：，得：．此二次函數的解析式為．（2）解：，點、關于對稱，，即，，，，．當時，，．，拋物線開口向下，當時，有最大值，最大值．答：的最大值為2028．12．(1)或(2)6．【詳解】（1）解：，當時，，當時，；①當時，拋物線在時，取得最小值，即，解得：，或（舍去），即．②當時，即當時，拋物線在時，取得最小值，此種情況不合題意；③當時，即時，拋物線在時，取得最小值，即，解得：或（舍去），即．綜上所述，或．故答案為：或．（2）解：由題意知，即，顯然，則．由，可知，即，．故答案為：6．13．(1)(2)或【詳解】（1）解：拋物線經過點，，，拋物線的解析式為；（2）解：點在拋物線上，滿足，即，，且與均為整數，，或，或，時，；，，綜上，點A的坐標為或．14．(1)(2)見詳解【詳解】（1）解：∵拋物線經過平方點，已知拋物線解析式為．∴把代入，∴，∴；（2）解：∵，已知拋物線解析式為∴由（1）知道∴∵，∴解得∵（與題意相矛盾，故舍去）∴，則，，∴；15．(1)(2)【詳解】（1）∵拋物線的對稱軸為直，∴，解得，∵拋物線經過點，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）∵k是拋物線與x軸交點的橫坐標，∴，∴．∴的值為．16．(1)①

②(2)或【詳解】（1）解：把代入，得解得：，∴拋物線的解析式為，①把代入，得:；②∵拋物線與軸的交點的橫坐標為，，即，，，，，∵；（2）解：，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為，∵將點向左平移個單位長度得到點，∴直線的解析式為，若拋物線的頂點在直線上，則有，解得:，若拋物線經過點，則有:，解得：，若拋物線經過點，則有:，解得：，∴若線段與拋物線只有一個公共點時，的取值范圍是或．17．(1)(2)【詳解】（1）解：由題意可得，令，則，解得，．∵函數圖象與坐標軸有3個不同的交點，且交點的橫、縱坐標均為整數，k為正整數，∴，∴該函數的解析式為．（2）解：∵當時，，∴函數圖象經過定點，∵，∴，∴，∴．18．(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵是拋物線的圖象與軸交點的橫坐標，∴令，，可得，∴，兩邊平方得：，所以；∴；（2）解：由題意知，，顯然，則有，∴，∴，則．19．(1)，(2)【詳解】（1）解：的頂點在x軸上，∴方程有兩個相等的實數根，，即，，，．（2）解：，，，，，，，，．20．(1)(2)【詳解】（1）解：令，得，解得，所以，，所以，令，得，所以，所以，令，得，整理可得，∵，∴該方程有兩不相等的實數根，即在軸上方滿足的點有2個；令，得，整理可得，∵，∴該方程有兩不相等的實數根，即在軸下方滿足的點有2個；所以滿足的點共有4個，所以所有滿足條件的的面積和為；（2）由題意知，，顯然，則有，∴，，則．21．(1)，(2)①；②【詳解】（1）當時，，拋物線交軸于和，，解得：．，．（2）①點是第一象限內拋物線上的一個動點，．為整數，且的值也為整數，．，，拋物線的解析式為．當時，．滿足條件的點的坐標為；②若點在該拋物線上，點是第一象限內拋物線上的一個動點，軸，，，是方程的兩根，．，．，解得：．．22．(1)；(2)；理由見解析．【詳解】（1）∵，∴，∵拋物線，∴對稱軸為，故答案為：；（2）由（1）知，，∴，把點，，代入得，，解得，∴，．23．(1)(2)或(3)20【詳解】（1）解：對于，當時，，當時，，即點C、D的坐標分別為：、，設拋物線的表達式為：，將點C的坐標代入上式得：，解得：，故拋物線的表達式為：；（2）解：對于，當時，，當時，；①當時，拋物線在時，取得最小值，即，解得：（舍去）或，故；②當時，當?時，拋物線在時，取得最小值，即，解得：（舍去）或（舍去），當時，拋物線在時，取得最小值，即，解得：（舍去）或（舍去）；③當時，拋物線在時，取得最小值，即，解得：（舍去）或2，即，綜上，或；（3）解：為拋物線與x軸一個交點的橫坐標，，即，對于，分子為：；而分母；．24．(1)(2)【詳解】（1）拋物線的頂點坐標為，，解得，拋物線的解析式為．（2）是拋物線與軸交點的橫坐標，是方程的根，，，，．．25．(1)，，(2)，理由見解析【詳解】（1）解：將，代入得，．．．故答案為：，，．（2）解：，理由如下：由（1）得，r為拋物線與軸的交點的橫坐標，令，則，，解得：當時，當時，，．故答案為：．26．(1)(2)【詳解】（1）解：二次函數圖象與直線有且僅有一個交點，二次函數的頂點坐標為，，，，，；（2）證明：，，，即，，，，，，，的取值范圍是．27．(1)見解析；(2)拋物線向上最多可平移個單位長度，向下最多可平移6個單位長度．【詳解】（1）解：法一：，所以頂點的坐標為，將點的坐標代入直線的解析式得，，解得，所以直線的解析式為．因為是拋物線與直線交點的橫坐標，所以，化簡得，解得，，當時，；當時，．綜上所述，．法二：，所以頂點的坐標為，將點的坐標代入直線的解析式得，，解得，所以直線的解析式為．因為是拋物線與直線交點的橫坐標，所以，化簡得，即，所以，由可知，，所以．（2）如圖，在二次函數中，令得，，解得，，所以，．在一次函數中，令，得；令，得．所以，．①當拋物線向上平移，可設解析式為，聯立方程組可得：，化簡得，所以，所以，所以；②當拋物線向下平移，可設解析式為，當時，，當時，，所以，或，所以或，所以．綜上所述，拋物線向上最多可平移個單位長度，向下最多可平移6個單位長度．28．(1)拋物線的解析式為．(2)正確，證明見解析【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，關于直線成軸對稱．∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由可得：，∵兩個函數交點的橫坐標為，∴，∴；∵∴，而，則∴，∴，∴，∴．29．(1)，(2)點C的坐標為(3)【詳解】（1）解：∵拋物線與y軸交于點，∴，把點代入，得，解得，∴，．（2）解：由題意知，當周長最小時，的值最小，如圖，作點A關于x軸的對稱點，連接，與x軸交于點C，點C的坐標即為所求，

設直線的解析式為，將代入，得，解得，∴，令，則，解得，∴點C的坐標為．