第三章

函數的概念與性質§3.1函數的概念及其表示§3.2函數的基本性質§3.3冪函數§3.4函數的應用（一）問題1

某“復興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時。這段時間內，如何表示列車行進的路程s（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關系？3.1.1函數的概念s=350t

這里，t和s是兩個變量，而且對于t的每一個確定的值，s都有唯一確定的值與之對應，所以s是t的函數。

在該問題的情境中，該函數表達式中的自變量和因變量應該存在范圍限制。{t|0≤

t

≤0.5}，{s|0≤

s

≤175}問題2

某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天。如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數d的函數嗎？w=350d其中，在該問題中，d的變化范圍是集合{1，2，3，4，5，6}，w的變化范圍是集合{350，700，1050，1400，1750，2100}思考：問題1和問題2中的函數有相同的對應關系，你認為它們是同一個函數嗎？為什么？不是，該兩個函數的自變量和因變量的取值范圍不同。問題3

下圖是某市某日的空氣質量指數（AirQualityIndex，簡稱AQI）變化圖。如何根據該圖確定這一天內任一時刻t（單位：h）的空氣質量指數（AQI）的值I？你認為這里的I是t的函數嗎？從圖中的曲線可知，t的變化范圍是集合{t|0≤

t

≤24}，AQI的值I的變化范圍是集合{I|0<I

<150}。在t的變化范圍中的的任一時刻，按照圖中曲線所給定的對應關系，都有唯一確定的AQI的值I與之對應。因此，這里的I是t的函數。問題4

國際上常用恩格爾系數

反映一個地區人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高。下表是我國城鎮居民恩格爾系數變化情況：你認為按表中給出的對應關系，恩格爾系數r是年份y的函數嗎？如果是，你會用怎樣的語言來刻畫這個函數？這里，y的取值范圍是集合{2012，2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019，2020，2021}；根據恩格爾系數的定義可知，r的取值范圍是集合{r

|0<r<1}。對于任意一個年份y，根據表中所給定的對應關系，都有唯一確定的恩格爾系數r與之對應。所以，r是y的函數。上述問題1~問題4中的函數有哪些共同特征？你有什么發現？上述問題的共同特征有：（1）都包含兩個非空數集，用A，B來表示；（2）都有一個對應關系；（3）盡管對應關系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數集A中的任意一個數x，按照對應關系，在數集B中都有唯一確定的數y和它對應。

一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數。記作：

y=f(x)，x∈A其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做數值，數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域。

函數的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射。y=f(x)輸入→x→自變量→取值范圍為定義域運行程序→f→對應關系

輸出→y→因變量

→取值范圍為值域

函數的三要素定義域、對應關系、值域共同構成函數的三要素兩個函數只有在定義域和對應法則都相等時，兩個函數才相同常見函數的定義域和值域：定義域：R，值域：R（1）函數

：（2）函數

：（3）函數

：（4）函數

：

定義域：R，值域：

定義域：{x|

x

≠0}，值域：{y|

y

≠0}定義域：{x|

x

≥0}，值域：{y|

y

≥0}【例1】下列函數中哪個與函數y=x

是同一個函數？

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；解：函數y=x的定義域為R。（1）函數

與函數y=x的對應法則相同，定義域卻不同，因此兩函數不是同一個函數。（2）函數

與函數y=x的對應法則相同，定義域相同，因此兩函數是同一個函數。（3）函數

與函數y=x的對應法則不同，定義域相同，因此兩函數不是同一個函數。（4）函數

與函數y=x的對應法則相同，定義域不同，因此兩函數不是同一個函數。區間的表示方法設a，b是兩個實數，而且a<b，我們規定：（1）滿足不等式a≤x≤b的實數x的集合叫做閉區間，表示為[a，b]；用數軸表示：ab??

（2）滿足不等式a<x<b的實數x的集合叫做開區間，表示為（a，b）；用數軸表示：ab（3）滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實數x的集合叫做半開半閉區間，表示為[a，b）或（a，b]。abab用數軸表示：實數集R可以用區間表示為（-∞，+∞），“∞”讀作“無窮大”,“-∞”讀作“負無窮大”，“+∞”讀作“正無窮大”。（4）x≥a可寫作x∈[a，+∞）；a（5）x>a可寫作x∈（a，+∞）；a（6）x≤b可寫作x∈（-∞，b]；b（7）x<b可寫作x∈（-∞，b）；b【例2】已知函數

，

（1）求函數的定義域；

（2）求

的值；

（3）當

時，求

的值。解：（1）函數

的定義域為[-3，+∞），函數

的定義域為x≠-2，所以，函數

的定義域為（2）

；（3）當

時，滿足函數的定義域，

抽象函數的定義域求法：

已知f(x)的定義域求解f[g(x)]的定義域，或已知f[g(x)]的定義域求f(x)的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應法則下，括號內式子的范圍相同。【例3】已知函數f(x)的定義域是[-1，2]，求函數f(x-2)的定義域。解：在函數f(x)中，x∈[-1，2]，則在函數f(x-2)中，x-2∈[-1，2]，即x∈[1，3]，可知，f(x-2)的定義域為[1，3]【例4】已知函數f(x-2)的定義域是[-1，2]，求函數f(x+3)的定義域。解：在函數f(x-2)中，x∈[-1，2]，則x-2∈[-3，0]，所以在函數f(x+3)中，x+3∈[-3，0]，即x∈[-6，-3]，可知，f(x+3)的定義域為[-6，-3]1．求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子（運算）有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.2．求抽象函數定義域的方法

（1）若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.

（2）若已知函數f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域.總結：求函數的定義域3.1.2函數的表示法函數的三種表示法：解析法、列表法和圖象法。（1）解析法，就是用解析式表示兩個變量之間的對應關系；（2）列表法，就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系；（3）圖象法，就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系。探究1：某種筆記本的單價是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）個筆記本需要y元。試用函數的三種表示法表示函數

y=f(x)。

（1）解析法：（2）列表法：（3）圖像法：探究2：分析函數

的圖像

分析：通過絕對值的概念，我們可以將函數寫成

yx我們就可以在平面直角坐標系中畫出函數像這樣，在函數定義域內，對于自變量x的不同取值區間，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數。D解析因為函數y＝f(2x－1)的定義域是[－2，3]，則－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5，所以函數y＝f(x)的定義域為[－5，5].【例7】已知f(x)是一次函數且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；解(待定系數法)∵f(x)是一次函數，可設f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－