2025年湖南省桃江縣一中高二數學第二學期期末監測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為A． B． C． D．2．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3,6）內的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%3．展開式中第5項的二項式系數為（）A．56 B．70 C．1120 D．-11204．已知函數，若存在區間D，使得該函數在區間D上為增函數，則的取值范圍為（）A． B．C． D．5．五名應屆畢業生報考三所高校,每人報且僅報一所院校,則不同的報名方法的種數是()A． B． C． D．6．現有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動，則不同選法的種數為（）A．15 B．14 C．13 D．127．已知D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，則xy的取值范圍是A． B． C． D．8．在橢圓內，通過點，且被這點平分的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．9．現有下面三個命題常數數列既是等差數列也是等比數列；；直線與曲線相切.下列命題中為假命題的是（）A． B．C． D．10．已知函數是定義在上的偶函數，并且滿足，當時，，則（）A． B． C． D．11．設i是虛數單位，復數a+i1+i為純虛數，則實數a的值為A．-1B．1C．-2D．212．在一次期中考試中，數學不及格的人數占，語文不及格占，兩門都不及格占，若一名學生語文及格，則該生數學不及格的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，令，若函數有四個零點，則實數的取值范圍為__________．14．如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為_______.15．設是定義在上、以1為周期的函數，若在上的值域為，則在區間上的值域為．16．計算：______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數.（1）解不等式；（2）求函數的最大值.18．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為，（為參數），為曲線上的動點，動點滿足（且），點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明是什么曲線；（2）在以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，射線與的異于極點的交點為，已知面積的最大值為，求的值.19．（12分）已知函數在區間上的最大值為3，最小值為-17，求的值20．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，曲線的參數方程是（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設點分別在，上運動，若的最小值為2，求的值.21．（12分）已知函數.（1）若是的一個極值點，判斷的單調性；（2）若有兩個極值點，，且，證明：.22．（10分）已知復數（a∈R,i為虛數單位）（I）若是純虛數，求實數a的值；（II）若復數在復平面上對應的點在第二象限，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據題目可知，分別求出男生甲被選中的概率和男生甲女生乙同時被選中的概率，根據條件概率的公式，即可求解出結果．【詳解】由題意知，設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則，，所以，故答案選A．本題主要考查了求條件概率方法：利用定義計算，特別要注意的求法．2、B【解析】試題分析：由題意故選B．考點：正態分布3、B【解析】分析：直接利用二項展開式的通項公式求解即可.詳解：展開式的通項公式為則展開式中第5項的二項式系數為點睛：本題考查二項展開式的通項公式，屬基礎題.4、B【解析】

求出導函數，由題意說明不等式有解。【詳解】由題意有解.當時，一定有解；當時，也一定有解.當時，需要，即,綜上所述，，故選：B。本題考查用導數研究函數的單調性。函數有單調增區間，則有解，這樣可結合二次函數或一次函數的性質得出結論。5、D【解析】由題意，每個人可以報任何一所院校，則結合乘法原理可得：不同的報名方法的種數是.本題選擇D選項.6、A【解析】分析：直接利用組合數求解即可．詳解：現有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動，則不同選法的種數為故選A點睛：本題考查組合的應用，屬基礎題..7、D【解析】

利用已知條件推出x+y＝1，然后利用x，y的范圍，利用基本不等式求解xy的最值．【詳解】解：D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，可得，x，，則，當且僅當時取等號，并且，函數的開口向下，對稱軸為：，當或時，取最小值，xy的最小值為：．則xy的取值范圍是：故選D．本題考查函數的最值的求法，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．8、A【解析】試題分析：設以點為中點的弦的端點分別為，則，又，兩式相減化簡得，即以點為中點的弦所在的直線的斜率為，由直線的點斜式方程可得，即，故選A.考點：直線與橢圓的位置關系.9、C【解析】分析：首先確定的真假，然后確定符合命題的真假即可.詳解：考查所給命題的真假：對于，當常數列為時，該數列不是等比數列，命題是假命題；對于，當時，，該命題為真命題；對于，由可得，令可得，則函數斜率為的切線的切點坐標為，即，切線方程為，即，據此可知，直線與曲線不相切，該命題為假命題.考查所給的命題：A.為真命題；B.為真命題；C.為假命題；D.為真命題；本題選擇C選項.點睛：本題主要考查命題真假的判斷，符合問題問題，且或非的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10、D【解析】

先由題得出函數的周期，再將變量調節到范圍內進行求解．【詳解】因為，所令，則，所以可得，即，所以函數的周期為，則，又因為函數是定義在上的偶函數，且當時，所以故選D本題考查函數的基本性質，包括周期性，奇偶性，解題的關鍵是先求出函數的周期，屬于一般題．11、A【解析】a+i1+i=(a+i)(1-i)12、A【解析】

記“一名學生語文及格”為事件A，“該生數學不及格”為事件B，所求即為，根據條件概率的計算公式，和題設數據，即得解.【詳解】記“一名學生語文及格”為事件A，“該生數學不及格”為事件B，所求即為：故選：A本題考查了條件概率的計算，考查了學生概念理解，實際應用，數學運算的能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

可作出的圖像，將問題轉化為函數與直線的交點問題，觀察圖像可得到答案.【詳解】當時，，可理解為函數與直線的交點問題（如圖）令，有，設切點的坐標為，則過點的切線方程為，將點坐標代入可得：，整理為：，解得：或，得或，故，而，兩點之間的斜率為，故.本題主要考查零點及交點問題，過點的切線問題，意在考查學生的劃歸能力，分析能力，邏輯推理能力，計算能力，難度較大.14、【解析】

利用定積分求得陰影部分的面積，然后利用幾何概型的概率計算公式，即可求解．【詳解】由題意，結合定積分可得陰影部分的面積為，由幾何概型的計算公式可得，黃豆在陰影部分的概率為．本題主要考查了定積分的幾何意義求解陰影部分的面積，以及幾何概型及其概率的計算問題，其中解答中利用定積分的幾何意義求得陰影部分的面積是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．15、【解析】略16、【解析】

將變為，然后利用組合數性質即可計算出所求代數式的值.【詳解】，.故答案為：.本題考查組合數的計算，利用組合數的性質進行計算是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）3【解析】

（1）利用零點分類討論法解不等式.(2)先化成分段函數，再結合分段函數的圖像即得其最大值.【詳解】⑴①當x＜-1時，；②當-1≤x≤2時，，；③當時，，；綜上，不等式的解集為；⑵，由其圖知，.(1)本題主要考查零點討論法解絕對值不等式，考查分段函數的最值，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數形結合分析推理能力.(2)分類討論是高中數學的一種重要思想，要注意小分類求交，大綜合求并.18、（1）見解析；（2）2【解析】分析：（1）設，，根據，推出，代入到，消去參數即可求得曲線的方程及其表示的軌跡；（2）法1：先求出點的直角坐標，再求出直線的普通方程，再根據題設條件設點坐標為，然后根據兩點之間距離公式及三角函數的圖象與性質，結合面積的最大值為，即可求得的值；法2：將，代入，即可求得，再根據三角形面積公式及三角函數的圖象與性質，結合面積的最大值為，即可求得的值.詳解：（1）設，，由得.∴∵在上∴即（為參數），消去參數得.∴曲線是以為圓心，以為半徑的圓.（2）法1：點的直角坐標為.∴直線的普通方程為，即.設點坐標為，則點到直線的距離.∴當時，∴的最大值為∴.法2：將，代入并整理得：，令得.∴∴∴當時，取得最大值，依題意，∴.點睛：本題主要考查把參數方程轉化為普通方程，在引進參數和消去參數的過程中，要注意保持范圍的一致性；在參數方求最值問題中，將動點的參數坐標，根據題設條件列出三角函數式，借助于三角函數的圖象與性質，即可求最值，注意求最值時，取得的條件能否成立.19、k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3【解析】試題分析：由題設知k≠1且f'（x）=3kx（x-2），1＜x＜2時，x（x-2）＜1；x＜1或x＞2時，x（x-2）＞1；x=1和x=2時，f'（x）=1．由題設知-2≤x≤2，f（-2）=-21k+B，f（1）=B，f（2）=-4k+B．由此能夠求出k、B的值試題解析：由題設知k≠1且f'（x）=3kx（x﹣2），1＜x＜2時，x（x﹣2）＜1；x＜1或x＞2時，x（x﹣2）＞1；x=1和x=2時，f'（x）=1．由題設知﹣2≤x≤2，f（﹣2）=﹣21k+B，f（1）=B，f（2）=﹣4k+B①k＜1時，﹣2＜x＜1時，f'（x）＜1；1＜x＜2時，f'（x）＞1，∴f（x）在[﹣2，1）上遞減，在（1，2）上遞增，x=1為最小值點；∵f（﹣2）＞f（2）∴f（x）的最大值是f（﹣2）即，解得k=-1，B=-17②k＞1時，，解得k=1，B=3綜上，k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3考點：利用導數求閉區間上函數的最值20、(1)(2)或.【解析】

（1）由極坐標方程與直角坐標方程的互化，即可得出曲線的直角坐標方程；（2）由（1）先確定是圓心為，半徑為2的圓，再由曲線的參數方程得到其普通方程，根據點到直線的距離公式即可求出結果.【詳解】解：（1）因為，所以，所以.將，，代入上式，得的直角坐標方程為.（2）將化為，所以是圓心為，半徑為2的圓.將的參數方程化為普通方程為，所以，解得或.本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，以參數方程與普通方程的互化，熟記公式即可求解，屬于常考題型.21、（1）在單調遞減，在單調遞增.（2）見解析【解析】

（1）求出導函數，由極值點求出參數，確定的正負得的單調性；（2）求出，得極值點滿足：所以，由（1）即，不妨設.要證，則只要證，而，因此由的單調性，只要能證，即即可．令，利用導數的知識可證得結論成立．【詳解】（1）由已知得.因為是的一個極值點，所以，即，所以，令，則，令，得，令，得；所以在單調遞減，在單調遞增，又當時，，，所以當時，，當時，；即在單調遞減，在單調遞增.（2），因此極值點滿足：所以由（1）即，不妨設.要證，則只要證，而，因此由的單調性，只要能證，即即可．令，則，當時，，，，所以，即在單調遞增，又，所以，所以，即，又，，在單調遞增，所以，即.本題考查導數的應用，利用導數研究函數的單調性、極值、最值等問題，考查抽象概括能力、推理論證能力