實驗二、線性系統能控性與能觀性判別

1實驗目的

1.掌握能控性和能觀測性的概念。學會用MATLAB判斷能控性和能觀測性。

2.掌握系統的結構分解。學會用MATLAB進行結構分解。

3.掌握最小實現的概念。學會用MATLAB求最小實現。

2實驗步驟

1.已知系統

--3-41[4

X=x+U

-10J|_1_

y=[-i-5

（2）令系統的初始狀態為零，系統的輸入分別為單位階躍函數和單位脈沖函數。用MATLAB函數計

算系統的狀態響應和輸出響應，并繪制相應的響應曲線。觀察和記錄這些曲線。當輸入改變時，每

個狀態變量的響應曲線是否隨著改變？能否根據這些曲線判斷系統狀態的能控性？

（3）將給定的狀態空間表達式變換為對角標準型，判斷系統的能控性和能觀測性，與（1）的結果

是否一致？為何？

（4）令（3）中系統的初始狀態為零，輸入分別為單位階躍函數和單位脈沖函數。用MATLAB函數

計算系統的狀態響應和輸出響應，并繪制響應的曲線。觀察和記錄這些曲線。當輸入改變時，每個

狀態變量曲線是否隨著改變？能否根據這些曲線判斷系統以及各狀態變顯的能控性？不能控和能控

狀態變量的響應曲線有何不同？

（5）根據（2）和（4）所得曲線能否判斷系統狀態以及各狀態變量的能觀測性？

（1）判斷系統狀態的能控性和能觀測性，以及系統輸出的能控性。說明狀

態能控性和輸出能控性之間有無聯系。

狀態能控性：

BR2017b?bin?

i命令行窗口

?A=：-3-4;-l02;

?B=：4;l];

?C=[-l-1]；

?D=0;

?Uc=ctrb(A,B)

Uc=

4-16

1-4

?rank(Uc)

ans=

因為rank(Uc)=lhn,所以系統的狀態不完全能控。

狀態能觀測性：

?V=obsv(A,C)

-1-1

44

?rank(V)

ans=

1

因為rank(Vo)=l#n,所以系統的狀態不完全能控。

輸出的能控性：

?Uy=[C*UcD]

Uy=

-5200

?rank(Uy)

ans=

因為rank(Uy)=l=m,故系統是輸出能控的。

(2)令系統的初始狀態為零，系統的輸入分別為單位階躍函數和單位脈沖

函數。用MATLAB函數計算系統的狀態響應和輸出響應，并繪制相應的響

應曲線。觀察和記錄這些曲線。當輸入改變時，每個狀態變量的響應曲線是

否隨著改變？能否根據這些曲線判斷系統狀態的能控性？

?G=ss(A,B,C,D)

G=

A=單位階躍函數

xlx2

xl-3-4

x2-10

文件(F)?Sg(E)查詢V)插入(I)IRCD蜒(D)S3(W)精助(H)

B=Qd“*Q-⑥S/y□S"■Q

ul

xl4StepResponse

x21

C=

xlx2

yl-1-1

D=

ul

yl0

Continuous-tinestate-spacem

11.522.5

?step(G)Time(seconds)

Firrel

文件6??(￡)SttQO?A(DIM?Jf面(D)?a(W)WftQD

U*Q|'不?30因■□

>>step(G)

?Xo=0;

?[yo,t,xo]=step(G);

?plot(t,xo,*:'t,yo,'")|

單位階躍狀態和輸出響應曲線

?iipulse(G)

?Zyo,t,xoL=impulse(G);

?plot(t,x。，'：'，t,y。，'」)

單位脈沖響應曲線

?Figure1一口X

文件（B案短⑹se（y）插入（D工具①SJOfiD?K）（t!）

島tju，口目q國

4

-1

-4

00.511.5

結論：當輸入改變時，每個狀態變量的響應曲線隨著改變?？梢愿鶕?/p>

曲線判斷其能控性。

（3）將給定的狀態空間表達式變換為對角標準型，判斷系統的能控

性和能觀測性，與（1）的結果是否一致？為何？

?Gl=canon（G,'nodal'>

G1=

xlx2

xl-40

x201

B=

ul

xl-2.236

x20

xlx2

yl2.2360

ul

yl0

Continuous-tinestate-spacenodel.

由以卜?的A,B,C可知系統不能控，不可觀測，與⑴結果一致，因為狀態空間表達式

化成能控標準型或者能觀標準型的理論依據是狀態的非奇異變換不改變其能控性或者

能觀性。

與（1）中的結果一致，因為其實質上是一樣的，只是系統的表述方式不一樣。

31Figure1—aX

>>step(G1)文件(D查看2)MAO)UKD*面9)?n(W)M即(H)

tJ□U?|4?O?.X?口日■口

StepResponse

Time(seconds)

對角標準型單位階躍響應曲線

（4）令（3）中系統的初始狀態為零，輸入分別為單位階躍函數和單位脈沖函數。

用MATLAB函數計算系統的狀態響應和輸出響應，并繪制響應的曲線。觀察和記錄這

些曲線。當輸入改變時，每個狀態變量曲線是否隨著改變？能否根據這些曲線判斷系

統以及各狀態變量的能控性？不能控和能控狀態變量的響

應曲線有何不同？

?Figure1

文件舊SfiOD插入8UKDJi面9)定口他)WW)(HJ

"diQ□B■□

o

?step(G1)

?Xo=0;

?[yo,t,xoj=step(Gl);

?plot(t,xo,,t,yo,')

對角標準型單位階躍狀態和輸出響應曲線

?impulse(Gl,t)

@Figure1-OX

文件(D邸8(E)s0(Y)插入(1)ISCD桌面(D)交口時幫助回

a

p

n

d三

E

q

-3.5/\

4

-4.5/

巧！---------------------------------------------------------------------------

00.511.52

Tim?(seconds)

對角標準型單位脈沖響應曲線

(5)根據(2)和(4)所得曲線能否判斷系統狀態以及各狀態變量的能觀測性？

能觀性表述的是輸出y(t)反映狀態變量x(t)的能力，與控制作用沒有沒有

直接關系。

2.已知系統

-10002

0-3001

X+

00-200

000-40

y=[l0I()卜

(1)將給定的狀態空間模型轉換為傳遞函數模型。令初始狀態為零，用MATLAB計算

系統的單位階躍輸出響應，繪制和記錄相應的曲線。

?A=[-l。U0；U-3VU；QU-20；UUU-4]；

?B=l2;l;0;0]：?Figure1o

?C=[l010];文件(DMID充*GO*A(DUKDH面(Q)?C(M)

■曲Q\\SZ?Q□Q■□

?D=0;

?Css=ss(A,B.C.D);

?Ctf?tf(Css)

Gtf=

2

Continuous-tiaetransferfunction.

?x80.

?iyO.t,xO]=$tep(Css).

?plot(t,xO,*'-*)

（2）按能控性分解給定的狀態空間模型并記錄所得的結果，然后再將其轉換為傳遞函數模型。

它與（1）中所得的傳遞函數模型是否一致？為何？令初始狀態為零，用MATLAB計算

系統的單位階躍輸出響應，并繪制和記錄相應曲線。這一曲線與（1）中的輸出曲線是

否一致？為何？

TcKcI-ctrb￡(A,B,C)

Ac=

-4.0000000

0-2.000000

00-2.60000.8000

000.8000-1.4000?Cssl=ss(Ac,Bc,Cc,0)

Gssl=

Be=

A=

0xlx2x3x4

0xl-4000

0x20-200

2.2361x300-2.60.8

x4000.8-1.4

Cc=B=

ul

01.00000.44720.8944xl0

x20

x30

Tc=x42.236

0001.0000C=

001.00000xlx2x3x4

0.4472-0.894400yl010.44720.8944

0.89440.447200

D=

ul

Ke=yl0

1100Continuous-ti?estate-spacelodel.

傳遞函數:

Fiqure1-□X

文件(DfifiGO插入(!)工具①吏面9)密口改)*?(H)

“U*Q⑨0目■□

?Ctfl=tf(Cssl)

Gtfl=

2s+6

s*2+4s+3

Continuous-tiietransferfunction.

?x0=0;

?'yO,t,xOj=step(Gssl);

?plot(t,xO,':',t,yO,'-')

這一曲線與⑴中的輸出曲線一致

(3)按能觀測性分解給定的狀態空間模型并記錄分解所得的結果，然后再將其轉換為

傳遞函數模型。它與(1)中的傳遞函數模型是否一致？為何？令初始狀態為零，

用MATLAB計算系統的單位階躍輸出響應，并繪制和記錄相應曲線。這一曲線與

(1)中的輸出曲線是否一致？

?:A。BoCoToKoi=odescoa(A.B.C)

010

0-20

I00

011

狀態空間模型:

>>Gss2=ss(Ao,Bo,Co,0);

?Gtf2=tf(Gss2)

Gtf2=

2s+4

s.2+3s+2

Continuous-timetransferfunction.

與(1)傳遞模型相同

I5Figure1-□X

；文件(DfiflGOaAO)IMO)JtflEQ餐口(MO相助?

口-U?Q?——?——?一□@■O

2|-----------------------------------------一1一一一----------------------

1.8

1.6

1.4/......................."...........................................................

12/???.???

1//

0.8//

0.6//

0.4V“.,

?x0=0;02E

”[W，t,xO]=step(Gss2);|%~~；__；_；_；_~~：)

?plot(t,xO,':,t,yO,*)

（4）按能控性能觀測性分解給定的狀態空間模型并記錄分解所得的結果，然后再將其

轉換為傳遞函數模型。它與（1）中的傳遞函數模型是否一致？為何？令初始狀態為零，

用MATLAB計算系統的單位階躍輸出響應，并繪制和記錄相應的曲線。這一曲線與（1）

中的輸出曲線是否一致？為何？

?：AkBkCkTk]=kal?dec(A,B,C)

Ak=

-1.00000.000000

0-3.000000

00-2.00000

000-4.0000

Bk=

2.0000

1.0000

0

0

1.00000.00001.00000

Tk=

00-0.00001.0000

001.00000

01.000000

-1.0000000

傳遞函數模型:

>>Gss3=ss(Ak,Bk,Ck,0);Gtf=tf(Gss3)

Gtf=

2s+6

s*2+4s+3

Continuous-timetransferfunction.

與⑴傳遞函數模型相同

!<Figure1-□X

,文件(D?、椴榫鼼O插入(!)工具①點面9)曹匚改)科助(tl)

□dU*QWO⑨履/[魚□IE)Fo

這一曲線與(1)中的輸出曲線一致

3已知系統

(b)G(s)=-----------------

(5+1)(5+2)(5+3)

用函數minreal()求最小實現。判斷所得系統的能控性和能觀測性，驗證其

是否最小實現。

?z=-l;p=1-1-2-3];k=l;

?G=zpk(z,p,k)

G=

(s+1)

(s+1)(s+2)(s+3)

Continuous-tinezero/pole/gainaodel.

?G=tf(G)

s*3+6s*2+11s+6

Continuous-tinetransferfunction.

nu?=[11J;den=Ll6116J;

?Gl=tf(nun,den).

?lABCDl=tf2ss(nun,den)

(

A=?Gl=ssA,B,C?D)

Gl=

-6-11-6

100A=

010xlx2x3

xl-6-11-6

x2100

B=