上海市長寧區延安中學2025屆數學高二下期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為F，點是拋物線C上一點，以點M為圓心的圓與直線交于E，G兩點，若，則拋物線C的方程是（）A． B．C． D．2．已知函數，若對于任意的，都有成立，則的最小值為（）A．4 B．1 C． D．23．已知，，則是的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．對于命題“正三角形的內切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出正四面體的內切球切于四面體（）A．各正三角形內的點B．各正三角形的中心C．各正三角形某高線上的點D．各正三角形各邊的中點5．某次運動會中，主委會將甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三個不同比賽項目中擔任服務工作，每個項目至少1人，若甲、乙兩人不能到同一個項目，則不同的安排方式有（）A．24種 B．30種 C．36種 D．72種6．已知，（），則數列的通項公式是（）A． B． C． D．7．若α是第一象限角，則sinα+cosα的值與1的大小關系是（）A．sinα+cosα＞1 B．sinα+cosα=1 C．sinα+cosα＜1 D．不能確定8．對任意復數，為虛數單位，則下列結論中正確的是（）A． B． C． D．9．若函數在區間上是單調函數，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知函數在上可導且滿足，則下列一定成立的為A． B．C． D．11．已知等比數列的前項和為，則的極大值為（）A．2 B．3 C． D．12．已知是定義在上的可導函數，的圖象如下圖所示，則的單調減區間是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．己知復數和均是純虛數，則的模為________.14．總決賽采用7場4勝制，2018年總決賽兩支球隊分別為勇士和騎士，假設每場比賽勇士獲勝的概率為0.6，騎士獲勝的概率為0.4，且每場比賽的結果相互獨立，則恰好5場比賽決出總冠軍的概率為_______．15．一次英語測驗由50道選擇題構成,每道題有4個選項,其中有且僅有一個是正確的,每個選對得3分,選錯或不選均不得分,滿分150.某學生選對每一道題的概率均為0.7,則該生在這次測驗中的成績的期望是__________16．江湖傳說，蜀中唐門配置的天下第一奇毒“含笑半步癲”是由種藏紅花，種南海毒蛇和種西域毒草順次添加煉制而成，其中藏紅花添加順序不能相鄰，同時南海毒蛇的添加順序也不能相鄰，現要研究所有不同添加順序對藥效的影響，則總共要進行__________此實驗．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校位同學的數學與英語成績如下表所示：學號數學成績英語成績學號數學成績英語成績將這位同學的兩科成績繪制成散點圖如下：（1）根據該校以往的經驗，數學成績與英語成績線性相關.已知這名學生的數學平均成績為，英語平均成績為.考試結束后學校經過調查發現學號為的同學與學號為的同學（分別對應散點圖中的、）在英語考試中作弊，故將兩位同學的兩科成績取消，取消兩位作弊同學的兩科成績后，求其余同學的數學成績與英語成績的平均數；（2）取消兩位作弊同學的兩科成績后，求數學成績與英語成績的線性回歸方程，并據此估計本次英語考試學號為的同學如果沒有作弊的英語成績（結果保留整數）.附：位同學的兩科成績的參考數據：，.參考公式：，.18．（12分）四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中.(1)若每個盒子放一個球,則共有多少種不同的放法?(2)恰有一個空盒的放法共有多少種?19．（12分）如圖所示，四邊形為菱形，且，，，且，平面.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的正弦值.20．（12分）已知曲線的參數方程是為參數，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是．（1）寫出的極坐標方程和的直角坐標方程；（2）已知點、的極坐標分別是、，直線與曲線相交于P、Q兩點，射線OP與曲線相交于點A，射線OQ與曲線相交于點B，求的值．21．（12分）設函數．（1）討論的單調性；（2）證明：當時，．22．（10分）已知復數，為虛數單位，且復數為實數．（1）求復數；（2）在復平面內，若復數對應的點在第一象限，求實數的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

作，垂足為點D．利用點在拋物線上、，結合拋物線的定義列方程求解即可.【詳解】作，垂足為點D．由題意得點在拋物線上，則得．①由拋物線的性質，可知，，因為，所以．所以，解得：．②．由①②，解得：（舍去）或．故拋物線C的方程是．故選C．本題考查拋物線的定義與幾何性質，屬于中檔題.2、D【解析】

由題意得出的一個最大值為，一個最小值為，于此得出的最小值為函數的半個周期，于此得出答案．【詳解】對任意的，成立.所以，，所以，故選D．本題考查正余弦型函數的周期性，根據題中條件得出函數的最值是解題的關鍵，另外就是靈活利用正余弦型函數的周期公式，考查分析問題的能力，屬于中等題．3、A【解析】分析：首先根據指數函數的單調性，結合冪的大小，得到指數的大小關系，即，從而求得，利用集合間的關系，確定出p,q的關系.詳解：由得，解得，因為是的真子集，故p是q的充分不必要條件，故選A.點睛：該題考查的是有關充分必要條件的判斷，在求解的過程中，首先需要判斷命題q為真命題時對應的a的取值范圍，之后借助于具備真包含關系時滿足充分非必要性得到結果.4、B【解析】四面體的面可以與三角形的邊類比，因此三邊的中點也就類比成各三角形的中心，故選擇B.5、B【解析】

首先對甲、乙、丙、丁進行分組，減去甲、乙兩人在同一個項目一種情況，然后進行3個地方的全排列即可得到答案.【詳解】先將甲、乙、丙、丁分成三組（每組至少一人）人數分配是1,1,2共有種情況，又甲、乙兩人不能到同一個項目，故只有5種分組情況，然后分配到三個不同地方，所以不同的安排方式有種，故答案選B.本題主要考查排列組合的相關計算，意在考查學生的分析能力，邏輯推理能力和計算能力，難度不大.6、C【解析】由，得：，∴為常數列，即，故故選C7、A【解析】試題分析：設角α的終邊為OP，P是角α的終邊與單位圓的交點，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數的定義，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，得出結論．解：如圖所示：設角α的終邊為OP，P是角α的終邊與單位圓的交點，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數的定義，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，故選A．考點：三角函數線．8、B【解析】分析：由題可知，然后根據復數的運算性質及基本概念逐一核對四個選項得到正確答案.詳解：已知則選項A，，錯誤.選項B，，正確.選項C，，錯誤.選項D，，不恒成立，錯誤.故選B.點睛：本題考查了復數的運算法則、共軛復數的定義、復數模的計算.9、B【解析】

求導，計算函數的單調區間，根據區間上是單調函數得到答案.【詳解】單調遞增，單調遞減.函數在區間上是單調函數區間上是單調遞減不滿足只能區間上是單調遞增.故故答案選B本題考查了函數的單調性，排除單調遞減的情況是解題的關鍵.10、A【解析】易知在上恒成立，在上單調遞減，又.本題選擇C選項.點睛：函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.11、C【解析】由題意得，，，，則，解得，則，，令，解得，當時，為增函數；，為減函數；，為增函數，所以函數的極大值為，故選C.點睛：此題主要考查了等比數列前項和、函數極值的求解等有關方面的知識，及冪運算等運算能力，屬于中檔題型，也是常考考點.在首先根據等比數列前項和公式求出參數的值，再利用導數方法，求出函數的極值點，通過判斷極值點兩側的單調性求出極大值點，從而求出函數的極大值.12、B【解析】分析：先根據圖像求出，即得，也即得結果.詳解：因為當時，，所以當時，，所以的單調減區間是，選B.點睛：函數單調性問題，往往轉化為導函數符號是否變號或怎樣變號問題，經常轉化為解方程或不等式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

通過純虛數的概念，即可求得，從而得到模長.【詳解】根據題意設，則，又為虛數，則，故，則，故答案為1.本題主要考查純虛數及模的概念，難度不大.14、0.1【解析】

恰好5場比賽決出總冠軍的情況有兩種：一種情況是前4局勇士隊3勝一負，第5局勇士勝，另一種情況是前4局騎士隊3勝一負，第5局騎士勝，由此能求出恰好5場比賽決出總冠軍的概率．【詳解】恰好5場比賽決出總冠軍的情況有兩種：一種情況是前4局勇士隊3勝一負，第5局勇士勝，另一種情況是前4局騎士隊3勝一負，第5局騎士勝，恰好5場比賽決出總冠軍的概率為：．故答案為0.1．本題考查概率的求法，考查次獨立重復試驗中事件恰好發生次的概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題．15、105.【解析】分析：先判斷概率分別為二項分布，再根據二項分布期望公式求結果.詳解：因為，所以點睛：16、.【解析】分析：先不考慮蛇共有種排法，再減去蛇相鄰的情況，即可得出結論．詳解：先不考慮蛇，先排蛇與毒草有種，再排藏紅花有種，共有種，其中蛇相鄰的排法共有種，，故答案為.點睛：本題主要考查排列的應用，屬于中檔題.常見排列數的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優先法”；（4）特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）其余學生的數學平均分、英語平均分都為分；（2）數學成績與英語成績的線性回歸方程，本次英語考試學號為的同學如果沒有作弊，他的英語成績估計為分.【解析】

（1）利用平均數的公式求出這名學生的數學成績之和以及英語成績之和，再減去、號學生的數學成績和英語成績，計算其余名學生的數學成績平均分和英語成績的平均分；（2）設取消的兩位同學的兩科成績分別為、，根據題中數據計算出和，并代入最小二乘法公共計算出回歸系數和，可得出回歸方程，再將號學生的數學成績代入回歸直線方程可得出其英語成績.【詳解】（1）由題名學生的數學成績之和為，英語成績之和為，取消兩位作弊同學的兩科成績后，其余名學生的數學成績之和，其余名學生的英語成績之和為.其余名學生的數學平均分，英語平均分都為；（2）不妨設取消的兩位同學的兩科成績分別為、，由題，，，，數學成績與英語成績的線性回歸方程.代入學號為的同學數學成績得，本次英語考試學號為的同學如果沒有作弊，他的英語成績估計為分.本題考查平均數的計算，同時也考查了回歸直線方程的求解，解題的關鍵就是理解最小二乘法公式，考查計算能力，屬于中等題.18、(1)24;(2)144.【解析】分析：（1）直接把4個球全排列即得共有多少種不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.詳解：(1)每個盒子放一個球,共有=24種不同的放法.(2)先選后排,分三步完成:第一步:四個盒子中選一只為空盒,有4種選法;第二步:選兩球為一個元素,有種選法;第三步:三個元素放入三個盒中,有種放法.故共有4×6×6=144種放法.點睛：（1）本題主要考查計數原理和排列組合的綜合應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用解法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數問題列舉法.19、（1）見解析；（2）平面與平面所成銳二面角的正弦值為.【解析】試題分析:（1）先證得平面,再根據面面垂直的判定定理得出結論;(2)建立合適的空間直角坐標系,分別求出平面AEF和平面ABE的法向量,利用二面角的公式求解即可.試題解析:（1）∵平面,∴平面,又平面,∴平面平面.（2）設與的交點為,建立如圖所示的空間直角坐標系,則，∴設平面的法向量為，則，即，令，則，∴.設平面的法向量為，則，即，令，則，∴.∴，∴，∴平面與平面所成銳二面角的正弦值為.20、（1），；（2）【解析】分析：（1）把曲線的參數方程化為普通方程，再把普通方程化為極坐標方程；

把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程即可；

（Ⅱ）由點是圓的圓心得線段是圓的直徑，從而得；

在極坐標系下，設，，，分別代入橢圓方程中，求出的值，求和即得的值．詳解：1曲線的參數方程是為參數，化為普通方程是；化為極坐標方程是；又曲線的極坐標方程是，化為直角坐標方程是；2點、的極坐標分別是、，直角坐標系下點，；直線與圓相交于P、Q兩點，所得線段PQ是圓的直徑；，，；又A、B是橢圓上的兩點，在極坐標系下，設，，分別代入方程中，有，；解得，；；即．點睛：本題考查了參數方程與極坐標的應用問題，解題時應熟練地把參數方程、極坐標方程化為普通方程，明確參數以及極坐標中各個量的含義，是較難的題目．21、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）先求函數定義域，由導數大于0，得增區間；導數小于0，得減區間；（2）由題意可得即證lnx＜x﹣1＜xlnx．由（