湖南省瀏陽市第二中學、五中、六中三校2025屆數學高二第二學期期末聯考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的一個零點落在下列哪個區間（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）2．有不同的語文書9本，不同的數學書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學科的書2本，則不同的選法有A．21種B．315種C．153種D．143種3．三棱錐的棱長全相等，是中點，則直線與直線所成角的正弦值為（）A． B． C． D．4．已知復平面內的圓：，若為純虛數，則與復數對應的點（）A．必在圓外 B．必在上 C．必在圓內 D．不能確定5．函數（為自然對數的底數）的遞增區間為（）A． B． C． D．6．執行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為，則輸出的值為（）A． B． C． D．7．已知i為虛數單位，z，則復數z的虛部為（）A．﹣2i B．2i C．2 D．﹣28．下列幾種推理中是演繹推理的序號為（）A．由，，，…猜想B．半徑為的圓的面積，單位圓的面積C．猜想數列，，，…的通項為D．由平面直角坐標系中，圓的方程為推測空間直角坐標系中球的方程為9．某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是（）A．0 B．-1 C．-2 D．-810．在一段線路中并聯著兩個獨立自動控制的開關，只要其中一個開關能夠閉合，線路就可以正常工作.設這兩個開關能夠閉合的概率分別為0.5和0.7，則線路能夠正常工作的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.85 D．11．已知拋物線的焦點為F，過點F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于兩點，直線與拋物線C交于點，若與直線的斜率的乘積為，則的最小值為（）A．14 B．16 C．18 D．2012．已知函數，若，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知i是虛數單位,若,則________14．(N*)展開式中不含的項的系數和為________.15．甲乙兩名選手進行一場羽毛球比賽，采用三局二勝制，先勝兩局者贏得比賽，比賽隨即結束，已知任一局甲勝的概率為，若甲贏得比賽的概率為，則取得最大值時______16．已知為偶函數，當時，，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線的參數方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，且取相同的長度單位建立極坐標系，圓C的極坐標方程為．（1）求直線的普通方程與圓C的直角坐標方程；（2）設圓與直線交于、兩點，若點的直角坐標為，求的值．18．（12分）將個不同的紅球和個不同的白球，放入同一個袋中，現從中取出個球.（1）若取出的紅球的個數不少于白球的個數，則有多少種不同的取法；（2）取出一個紅球記分，取出一個白球記分，若取出個球的總分不少于分，則有多少種不同的取法；（3）若將取出的個球放入一箱子中，記“從箱子中任意取出個球，然后放回箱子中”為一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到個紅球并且恰有一次取到個白球的概率.19．（12分）如圖，三棱柱中，平面平面，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環.據此，某網站推出了關于生態文明建設進展情況的調查，大量的統計數據表明，參與調查者中關注此問題的約占80%.現從參與調查的人群中隨機選出人，并將這人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示(1)求的值(2)現在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人進行問卷調查，求在第1組已被抽到人的前提下，第3組被抽到人的概率；（3）若從所有參與調查的人中任意選出人，記關注“生態文明”的人數為，求的分布列與期望.21．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）設點在上，點在上，求的最小值以及此時的直角坐標.22．（10分）如圖，在極坐標系中，，，，，，弧，所在圓的圓心分別是，，曲線是弧，曲線是線段，曲線是線段，曲線是弧.（1）分別寫出，，，的極坐標方程；（2）曲線由，，，構成，若點，（），在上，則當時，求點的極坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據函數的零點存在原理判斷區間端點處函數值的符號情況，從而可得答案.【詳解】由的圖像在上是連續不間斷的.且在上單調遞增，又，,根據函數的零點存在原理有：在在有唯一零點且在內.故選：B.本題考查函數的零點所在區間，利用函數的零點存在原理可解決，屬于基礎題.2、D【解析】由題意，選一本語文書一本數學書有9×7=63種，選一本數學書一本英語書有5×7=35種，選一本語文書一本英語書有9×5=45種，∴共有63+45+35=143種選法.故選D.3、C【解析】分析：取中點，連接，由三角形中位線定理可得，直線與所成的角即為直線與直線所成角，利用余弦定理及平方關系可得結果.詳解：如圖，取中點，連接，分別為的中點，則為三角形的中位線，，直線與所成的角即為直線與直線所成角，三棱錐的棱長全相等，設棱長為，則，在等邊三角形中，為的中點，為邊上的高，，同理可得，在三角形中，，，直線與直線所成角的正弦值為，故選C.點睛：本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到，異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結果一定要取絕對值.4、A【解析】

設復數,再利用為純虛數求出對應的點的軌跡方程,再與圓：比較即可.【詳解】由題,復平面內圓：對應的圓是以為圓心,1為半徑的圓.若為純虛數,則設,則因為為純虛數,可設,.故故,因為,故.當有.當時,兩式相除有,化簡得.故復數對應的點的軌跡是.則所有的點都在為圓心,1為半徑的圓外.故選：A本題主要考查復數的軌跡問題,根據復數在復平面內的對應的點的關系求解軌跡方程即可.屬于中等題型.5、D【解析】,由于恒成立,所以當時,,則增區間為.,故選擇D.6、C【解析】

讀懂流程圖，可知每循環一次，的值減少4，當時，得到的值.【詳解】根據流程圖，可知每循環一次，的值減少4，輸入，因為2019除以4余3，經過多次循環后，再經過一次循環后滿足的條件，輸出流程圖的簡單問題，找到循環規律，得到的值，得到輸出值.屬于簡單題.7、C【解析】

根據復數的運算法則，化簡得，即可得到復數的虛部，得到答案.【詳解】由題意，復數，所以復數的虛部為，故選C.本題主要考查了復數的概念，以及復數的除法運算，其中解答中熟記復數的運算法則是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8、B【解析】

根據演繹推理、歸納推理和類比推理的概念可得答案.【詳解】A.是由特殊到一般，是歸納推理.B.是由一般到特殊，是演繹推理.C.是由特殊到一般，是歸納推理.D.是由一類事物的特征，得到另一類事物的特征，是類比推理.故選：B本題考查對推理類型的判斷，屬于基礎題.9、B【解析】根據流程圖可得：第1次循環：；第2次循環：；第3次循環：；第4次循環：；此時程序跳出循環，輸出.本題選擇B選項.10、C【解析】試題分析：線路能夠了正常工作的概率=,故選C.考點：獨立事件，事件的關系與概率.11、B【解析】

設出直線的斜率，得到的斜率，寫出直線的方程，聯立直線方程和拋物線方程，根據弦長公式求得的值，進而求得最小值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，依題意可知斜率存在且不為零，設直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，有，有，，故，同理可求得.故，當且僅當時，等號成立，故最小值為，故選B.本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查直線和拋物線相交所得弦長公式，考查利用基本不等式求最小值，屬于中檔題.12、D【解析】分析：求出函數的導數，由可求得.詳解：函數的導數，由可得選D.點睛：本題考查函數的導函數的概念及應用，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由即答案為14、1【解析】

先將問題轉化為二項展開式的各項系數和問題，再利用賦值法求出各項系數和．【詳解】要求(n∈N?)展開式中不含y的項，只需令y=0，(N*)展開式中不含的項的系數和即為展開式的系數和，令x=1得展開式的各項系數和為；故答案為：1.因為二項式定理中的字母可取任意數或式，所以在解題時根據題意，給字母賦值，是求解二項展開式各項系數和的一種重要方法．15、【解析】

利用表示出，從而將表示為關于的函數，利用導數求解出當時函數的單調性，從而可確定最大值點.【詳解】甲贏得比賽的概率：，令，則，令，解得：當時，；當時，即在上單調遞增；在上單調遞減當時，取最大值，即取最大值本題正確結果：本題考查利用導數求解函數的最值問題，關鍵是根據條件將表示為關于變量的函數，同時需要注意函數的定義域.16、【解析】

由偶函數的性質直接求解即可【詳解】.故答案為本題考查函數的奇偶性，對數函數的運算，考查運算求解能力三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線l的方程為,圓C的方程為（2）【解析】

試題分析：(1)消去參數可得直線的普通方程為，極坐標方程轉化為直角坐標方程可得圓C的直角坐標方程是(2)利用題意由弦長公式可得.試題解析：解：（1）∵直線l的參數方程是（是參數），∴．即直線的普通方程為．∵，∴∴圓C的直角坐標方程為，即或（2）將代入得，∴．∴．18、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）若取出的紅球的個數不少于白球的個數，則有紅、紅白、紅白三種情況，然后利用分類計數原理可得出答案；（2）若取出的球的總分不少于分，則有紅、紅白、紅白和紅白四種情況，然后利用分類計數原理可得出答案；（3）由題意得出箱子里紅球和白球都是個，并求出操作三次的情況總數，以及恰有一次取到個紅球且有一次取到個白球的情況數，然后利用古典概型的概率公式可得出答案.【詳解】（1）若取出的紅球個數不少于白球個數，則有紅、紅白、紅白三種情況，其中紅有種取法，紅白有種取法，紅白有種取法.因此，共有種不同的取法；（2）若取出的個球的總分不少于分，則有紅、紅白、紅白和紅白四種情況.其中紅有種取法，紅白有種取法，紅白有種取法，紅白有種不同的取法.因此，共有種不同的取法；（3）由題意知，箱子中個球中紅球有個，白球也為個，從這個球中取出個球，取出個紅球只有一種情況，取出個白球也只有一種情況，取出紅白有種情況，總共有種情況.若取出的個球放入一箱子里，記“從箱子中任意取出個球，然后放回箱子中去”為一次操作，如果操作三次，共有種不同情況.恰有一次取到個紅球且有一次取到個白球共有種情況，因此，恰有一次取到個紅球并且恰有一次取到個白球的概率為.本題考查分類計數原理以及概率的計算，在解題時要熟練利用分類討論思想，遵循不重不漏的原則，考查運算求解能力，屬于中等題.19、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)如圖做輔助線，D為AB中點，連，，由是等邊三角形可知，，且，則是等邊三角形，，故平面，平面，那么得證．(Ⅱ)建立空間直角坐標系以D為原點，先根據已知求平面的一個法向量，再求向量，設直線與平面所成的角為，則，計算即得.【詳解】(Ⅰ)取中點，連,因為，所以,所以平面因為平面所以.(Ⅱ)以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，可得,,,,設平面的一個法向量為則，而.所以.又，設直線與平面所成的角,則本題考查兩條直線的位置關系和立體幾何中的向量方法，是常見考題.20、(1)(2)（3）【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖求出的值；（2）設從12人中隨機抽取3人，第1組已被抽到1人為事件，第3組抽到2人為事件，由條件概率公式得到所求概率；（3）的可能取值為0，1，2，3，求出相應的概率值，從而得到的分布列與期望.試題解析：（1）由，得，（2）第1，2，3組的人數分別為20人，30人，70人，從第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取12人，則第1，2，3組抽取的人數分別為2人，3人，7人.設從12人中隨機抽取3人，第1組已被抽到1人為事件，第3組抽到2人為事件，則（3）從所有參與調查的人中任意選出1人，關注“生態文明”的概率為的可能取值為0，1，2，3.，，所以的分布列為，21、（1）：，：；（2），此時.【解析】試題分析：（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）由題意，可設點的直角坐標為到的距離當且僅當時，取得最