山東省青島市2024-2025學年數學高二下期末學業水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“a>1”是“函數f(x)=ax-sinx是增函數”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知定義在R上的奇函數，滿足，且在上是減函數，則（）A． B．C． D．3．復數的共軛復數在復平面內對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．某班上午有五節課，計劃安排語文、數學、英語、物理、化學各一節，要求語文與化學相鄰，且數學不排第一節，則不同排法的種數為（）A． B． C． D．5．由曲線，，，圍成圖形繞y軸旋轉一周所得為旋轉體的體積為，滿足，，的點組成的圖形繞y軸旋一周所得旋轉體的體積為，則（）A． B． C． D．6．在棱長為的正方體中，如果、分別為和的中點，那么直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．7．已知恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．隨機變量的分布列如下：-101若，則的值是（）A． B． C． D．9．已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，則（?RP）∩Q=（）A． B． C． D．10．設函數是奇函數的導函數，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．11．一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實”．經過調查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是()A．乙B．甲C．丁D．丙12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，則BC的長為（）A． B． C．3 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則______.14．如圖，在長方形ABCD-中，設AD=A=1，AB=2，則·等于____________15．已知，則的展開式中常數項為____16．已知是虛數單位，則復數的實部為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，且．（1）求證：；（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．18．（12分）已知函數(1)求的圖象在點處的切線方程；(2)求在上的最大值與最小值。19．（12分）已知命題：對，函數總有意義；命題：函數在上是增函數.若命題“”為真命題且“”為假命題，求實數的取值范圍.20．（12分）某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜.過去50周的資料顯示，該地周光照量X(小時)都在30小時以上，其中不足50小時的周數有5周，不低于50小時且不超過70小時的周數有35周，超過70小時的周數有10周.根據統計，該基地的西紅柿增加量y(百斤)與使用某種液體肥料x(千克)之間對應數據為如圖所示的折線圖．（1）依據數據的折線圖，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系？請計算相關系數r并加以說明(精確到0.01)(若，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合)（2）蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀最多可運行臺數受周光照量X限制，并有如表關系：周光照量（單位：小時）光照控制儀最多可運行臺數321若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損1000元.以過去50周的周光照量的頻率作為周光照量發生的概率，商家欲使周總利潤的均值達到最大，應安裝光照控制儀多少臺？附：相關系數，參考數據：，，，21．（12分）已知函數（1）求函數在點處的切線方程；（2）若在時恒成立，求的取值范圍。22．（10分）（江蘇省南京師大附中高三高考考前模擬考試數學試題）已知函數f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．（1）若a＝1，求函數f(x)的極值；（2）若函數f(x)有兩個零點，求a的范圍；（3）對于曲線y＝f(x)上的兩個不同的點P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，記直線PQ的斜率為k，若y＝f(x)的導函數為f′(x)，證明：f′()＜k．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先由函數fx=ax-sinx為增函數，轉化為f'【詳解】當函數fx=ax-sinx為增函數，則則a≥cos因此，“a>1”是“函數fx=ax-sin本題考查充分必要條件的判斷，涉及參數的取值范圍，一般要由兩取值范圍的包含關系來判斷，具體如下：（1）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；（2）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件；（3）A=B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件；（4）A?B，則則“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要條件。2、D【解析】

根據條件，可得函數周期為4，利用函數期性和單調性之間的關系，依次對選項進行判斷，由此得到答案?！驹斀狻恳驗?，所以，，可得的周期為4，所以，，.又因為是奇函數且在上是減函數，所以在上是減函數，所以，即，故選D.本題主要考查函數值的大小比較，根據條件求出函數的周期性，結合函數單調性和奇偶性之間的關系是解決本題的關鍵。3、A【解析】

復數的共軛復數為，共軛復數在復平面內對應的點為.【詳解】復數的共軛復數為，對應的點為，在第一象限.故選A.本題考查共軛復數的概念，復數的幾何意義.4、B【解析】

先用捆綁法將語文與化學看成一個整體，考慮其順序；將這個整體與英語，物理全排列，分析排好后的空位數目，再在空位中安排數學，最后由分步計數原理計算可得.【詳解】由題得語文和化學相鄰有種順序；將語文和化學看成整體與英語物理全排列有種順序，排好后有4個空位，數學不在第一節有3個空位可選，則不同的排課法的種數是，故選B.本題考查分步計數原理，屬于典型題.5、C【解析】

由題意可得旋轉體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與軸垂直的平面截這兩個旋轉體，設截面與原點距離為，求出所得截面的面積相等，利用祖暅原理知，兩個幾何體體積相等．【詳解】解：如圖，兩圖形繞軸旋轉所得的旋轉體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與軸垂直的平面截這兩個旋轉體，設截面與原點距離為，所得截面面積，，由祖暅原理知，兩個幾何體體積相等，故選：．本題主要考查祖暅原理的應用，求旋轉體的體積的方法，體現了等價轉化、數形結合的數學思想，屬于基礎題．6、B【解析】

作出圖形，取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，計算出的三邊邊長，然后利用余弦定理計算出，即可得出異面直線與所成角的大小.【詳解】如下圖所示：取的中點，連接、，、分別為、的中點，則，且，在正方體中，，為的中點，且，則，所以，四邊形為平行四邊形，，則異面直線與所成的角為或其補角.在中，，，.由余弦定理得.因此，異面直線與所成角的大小為.故選B.本題考查異面直線所成角的計算，一般利用定義法或空間向量法計算，考查計算能力，屬于中等題.7、A【解析】分析：先設，再求導求出函數g(x)的單調性和最小值，再數形結合分析得到a的取值范圍.詳解：設所以當x∈（-∞，-1）時，則函數單調遞減.當x∈（-1，+∞）時，，函數單調遞增.,當a<0時，y=a(2x-1)單調遞減，與題設矛盾.當a=0時，，與矛盾.當a>0時，.直線y=a(2x-1)過點（）.設為曲線上任意一點，則過點的曲線的切線方程為.又因為切線過點（），所以，解得故切線的斜率k=或k=.所以即a∈，故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查導數的幾何意義和切線方程的求法，考查利用導數研究函數的問題，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是求出過點（）的切線的斜率k=或k.8、D【解析】由題設可得，，所以由隨機變量的方差公式可得，應選答案D。9、C【解析】

先化簡集合A，再求，進而求.【詳解】x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞）由題意得，=（0,2），∴，故選C.本題考查的是有關集合的運算的問題，在解題的過程中，要先化簡集合，明確集合的運算法則，進而求得結果．10、D【解析】分析：根據題意，設，對求導，利用導數與函數單調性的關系分析可得在上為減函數，分析的特殊值，結合函數的單調性分析可得在區間和上都有，結合函數的奇偶性可得在區間和上都有，進而將不等式變形轉化可得或，解可得x的取值范圍，即可得答案.詳解：根據題意，設，其導數，又當時，，則有，即函數在上為減函數，又，則在區間上，，又由，則，在區間上，，又由，則，則在區間和上都有，又由為奇函數，則在區間和上都有，或，解可得：或.則x的取值范圍是.故選：D.點睛：本題考查函數的導數與函數的單調性的關系，以及不等式的解法，關鍵是分析與的解集.11、A【解析】

由題意，這個問題的關鍵是四人中有兩人說真話，另外兩人說了假話，通過這一突破口，進行分析，推理即可得到結論.【詳解】在甲、乙、丙、丁四人的供詞中，可以得出乙、丁兩人的觀點是一致的，因此乙丁兩人的供詞應該是同真同假（即都是真話或都是假話，不會出現一真一假的情況）；假設乙、丁兩人所得都是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話可推出丙是犯罪的結論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的結論；顯然這兩人是相互矛盾的；所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙的供詞可以斷定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁說假話，丙說真話推出乙是犯罪的，綜上可得乙是犯罪的，故選A.本題主要考查了推理問題的實際應用，其中解答中結合題意，進行分析，找出解決問題的突破口，然后進行推理是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力.12、D【解析】

在中，由，以及的值，利用余弦定理，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，在中，由，由余弦定理可得，則，故選D.本題主要考查了余弦定理的應用，以及余弦定理是解答特殊角的三角函數值的應用，其中熟練掌握余弦定理是解答本題的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用兩角差的正切公式展開，代入相應值可計算出的值．【詳解】.本題考查兩角差的正切公式的應用，解題時，首先應利用已知角去配湊所求角，然后在利用兩角差的公式展開進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題．14、1【解析】

選取為基底，把其它向量都用基底表示后計算．【詳解】由題意．故答案為1．本題考查空間向量的數量積，解題關鍵是選取基底，把向量用基底表示后再進行計算．15、-32【解析】n＝，二項式的展開式的通項為，令＝0，則r＝3，展開式中常數項為(－2)3＝－8×4＝－32.故答案為-32.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.16、【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】，

復數的實部為1．

故答案為：1．本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，屬于容易題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）.【解析】

（1）由柯西不等式即可證明；（2）可先計算的最小值，再分，，三種情況討論即可得到答案.【詳解】解：（1）由柯西不等式得．∴，當且僅當時取等號．∴；（2），要使得不等式恒成立，即可轉化為，當時，，可得，當時，，可得，當時，，可得，∴的取值范圍為：．本題主要考查柯西不等式，均值不等式，絕對值不等式的綜合應用，意在考查學生的分析能力，計算能力，分類討論能力，難度中等.18、（1）；（2）【解析】

（1）利用導數求出的值，作為切線的斜率，并計算出，再利用點斜式寫出切線的方程；（2）利用導數分析函數在區間上的單調性，并求出極值，再與端點值比較大小，即可得出函數在區間上的最大值和最小值?！驹斀狻浚?），，所以，函數的圖象在點處的切線的斜率為，，所以，函數的圖象在點處的切線方程為，即；（2），。當時，；當時，。所以，，因為，，所以，，則，所以，函數在上的最大值為。本題考查導數的幾何意義，考查函數的最值與導數，在處理函數的最值時，要充分利用導數分析函數的單調性，并將極值與端點函數值作大小比較得出結論，考查計算能力與分析問題的能力，屬于中等題。19、【解析】

由對數函數的性質，我們可以得到為真時，的取值范圍；根據導數的符號與函數單調性的關系及基本不等式，我們可以求出為真時的取值范圍；而根據“”為真且命題“”為假，可得真假，或假真，求出這兩種情況下的的取值范圍再求并集即可．【詳解】解：當為真命題時，解得當為真命題時，在上恒成立，即對恒成立.又，當且僅當時等號成立，所以，所以.因為命題“”為真命題且命題“”為假命題，所以命題與命題一個為真一個為假當真假時，有解得當假真時，有解得綜上，實數的取值范圍是本題考查的知識點是對數函數的性質，恒成立問題，導數法確定函數的單調性，復合命題的真假，屬于中檔題.20、（1），可用線性回歸模型擬合y與x的關系；（2）2臺光照控制儀.【解析】

（1）由題中所給的數據計算，進而結合參考數據計算相關系數，得出答案；（2）記商家周總利潤為Y元，由條件可知至少需要安裝1臺，最多安裝3臺光照控制儀．①安裝1臺光照控制儀可獲得周總利潤3000元；②安裝2臺光照控制儀有2種情形：做出分布列即可求解．【詳解】（1）由已知數據可得，所以相關系數因為，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關系．（2）記商家周總利潤為Y元，由條件可知至少需要安裝1臺，最多安裝3臺光照控制儀．①安裝1臺光照控制儀可獲得周總利潤3000元；②安裝2臺光照控制儀的情形：當X＞70時，只有1臺光照控制儀運行，此時周總利潤Y＝3000﹣1000＝2000元，當30＜X≤70時，2臺光照控制儀都運行，此時周總利潤Y＝2×3000＝6000元，故Y的分布列為：Y20006000P0.20.8所以E（Y）＝1000×0.2+5000×0.7+9000×0.1＝4600元．綜上可知，為使商家周利潤的均值達到最大應該安裝2臺光照控制儀.本題考查了線性回歸方程的求法及應用，分布列的求法，利潤的計算，屬于中檔題.21、（1）（2）【解析】

（1）求得函數的導數，得到，，利用直線的點斜式方程，即可求解其切線的方程；（2）利用導數求得函數在單調遞增，在單調遞減，求得函數，進而由，即可求解的取值范圍?！驹斀狻浚?）由題意，函數，則，可得，又，所以函數在點處的切線方程為。（2）因為，令，解得，當時，，當時，，所以函數在單調遞增，在單調遞減，所以，若，在恒成立，即恒成立，所以，所以的取值范圍是。本題主要考查了利用導數的幾何意義求解曲線在某點處的切線方程，以及利用導數求解函數的恒成立問題，其中解答中熟記導數的幾何意義，以及準確利用導數求得函數的單調性與最值是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題。22、（1）見解析（2）（3）見解析【解析】分析：（1）求極值可先求導分析函數的單調區間從而確定極值點求極值；（2）由（1）可知當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調增，不可能有兩個零點；故只需討論當a＞0時的零點情況，當a＞0時，函數有極大值，令（x＞0），求導分析單調性結合零點定理進行證明即可；（3）由斜率計算公式得，而，將看成一個整體構造函數（），分析其最大值即可.解：（1），，當時，，在上單調遞增，無極值；當時，，在上單調遞增；，在上單調遞減，函數有極大值，