4.3.2角的比較與運算教學設計

一、內容和內容解析

1.內容

本節課是人教版《義務教育教科書?數學》七年級上冊(以下統稱“教材”)第四章“幾何圖形初步”

4.3.2角的比較與運算，內容包括：角的大小的比較方法：角A分線和角的和、差、倍、分的意義及數量

關系：度、分、秒的角度的計算.

2.內容解析

本節課是人教版七年級(上冊)第四章第三節的內容.在此之前，學生已經學習角的基本概念、角的度最

以及直線、線段、射線的概念及相關性質.這為本節課的教學做了知識和思維上的準備.同時它對學習下一

節余角、補角的概念的理解進行了思維上的鋪墊，從而為學生進一步學習平面幾何圖形打下了基礎.所以本

節內容起到了復習舊知識、承接新知識的承上啟下的作用.

基十以上分析?，確定本節課的教學重點為：比較角的大小，認以角的大小關系，分析角的和差關系，

認識角平分線及畫角平分線.

二、目標和目標解析

1.目標

(1)掌握角的大小的比較方法.

(2)理解角平分線和角的和、差、倍、分的意義及數量關系，能夠用幾何語言進行相關表述，并能解答

相關問題.

(3)會進行涉及度、分、秒的角度的計算.

2.目標解析

在現實情境中，運用類比的方法，學會比較兩個角的大小，豐富對角的大小關系的認識，會分析圖中

角的和差關系.通過動手操作，學會借助三角板拼出不同度數的角，認識角的平分線及角的等分線，會畫角

的平分線.進一步培養和提高學生的識圖能力和動手操作的能力，認識類比的數學思想方法.能在動手操作

畫圖、拼圖的數學活動過程中發揮積極作用，體驗數學活動的成功經驗，激發學生的學習熱情.

三、教學問題診斷分析

七年級學生剛剛從小學升入初中，還以形象思維能力為主.遵循這一特點，應該充分利月學生已有的

認知基礎和他們已掌握的操作方法和方式，結合“觀察、比較、操作、發現”的學法指導，引導學生在自

己動手的過程中，利用知識的遷移，把新舊知識聯系在一起，使學生抽象思維能力得到發展.同時教學時還

應該針對不同層次的學生，給予不同層次的關注，實現有梯度層次的教學.

基于以上學情分析，確定本節課的教學難點為：能從圖形中觀察角的和差關系.

四、教學過程設計

（一）情境引入

（二）自學導航

與線段長短的比較類似，我們可以用量角器量出角的度數，然后比較它們的大小（度量法）.

也可以把它們的一條邊疊合在一起，通過觀察另一條邊的位置來比較兩個角的大小（疊合法）

0(0')A(A')

ZAOBNA'O'I"ZAOBNA'O'B'ZAOBNA'O'B'

思考：觀察下邊圖形，圖中共有幾個角？它們之間有什么關系？

圖中共有一個角分別是：，

它們的關系為：

ZAOC=+NBOC,ZA3B=一/BOC,ZAOC-ZAOB=

c

B

0A

（三）考點解析

例i.如圖，回答下列問題:

（1）比較NFOD與NFOE的大小;

⑵借助三角板比較NDOE與/BOF的大小.

AE

解：⑴因為0D在NFOE的內部,

所以NFODV/FOE.

⑵用含有45°角的三角板比較,

可得ND0E>45°，NB0FV45。，

所以NDOE>NBOF.

【遷移應用】

1.在NAOB的內部任取一點C,作射線0C,則一定存在（）

A.ZAOB>ZAOCB.ZAOC=ZBOC

C.ZBOOZAOCD.ZAOOZBOC

2.如圖,NAOF是平角,請你比較NAOB,ZAOC,ZAOD,NAOE四個角的大小.

D

A0F

cB

D-_

0/

2.如圖,NAOB=NCOD,則()

A.Z1>Z2B.Z1=Z2C.Z1<Z2D.Z1與N2的大小無法比較

oc

(四)合作探究

思考：觀察下邊圖形，圖中共有幾個角?它們之間有什么關系？

圖中共有一個角分別是：____________

它們的關系為：

ZAOC=________+NBOC,

ZAOB=________-ZBOC,

ZAOC-ZAOB=________.

上

uA

探究：如圖，借助三角尺畫出15°,75°的角，用一副三角尺，你還能畫出哪些度數的角？試一試.

以4

\\//

【結論】借助一副三角尺可以畫出15。倍數的角.

（五）自學導航

我們知道，線段的中點把線段分成相等的兩條線段.類似地，下圖中，如果NAOB=NBOC,那么射線OB

把NAOC分成兩個相等的角，這時有

ZA0C=2ZA0B=2,ZA0B=ZB0C=^.

一般地，從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.

三等分線

A

ZA0D=3ZA0B=3ZB0C=3ZC0D,ZA0B=ZB0C=ZC0D=-ZA0D.

3

（六）考點解析

例3.如圖，ZB0D=1ZC0D=15°,0C平分NA0B,求NA0B的度數.

D

解：因為NB0D』NC0D=15°

3

所以/C0D=3/B0D=45",

所以NB0C=NC0D-NB0D=30°

又因為0C平分NAOB,

所以NA0B=2NB0C=60°

【遷移應用】

1.如圖，0是直線AB上一點，0C是NA0B的平分線，ZCOD=32°,則NBOD的度數是

2.如圖，0C是NA0B的平分線,0D是NA0C的平分線,ZC0D=25°，則NAOB等于（）

3.如圖，ZAOB=165°,0D平分NA0C.

(1)若NA0D=50°,則NB0C=______.

⑵若NBOD=11O°,則0C是NBOD的平分線嗎？說明理由.

D

解：(2)0C是NBOD的平分線.

理由:因為NAOB=165°,NB0D=110°,

所以/A0D=NA0B-NB0D=165°-110°=55°.

因為0D平分NAOC,

所以NCOD=NAOD=55°.

所以/BOC:NBOD-NCOD=110°-55°=55°.所以NBOONCOD.

所以0C是NB0D的平分線.

例4.計算：

(1)56°18'+72°48';(2)131°28'-51°32'157;

(3)12°30'20〃X2;(4)12°31'21”+3.

解:(1)56°18'+72°48'=128°66'=12906';

(2)131°28'-51°32'15”

=130°87'60〃-51°32'15〃

=79°55745〃；

(3)12°30'20"X2

=24°60'40"

=25°40〃；

(4)12°31'21"4-3

=4°+31'21〃4-3

=4010'+81〃+3

=4010'27〃.

【遷移應用】

1.如圖，（）是直線AB上一點，0D是NB0C的平分線，ZA0C=46°38',則NBOD的度數為

cD

AOB

2.計算:

(1)48°39'+67°31'-21°17';(2)23°53'X3-107°43'4-5.

解：(1)48°39'+67°31'-21°17'

=116°10z-21017

=94°53'.

(2)23°53'X3-107°43'4-5

=71°39z-21°32'36"

=50°6,24〃.

,ZC0D=90°,0E為NB0D的平線，ZB0E=15°,求NA0D和/BOC的度數.

快思路分析

已知(BOE=15。龜平分線，乙BOD=2乙BOE

乙A()D=^A()B+乙BOD

求解

乙BOC—乙COD-乙BOD

解：因為0E為/BOD的平分線，ZB0E=15°,

所以NB0D=2NB0E=30°,

所以NA0D=NA0B+/B0D=900+30°=120°，ZB0C=ZC0D-ZB0D=90°-30°=60°.

【遷移應用】

如圖,直線AB,CD相交于點0,0E平分/AOD,ZC0F=90°,ZB0F=40°,求NA0C和/DOE的度數.

ED

AB

O

CF

解：囚為/AOC十/COF十/BOF=180°,ZC0F=900,

ZB0F=40°,

所以NA0C=180°-ZC0F-ZB3F=180°-90°-40°=50°

因為/A0C+NA()I)=180°

所以NA0D=180°-ZA0C=180°-50°=130°

因為0E平分NAOD,

所以/D0E』NA0D=65°

例6.如圖，已知射線0C在/AOB的內部，0M和0N分別平分NAOC和NB0C.

(1)若NA0C=50°,ZB0C=30°,求NM0N的度數;

(2)探究NM0N與NA0B的數量關系.

解：⑴因為0M,0N分別平分NAOC,ZB0C,

所以/Cm^NAOC，ZCON4ZBOC.

因為NA0C=50°,ZB0C=30°,

所以NC0M=25°,ZC0N=15°

所以NM0N=NCOM+/C()N=4()。.

⑵因為0M,ON分別平分NA9C和NB0C,

所以NC。吟NAOC,NCON*BOC.

所以/UON=NCOM+/CONm/AOC+tNBOC

力(ZAOC+ZBOC)=|ZAOB.

【遷移應用】

1.如圖，OB,0C是NAOD內部的兩條射線，0M平分/AOB,ON平分NCOD,NM0N=80°.

(1)若NB0040°,則NA0D的度數為；

⑵若NA0D=x°,則NB0C的度數為___________.

(用含x的式子表示)

2.如圖，OE,0D分別平分NA0C和NB0C.

(1)若NA0B=90。，ZB0C=38°,求ND0E的度數;

⑵若NAOB=a,ZB0C=3(ZAOB,NBOC均為銳角，且a>B),其他條件不變，求NDOW的度數;

⑶從(1)(2)的結果中，你發現了什么規律？請寫出來.

解：(1)因為NA0B=90°,NB3C=38°

所以NA0C=/A0B+NB0C=90°+38°=128°.

因為0E,()1)分別平分NAOC知NBOC,

所以/0)￡弓/八001乂128°=64°

ZC0D=-ZB()C=-X38o=19°

22

所以ND0E=/C0E-NC()D=64°-19°=45°

(2)因為NA0B=a,ZBOC=3,

所以NAOONAOB+NBOC=a+B.

因為UE,01)方＞另lj平方＞NAOC利NBUC,

所以NCOE=1/AOC=1(a+B),

NCO嗎NBOC=1B.

所以NDOE=NCOEZ()*(a+B)T*a.

(3)ZDOE的大小是NAOB的大小的一半，與NBOC的大小無關.

例7.如圖，已知0B是/AOC的平分線,0D是NCOE的平分線，如果NA0E=140°,NBOC比NCOD的2

倍還多10°,求NAOB的度數.

快思路分析

ZCOD=ZDOE=x0,

設未知量??

NBOC=N/IOB=(2x+10)0

建立等量入

o

關系ZCOE+Z,4(9C=140

列方程》2x+4x+20=140

解:設NCOD的度數為X。.

因為0D是NCOE的平分線，

所以NC0E=2NC0D=(2x)°.

因為/BOC比NCOD的2倍還多10°,

所以NB0C=(2x+10)。.

因為0B是NAOC的平分線，

所以/AOB=NBOC,ZA0C=2ZB0C=(4x+20)°.

因為NA()E=14()°,ZAOE=ZCOE+ZA()C,

所以2x+4x+20=140,

解得x=20,

所以NAOB=NBOC=(2x+10)°=50°.

所以NAOB的度數是50°.

【遷移應用】

1.如圖，已知NA0C:NB0C=l:4,0D平分NAOB,且NC0D=33°,求NAOB的度數.

解：因為NAOC:NBOC=1:4,

所以NB0C=4NA()C.

設NAOC=x°,則NB0C=(4x)°,

所以NAOB=NA0C+NB0C=(5x)°.

因為0D平分NAOB,

所以NAOD」NAOB=(三X)。，

22

所以ZCOD=ZAOD-ZAOC=(1x)°.

又NCOD=33°,所以］:33,所以x=22,所以NAOB=5X22°=110°.

2.如圖，ZA0C:ZC0D:ZD0B=2:3:4,0M平分NAOC,ON平分NDOB,且NM0N=90°，求NAOB的度數.

解：因為NAOC:NCOD:NDOB=2:3:4,

所以設NAOC=(2x)°,ZCOD=(3x)°,ZDOB=(4:x)°,

則NA0B=N.AOC+NCOD+NDOB=(2x)0+(3x)°+(4x)°

=(9x)°.

因為OM平分NAOC,ON平分/DOB,

所以NMOC，NAOC=x°,ZN0D=^ZD0B=(2x)°,

7?

所以ZMON=ZMOC+ZCOD+ZNOD