吉林大學附屬中學2025屆高二下數學期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班某天上午有五節課，需安排的科目有語文，數學，英語，物理，化學，其中語文和英語必須連續安排，數學和物理不得連續安排，則不同的排課方法數為（）A．60 B．48 C．36 D．242．已知、分別為的左、右焦點，是右支上的一點，與軸交于點，的內切圓在邊上的切點為，若，則的離心率為（）A． B． C． D．3．一次考試中，某班學生的數學成績近似服從正態分布，若，則該班數學成績的及格（成績達到分為及格）率可估計為（）A． B． C． D．4．已知函數，當取得極值時，x的值為（）A． B． C． D．5．已知數列，如果，，，……，，……，是首項為1，公比為的等比數列，則=A． B． C． D．6．數學歸納法證明1n+1+1A．12k+2 B．12k+1 C．17．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種8．在4次獨立重復試驗中，事件A發生的概率相同，若事件A至少發生1次的概率為，則事件A在一次試驗中發生的概率為A． B． C． D．9．函數的定義域是R，，對任意的，都有成立，則不等式的解集為()A． B． C． D．10．某次文藝匯演為，要將A，B，C，D，E，F這六個不同節目編排成節目單，如下表：如果A，B兩個節目要相鄰，且都不排在第3號位置，那么節目單上不同的排序方式有A．192種 B．144種 C．96種 D．72種11．命題：的否定為（）A． B．C． D．12．已知函數，為的導函數，則的值為（）A．0 B．1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________．14．已知是雙曲線的右焦點，的右支上一點到一條漸近線的距離為2，在另一條漸近線上有一點滿足，則________________．15．函數若，且，則的取值范圍是________．16．假設每一架飛機的每一個引擎在飛行中出現故障概率均為，且各引擎是否有故障是獨立的，已知4引擎飛機中至少有3個引擎飛機正常運行，飛機就可成功飛行；2引擎飛機要2個引擎全部正常運行，飛機才可成功飛行.要使4引擎飛機比2引擎飛機更安全，則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）求的解集；（2）設，求證：.18．（12分）有20件產品，其中5件是次品，其余都是合格品，現不放回的從中依次抽2件.求:（1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率.19．（12分）某工廠甲、乙兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下通過日常監控得知，甲、乙兩條生產線生產的產品為合格品的概率分別為相.（1）若從甲、乙兩條生產線上各抽檢一件產品。至少有一件合格的概率為.求的值：（2）在（1）的前提下，假設每生產一件不合格的產品，甲、乙兩條生產錢損失分別為元和元，若從兩條生產線上各隨機抽檢件產品。估計哪條生產線的損失較多？（3）若產品按照一、二、三等級分類后銷售，每件可分別獲利元，元，元，現從甲、乙生產線各隨機抽取件進行檢測，統計結果如圖所示。用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產一件產品的利潤為，求的分布列并估計該廠產量為件時利潤的期望值.20．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知點的直角坐標為，曲線的極坐標方程為，直線過點且與曲線相交于，兩點.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若，求直線的直角坐標方程.21．（12分）已知函數.（1）當時，解不等式；（2）設不等式的解集為，若，求實數的取值范圍.22．（10分）如圖，在三棱錐中，，為的中點，平面，垂足落在線段上，為的重心，已知，，，.（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）設點在線段上，使得，試確定的值，使得二面角為直二面角.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題得：不同的排課方法數為，得解．【詳解】先將語文和英語捆綁在一起，作為一個新元素處理，再將此新元素與化學全排，再在3個空中選2個空將數學和物理插入即可，即不同的排課方法數為，故選：D．本題考查了排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題，屬中檔題．2、A【解析】

由中垂線的性質得出，利用圓的切線長定理結合雙曲線的定義得出，可得出的值，再結合的值可求出雙曲線的離心率的值.【詳解】如圖所示，由題意，，由雙曲線定義得，由圓的切線長定理可得，所以，，，即，所以，雙曲線的離心率，故選：A.本題考查雙曲線離心率的求解，同時也考查了雙曲線的定義以及圓的切線長定理的應用，解題時要分析出幾何圖形的特征，在出現焦點時，一般要結合雙曲線的定義來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3、B【解析】

由題意得出正態密度曲線關于直線對稱，由正態密度曲線的對稱性得知所求概率為可得出結果.【詳解】由題意，得，又，所以，故選B.本題考查正態分布在指定區間上概率的計算，解題時要充分利用正態密度曲線的對稱性轉化為已知區間的概率來計算，考查運算求解能力，屬于中等題.4、B【解析】

先求導，令其等于0，再考慮在兩側有無單調性的改變即可【詳解】解：，，的單調遞增區間為和，減區間為，在兩側符號一致，故沒有單調性的改變，舍去，故選:B.本題主要考查函數在某點取得極值的性質：若函數在取得極值．反之結論不成立，即函數有，函數在該點不一定是極值點，（還得加上在兩側有單調性的改變），屬基礎題．5、A【解析】分析：累加法求解。詳解：，，解得點睛：形如的模型，求通項公式，用累加法。6、D【解析】

求出當n=k時，左邊的代數式，當n=k+1時，左邊的代數式，相減可得結果．【詳解】當n=k時，左邊的代數式為1k+1當n=k+1時，左邊的代數式為1k+2故用n=k+1時左邊的代數式減去n=k時左邊的代數式的結果為：12k+1本題考查用數學歸納法證明不等式，注意式子的結構特征，以及從n=k到n=k+1項的變化，屬于中檔題.7、B【解析】5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有=960種不同的排法，選B．8、A【解析】分析：可從事件的反面考慮，即事件A不發生的概率為，由此可易得結論．詳解：設事件A在一次試驗中發生的概率為，則，解得．故選A．點睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率時，通常從事件的反而入手可能較簡單，如本題中“至少發生1次”的反面為“一次都不發生”，若本題求“至多發生3次”的概率，其反面是“至少發生4次”即“全發生”．9、A【解析】

結合已知條件分析,需要構造函數,通過條件可得到,在R上為增函數,利用單調性比較,即可得出答案．【詳解】∵任意的,都有,即,又要解,∴設則∴在R上為增函數,而,即,.故選：A.本題考查函數單調性的應用,構造函數是解決本題的關鍵,難度一般.10、B【解析】

由題意知兩個截面要相鄰，可以把這兩個與少奶奶看成一個，且不能排在第3號的位置，可把兩個節目排在號的位置上，也可以排在號的位置或號的位置上，其余的兩個位置用剩下的四個元素全排列.【詳解】由題意知兩個節目要相鄰，且都不排在第3號的位置，可以把這兩個元素看成一個，再讓它們兩個元素之間還有一個排列，兩個節目可以排在兩個位置，可以排在兩個位置，也可以排在兩個位置，所以這兩個元素共有種排法，其他四個元素要在剩下的四個位置全排列，所以所有節目共有種不同的排法，故選B.本題考查了排列組合的綜合應用問題，其中解答時要先排有限制條件的元素，把限制條件比較多的元素排列后，再排沒有限制條件的元素，最后再用分步計數原理求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.11、C【解析】分析：由題意，對特稱命題進行否定即可確定.詳解：特稱命題的否定為全稱命題，結合題中命題可知：命題：的否定為.本題選擇C選項.點睛：對含有存在(全稱)量詞的命題進行否定需兩步操作：(1)將存在(全稱)量詞改寫成全稱(存在)量詞；(2)將結論加以否定．這類問題常見的錯誤是沒有變換量詞，或者對于結論沒給予否定．有些命題中的量詞不明顯，應注意挖掘其隱含的量詞．12、D【解析】

根據題意，由導數的計算公式求出函數的導數，將代入導數的解析式，計算可得答案．【詳解】解：根據題意，，則，則；故選：．本題考查導數的計算，關鍵是掌握導數的計算公式，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：過作，垂足為，則平面，則即為所求平面角，從而可得結果.詳解：依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，由平面，可得，所以平面，則即為所求平面角，因為，，所以，故答案為.點睛：本題考查長方體的性質，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.求直線與平面所成的角由兩種方法：一是傳統法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，利用平面幾何知識解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及平面的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.14、4【解析】

試題分析：雙曲線的右焦點F（，0），漸近線方程為，點P到漸近線的距離恰好跟焦點到漸近線的距離相等，所以P必在過右焦點與一條漸近線平行的直線上，不妨設P在直線上，由方程組得，所以，由方程組得，所以，所以由于，所以．考點：向量共線的應用，雙曲線的方程與簡單幾何性質．【方法點晴】要求的值，就得求出P、Q兩點的坐標，可直接設出P點坐標用點到直線的距離公式，也可結合雙曲線的幾何性質發現P的軌跡，解方程組即得P、Q兩點坐標，從而求出兩個向量的坐標，問題就解決了．15、【解析】

設，用表示，然后計算的范圍，再次代入分段函數，即可求解，得到答案.【詳解】設，作出函數的圖象，由圖象可得時，由，解得，由，解得，則，因為，則，設，則，此時，所以的取值范圍是.本題主要考查了分段函數的應用，以及二次函數的圖象與性質的應用，其中解答中作出函數的圖象，結合函數的圖象，列出的關系式，求得的取值范圍是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.16、【解析】分析：由題意知各引擎是否有故障是獨立的，4引擎飛機中至少有3個引擎正常運行，4引擎飛機可以正常工作的概C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飛機可以正常工作的概率是p2，根據題意列出不等式，解出p的值．詳解：每一架飛機的引擎在飛行中出現故障率為1﹣p，不出現故障的概率是p，且各引擎是否有故障是獨立的，4引擎飛機中至少有3個引擎正常運行，飛機就可成功飛行；4引擎飛機可以正常工作的概率是C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飛機要2個引擎全部正常運行，飛機也可成功飛行，2引擎飛機可以正常工作的概率是p2要使4引擎飛機比2引擎飛機更安全，依題意得到C43p3（1﹣p）+p4＞p2，化簡得3p2﹣4p+1＜0，解得＜p＜1．故選：B．點睛：本題考查相互獨立事件同時發生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一個綜合題，本題也是一個易錯題，注意條件“4引擎飛機中至少有3個引擎正常運行”的應用．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用零點分段法，寫出的分段函數形式，分類討論求解即可（2）根據，，利用作差法即可求證【詳解】（1）當時，由，得，解得，所以；當時，，成立；當時，由，得，解得，所以.綜上，的解集.（2）證明：因為，所以，.所以，所以.本題考查利用零點分段法解決絕對值不等式求解、利用作差法處理兩式大小關系的證明18、（1）（2）【解析】

（1）抽到每件產品的可能性相同，直接做比即可（2）考慮剩余產品數目和剩余次品數目再做比例。【詳解】設第一次抽到次品的事件為，第二次抽到次品的事件為.（1）因為有20件產品，其中5件是次品，抽到每件產品的可能性相同，所以第一次抽到次品的概率為.（2）第一次抽到次品后，剩余件產品，其中有件次品，又因為抽到每件產品的可能性相同，所以在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率為.本題考查古典概型和條件概率，屬于基礎題。19、(1)(2)乙生產線損失較多.(3)見解析【解析】

（1）利用對立事件概率公式可得；（2）根據二項分布的期望公式可得；（3）根據統計圖得三個等級的概率，求出隨機變量的分布列，利用公式求得期望．【詳解】（1）由題意，知，解得.（2）由（1）知，甲生產線產品不合格率為，乙生產線產品不合格率為.設從甲、乙生產線各隨機抽檢件產品，抽到不合格品件數分別為和，則，，所以，甲、乙損失的平均數分別為，.所以，乙生產線損失較多.（3）由題意，知，，.因為，，，所以的分布列為所以，（元）．所以，該產量為件時利潤的期望值為元.本題主要考查了離散型隨機變量的分布列及數學期望的求解，對于求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可能取值，計算得出概率，列出離散型隨機變量概率分布列，最后由期望公式計算出數學期望，其中列出離散型隨機變量概率分布列及計算數學期望是理科高考數學必考問題.20、(1)(2)直線的直角坐標方程為或【解析】分析：（1）根據極坐標和直角坐標間的轉化公式可得所求．（2）根據題意設出直線的參數方程，代入圓的方程后得到關于參數的二次方程，根據根與系數的關系和弦長公式可求得傾斜角的三角函數值，進而可得直線的直角坐標方程．詳解：（1）由，可得，得，∴曲線的直角坐標方程為.（2）由題意設直線的參數方程為（為參數），將參數方程①代入圓的方程，得，∵直線與圓交于，兩點，∴．設，兩點對應的參數分別為，，則，∴，化簡有，解得或，∴直線的直角坐標方程為或.點睛：利用直線參數方程中參數的幾何意義解題時，要注意使用的前提條件，只有當參數的系數的平方和為1時，參數的絕對值才表示直線上的動點到定點的距離．同時解題時要注意根據系數關系的運用，合理運用整體代換可使得運算簡單．21、（1）或；（2）【解析】

（1）使用零點分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結果.（2）利用等價轉化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根據集合間的包含關系，可得結果.【詳解】（1）當時，原不等式可化為.①當時，則，所以；②當時，則，所以；⑧當時，則，所以.綜上所述：當