第二十二節：典型應用題（七）行程問題一般行程問題【例1】“共享單車”既環保，又方便，已經成為人們綠色出行的重要交通工具。如圖是小亮某次行程的詳情。請認真閱讀下圖信息，解答下列問題。（1）小亮平均每分鐘騎行多少米？（2）照這樣的速度，他在一次遠騎時騎行了105分鐘，他一共騎行了多遠？（3）小亮每騎行1分鐘節約碳排量多少克？思路引導（1）根據路程÷時間＝速度，用小亮騎行的路程除以用的時間，求出小亮平均每分鐘騎行多少米；（2）他在一次遠騎時騎行了105分鐘，根據速度×時間＝路程，可以求出一共騎行了多少米；（3）已知小亮騎行11分鐘節約碳排量121克，那么小亮每騎行1分鐘，節約碳排量（121÷11）克。正確解答：（1）968÷11＝88（米）答：小亮平均每分鐘騎行88米。（2）105×88＝9240（米）答：他一共騎行了9240米。（3）121÷11＝11（克）答：小亮每騎行1分鐘節約碳排量11克。此題主要考查了行程問題中速度、時間和路程的關系：速度×時間＝路程，路程÷時間＝速度，路程÷速度＝時間?！咀兪?】1.如圖是一輛汽車與一列火車的行程圖表，根據圖示回答問題。（1）如圖（）統計圖。（2）汽車的速度是每分鐘（）千米。（3）火車停站時間是（）分鐘。（4）火車停站后時速比汽車每分鐘快（）千米。（5）汽車比火車早到（）分鐘?！敬鸢浮竣?復式折線②.0.6③.10④.⑤.5【解析】【分析】（1）如圖是復式折線統計圖。（2）根據速度＝路程÷時間，據此列式解答。（3）通過觀察統計圖可知，火車停站時間是10分鐘。（4）根據速度＝路程÷時間，求出火車的速度，然后根據求一個數比另一個多幾，用減法解答。（5）根據求一個數比另一個數少幾，用減法解答?！驹斀狻浚?）如圖是復式折線統計圖。（2）8時20分－7時55分＝25（分）15÷25＝0.6（千米/分）（3）8時10分－8時＝10（分）火車停站時間是10分鐘。（4）8時25分－8時10分＝15（分）10÷15－0.6＝＝（千米/分）（5）25－20＝5（分鐘）【點睛】復式折線統計圖的特點是能夠同時比較兩個不同項目的數據情況和增減變化。解題時注意先求要用到的時間是多少，再求速度；其次還要學會分段分析統計圖。相遇問題【例2】甲、乙兩輛汽車同時從東西兩座城市相向開出，甲車每小時行88千米，乙車每小時行80千米。兩車在距中點40千米處相遇。東西兩城相距多少千米？思路引導兩車在距中點40千米處相遇，那么甲車比乙車多行了80千米，即兩車行的路程相差是80千米，有了路程差與速度差就可以求出相遇的時間，進而根據速度和就可以求出距離。正確解答：40×2÷（88－80）＝80÷8＝10（小時）（88＋80）×10＝168×10＝1680（千米）答：東西兩城相距1680千米。解決這類問題的關鍵是先找到兩車行駛的路程差，再求出相遇的時間，進而利用“相遇路程＝速度和×相遇時間”就可以解決了?！咀兪?】2.列式計算。一輛快車和一輛慢車分別從南京和揚州兩地同時相向而行，經過小時在離中點3千米處相遇。已知快車平均每小時行75千米。①南京和揚州兩地相距多少千米？②慢車平均每小時行多少千米？【答案】①84千米；②65千米【解析】【分析】①根據題意可知，快車比慢車多行駛了3×2＝6千米，根據“路程＝速度×時間”求出快車行駛的路程，再減去6千米即可求出慢車行駛的路程，進而求出總路程即可；②用慢車的路程除以時間即可求出速度，據此解答即可。【詳解】①75×－3×2＝45－6＝39（千米）；75×＋39＝45＋39＝84（千米）；答：南京和揚州兩地相距84千米；②39÷＝65（千米）；答：慢車平均每小時行65千米?！军c睛】解答本題的關鍵是明確快車比慢車多行駛了多少千米，可畫線段圖理解。追及問題【例3】甲、乙兩名同學在周長400米的環形跑道上賽跑，己知甲的速度是每分鐘80米，乙的速度是甲的1.25倍，又知乙在甲的前面100米處，問多少分鐘后乙可以追上甲？如果他們繼續沿相同的方向跑，到第二次追上甲需多長的時間？思路引導由于乙在甲的前面100米處，所以在周長400米的環形跑道上，第一次乙追上甲時，乙比甲多走了300米，再根據“追及路程÷速度差＝追及時間”即可解決，那么第二次乙追上甲時，乙比甲多走了400米。正確解答：80×1.25＝100（米）（400－100）÷（100－80）＝300÷20＝15（分鐘）400÷（100－80）＝20（分鐘）答：15分鐘后乙可以追上甲，第二次追上甲需，2分鐘。解決這類問題的關鍵是要找到路程差，再根據“追及路程÷速度差＝追及時間”解決?！咀兪?】3.王敏和李玲每天早晨都在學校操場的環形跑道上跑步，跑道的全長是360米。如果王敏平均每秒跑6.5米，李玲平均每秒跑4.5米，而且她們從跑道的同一地點同時出發，都按逆時針方向跑，經過多少分鐘王敏正好比李玲多跑一圈？【答案】3分鐘【解析】【分析】這個是環形跑道上的追及問題，追及路程是環形跑道的周長360米，，速度差是6.5－4.5＝2（米/秒），根據路程差÷速度差求出經過的時間。【詳解】360÷（6.5－4.5）＝360÷2＝180（秒）180秒＝3分鐘答：經過3分鐘王敏正好比李玲多跑一圈。【點睛】考查了追及問題，路程差＝速度差×時間。相離問題【例4】甲乙兩地相距560千米，一輛轎車和一輛貨車從兩地間的A市背向而行開往甲乙兩地，3.5小時后，他們同時到達目的地。轎車平均每小時行了60千米，貨車每小時行多少千米？思路引導方法一：設貨車每小時行x千米，已知轎車平均每小時行了60千米，甲乙兩地相距560千米，利用數量關系：轎車的速度×時間＋貨車的速度×時間＝路程，據此列出方程，解方程即可求出貨車每小時行多少千米。方法二：首先根據路程÷時間＝速度，用兩地之間的距離除以兩車同時到達目的地用的時間，求出兩車的速度之和，然后用它減去轎車平均每小時行的路程，求出貨車每小時行多少千米。正確解答：方法一：解：設貨車每小時行x千米，x×3.5＋60×3.5＝5603.5x＋210＝56035x＝560－2103.5x＝350x＝350÷3.5x＝100答：貨車每小時行100千米。方法二：650÷3.5－60＝160－60＝100（千米）答：貨車每小時行100千米此類題可以用方程，也可以用算術方法。用方程可以化逆為順，注意方程的解題關鍵是弄清題意，把貨車的速度設為未知數x，找出題中數量間的相等關系，列出包含x的等式，解方程得到最終的結果?！咀兪?】4.小明和爺爺圍著小區中心的圓形花壇散步。花壇直徑30米，小明每秒走0.8米，爺爺每秒走0.7米。兩人同時同地出發，背向而行，多少秒后可以相遇？【答案】62.8秒【解析】【分析】根據圓的周長＝πd，求出花壇周長，用花壇周長÷速度和即可。【詳解】3.14×30÷（0.8＋0.7）＝94.2÷1.5＝62.8（秒）答：62.8秒后可以相遇。【點睛】關鍵是掌握圓的周長公式，理解速度、時間、路程之間的關系。一、選擇題。5.高速列車在行駛時，速度不是一成不變的。小琳在坐高速列車時發現：列車速度在180—260千米/時之間變動，她一共坐了14小時行程大約有（）千米。A.不到2500 B.3500 C.4000—4200 D.超過4200【答案】B【解析】【分析】已知該列車最慢的時候速度為180千米/時，最快的時候速度為260千米/時，且一共坐了14小時，根據路程＝時間×速度，分別求出最慢與最快時列車行駛的路程，然后再進一步解答即可。【詳解】最慢時行駛：180×14＝2520（千米）最快時行駛：260×14＝3640（千米）但速度是變化的，在180—260千米/時之間變動，因而她一共坐了14小時行程大約在2520千米與3640千米之間，只有B選項3500千米在這兩數之間。故答案為：B【點睛】本題考查的是路程公式的相關知識點，熟練掌握路程、時間、速度三者之間的數量關系是解題的關鍵。6.一個圓形池塘如圖，老鼠在池塘中心即圓心O處，貓在岸上點A處。現老鼠在點O沿著半徑向點B逃跑，同時，貓從點A沿著箭頭方向追。已知貓的速度5米/秒，老鼠的速度1.5米/秒，那么老鼠和貓誰會先到達點B呢？（）A.老鼠 B.貓 C.一起到達 D.無法判斷【答案】B【解析】【分析】根據圓的周長公式：C＝2πr，把數據代入公式求出圓周長的一半，也就是貓需要跑的距離，老鼠跑的距離就是圓的半徑，根據時間＝路程÷速度，分別求出各自需要的時間，然后進行比較，用時間少的先到達?！驹斀狻吭O圓形水池的半徑為r米，則：（秒）（秒）故答案為：B【點睛】本題主要考查圓的周長公式的實際應用。解答的關鍵在于明確時間、路程、速度之間的關系。7.甲、乙兩人同時從A點背向出發，沿300米的環形跑道行走，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，兩人至少經過（）分鐘才能在A點相遇。A.5 B.30 C.65 D.155【答案】B【解析】【分析】甲第一次回到A點要用300÷60＝5分鐘，以后每隔5分鐘回到A點一次；乙第一次回到A點要用300÷50＝6分鐘，以后每隔6分鐘回到A點一次；由此利用最小公倍數的意義可以得出，兩個人第一次同時回到A點就是5和6的最小公倍數。詳解】300÷60＝5（分鐘）300÷50＝6（分鐘）5與6的最小公倍數是30

所以甲、乙兩人再在A點相遇最少要用30分鐘；

故答案為：B【點睛】二人同時同地背向而行，所行駛的路程相等，那么再次在起點A相遇的時間，就是甲乙每走一圈所用的時間的最小公倍數。二、填空題。8.客車和貨車的速度比是10∶9，客車和貨車分別從甲、乙兩地同時出發，相向而行，經過3小時相遇。如果甲、乙兩地的公路長570千米，客車的速度是（）千米/時，貨車的速度是（）千米/時?！敬鸢浮竣?100②.90【解析】【分析】根據速度和＝路程和÷相遇時間，用570÷3即可求出客車和貨車的速度和，已知客車和貨車的速度比是10∶9，則把客車的速度看作10份，貨車的速度看作9份，用速度和除以（10＋9）即可求出每份是多少，進而求出10份和9份，也就是客車和貨車的速度?！驹斀狻?70÷3＝190（千米/時）190÷（10＋9）＝190÷19＝10（千米/時）10×10＝100（千米/時）10×9＝90（千米/時）客車的速度是100千米/時，貨車的速度是90千米/時?！军c睛】本題考查了相遇問題和按比分配問題，關鍵是熟記公式以及求出每份的量是多少。9.圖是甲、乙兩車行駛的關系圖，請根據題意回答問題。（1）相遇時，甲車比乙車少行（）千米。（2）甲車與乙車的速度比是（）。【答案】（1）60（2）1∶2【解析】【分析】（1）根據圖可知，甲車行駛了120－60＝60千米；乙車行駛了120千米，用乙車行駛的路程－甲車行駛的路程，即可求出甲車比乙車少行多少千米；（2）根據速度＝路程÷時間，分別求出甲車行駛的速度和乙車行駛的速度，再根據比的意義，用甲車行駛的速度∶乙車行駛的速度，化簡即可?！拘?詳解】120－（120－60）＝120－60＝60（千米）相遇時，甲車比乙車少行60千米?！拘?詳解】甲車速度：（120－60）÷80＝60÷80＝（千米/分）乙車速度：120÷80＝（千米/分）∶＝（×4）∶（×4）＝3∶6＝（3÷3）∶（6÷3）＝1∶2甲車與乙車的速度比是1∶2?！军c睛】本題考查復式折線統計圖的應用，利用統計圖提供的信息，解答相關的問題。10.一天，小明去上學，他剛走不久，媽媽發現他忘記帶數學書，于是就去追小明。先觀察如圖所示，再回答以下問題。（1）媽媽出發時，小明已經走了（）米，他的速度是（）米分鐘。（2）媽媽行走的路程和時間成（）比例。（填“正”或“反”）（3）照這樣的速度，媽媽出發（）分鐘后可以追上小明?！敬鸢浮浚?）①.300②.50（2）正（3）12【解析】【分析】（1）根據折線統計圖可知，小明媽媽是在小明出發6分鐘后開始出發的，此時小明了300米；根據路程÷速度＝時間，據此進行計算即可；（2）若兩個相關聯的量的乘積一定，則它們成反比例；若這兩個量的比值一定，則它們成正比例；（3）小明和媽媽相差300米的路程，根據追及時間＝追及路程÷速度差，據此計算即可?！拘?詳解】300÷6＝50（米分鐘）則媽媽出發時，小明已經走了300米，他的速度是50米分鐘?！拘?詳解】因為媽媽行走的速度一定，所以路程和時間成正比例。【小問3詳解】300÷（10－6）＝300÷4＝75（米/分鐘）300÷（75－50）＝300÷25＝12（分鐘）則照這樣的速度，媽媽出發12分鐘后可以追上小明。【點睛】本題考查正反比例的判定，明確正反比例的定義是解題的關鍵。三、解答題。11.根據甲、乙兩車的行程圖解決問題。（1）甲車每時行駛（）千米。（2）甲、乙兩車速度的最簡整數比是（）。（3）甲、乙兩車在8：00從同一地點出發，同向而行時后，兩車相距多少千米？【答案】（1）90（2）6∶5（3）10千米【解析】【分析】（1）根據速度＝路程÷時間，列式解答；（2）首先求出乙車的速度，再根據比的意義作答；（3）首先求出甲、乙兩車的速度差，再根據路程＝速度×時間，列式解答?！驹斀狻浚?）9時40分－8時＝1時40分1時40分＝時150÷＝＝90（千米/時）（2）10時－8時＝2時150÷2＝75（千米/時）90∶75＝6∶5（3）（90－75）×＝＝10（千米）答：兩車相距10千米【點睛】此題考查的目的是理解掌握復式折線統計圖的特點及作用，并且根據統計圖提供的信息，再根據路程、速度、時間三者之間的關系，以及比的意義來解決問題。12.兩列動車在雙軌鐵路上相向而行，一列長100米，速度為160千米/小時；另一列動車長200米，速度為200千米/小時；兩列動車從車頭相遇到車尾脫離，一共需要幾秒鐘？（1）本題中火車相向而行，可以看作是（）問題。（2）這個問題中，總路程是（）米；速度和是（）米/秒（注意單位哦）。（3）一共要幾秒？【答案】（1）相遇；（2）300；100；（3）3秒【解析】【分析】（1）根據題意，屬于兩列車相向而行有相遇的情況，屬于相遇問題；（2）兩列動車從車頭相遇到車尾脫離，兩列車所走的路程就是兩列車的車身總長；根據：1小時＝3600秒，1千米＝1000米；再根據：路程÷時間＝速度，計算出速度即可；（3）根據：相遇時間＝兩地距離÷速度和，計算出結果即可?！驹斀狻浚?）本題中火車相向而行，可以看作是（相遇）問題。（2）100＋200＝300（米）一列火車1小時走160千米，160千米＝160000米；另一列車1小時走200千米，200千米＝200000米（160000＋200000）÷3600＝360000÷3600＝100（米/秒）這個問題中，總路程是（300）米；速度和是（100）米/秒。（3）300÷100＝3（秒）答：一共要3秒。【點睛】此題考查了相遇問題的應用，關鍵熟記單位進率以及計算公式。13.小紅和媽媽在400米環形跑道上的同一起點處跑步，為了體現公平，媽媽讓小紅先跑8秒然后才去追她，結果又用了20秒才第一次追上她。已知媽媽的平均速度是7米/秒，小紅的平均速度是多少米/秒？【答案】5米/秒【解析】【分析】根據題意，媽媽跑了20秒，媽媽的平均速度是7米/秒，用7×20，求出媽媽跑的路程；小紅跑了8＋20秒，小紅跑的路程和媽媽跑的路程一樣長，設：小紅的平均速度是x米/秒；小紅跑的路程是（20＋8）×x米；媽媽跑的路程是7×20米；列方程：（20＋8）×x＝7×20，解方程，即可解答?！驹斀狻拷猓涸O小紅的平均速度是x米/秒。（20＋8）×x＝7×2028x＝140x＝140÷28x＝5答：小紅的平均速度是5米/秒?！军c睛】根據方程的實際應用，根據媽媽和小紅跑的路程相同，利用速度、時間和路程三者的關系，設出未知數，列方程，解方程。14.（如圖）環湖公路一周長度是2400米，淘氣和笑笑同時從起點出發，_____________________________，淘氣每分鐘跑180米，笑笑每分鐘跑120米，幾分鐘后淘氣和笑笑相遇？（下面兩個問題任選其一列方程解答）（1）如果兩人相背而行幾分鐘相遇？（2）如果兩人同向而行幾分鐘相遇？【答案】選擇（1）；8分鐘【解析】【分析】選擇（1）如果兩人相背而行幾分鐘相遇？假設x分鐘后淘氣和笑笑相遇，根據相遇公式：速度和×相遇時間＝路程，速度和＝180＋120，代入未知數，列出方程，解方程即可得解。【詳解】解：設x分鐘后淘氣和笑笑相遇。（180＋120）×x＝2400300x＝2400x＝2400÷300x＝8答：8分鐘后淘氣和笑笑相遇?！军c睛】本題主要考查行程問題，關鍵是利用路程、速度和時間之間的關系，列出方程，解決問題，注意跑的方向。15.休息日弟弟和媽媽從家里出發一同去外婆家，他們走了1小時后，哥哥發現帶給外婆的禮品忘在家里，便立刻帶上禮品以每小時6千米的速度去追，如果弟弟和媽媽每小時行2千米，他們從家里到外婆家需要1小時45分鐘，問哥哥能在弟弟和媽媽到外婆家之前追上他們嗎？【答案】能【解析】【分析】由題意可知，設需要x小時能追上，則哥哥走的路程為6x，弟弟和媽媽走的路程為2x+2×1，根據等量關系為：哥哥所走的路程=小明和媽媽所走的路程，由此列出方程即可?！驹斀狻拷猓涸O哥哥追上弟弟他們需要x小時。6x=2x+2x＝0.56×0.5＝3千米1小時45分＝1.75小時實際家里距外婆家：1.75×2＝3.5千米＞3千米，答：哥哥能在到達外婆家之前追上弟弟他們?！军c睛】本題考查了方程的應用，難點是得到弟弟和媽媽所用的時間，關鍵是找到相應的等量關系。16.小軍和小虎在學校操場的環形跑道上跑步，跑道一圈長400米，已知小軍每秒跑6米。（1）如果他們同時從跑道的同地點出發向相反的方向跑，經過40秒第一次相遇，小虎平均每秒跑多少米？（用方程解）（2）如果他們同時從跑道的同地點出發同向而行，幾秒后他們第一次相遇？（在（1）題的基礎上完成）（用方程解）（3）如果小虎先跑10秒，小軍向同方向追小虎，幾秒才追上小虎？（在（1）題的基礎上完成）（選擇適當的方法）【答案】（1）4米；（2）200秒；（3）20秒【解析】【分析】（1）把小虎的跑步速度設為未知數，等量關系式：（小虎的跑步速度＋小軍的跑步速度）×相遇時間＝總路程；（2）由（1）可知小軍的跑步速度大于小虎的跑步速度，兩人同地點出發同向而行，第一次相遇時小軍比小虎多跑一整圈，等量關系式：（小軍的跑步速度－小虎的跑步速度）×相遇時間＝小軍比小虎多跑的路程；（3）小虎先跑10秒，小軍向同方向追小虎，則小虎和小軍的路程差為小虎跑10秒的路程，利用“追及時間＝路程差÷速度差”即可求得?！驹斀狻浚?）解：設小虎平均每秒跑x米。（6＋x）×40＝4006＋x＝400÷406＋x＝10x＝10－6x＝4答：小虎平均每秒跑4米。（2）解：設x秒后他們第一次相遇。（6－4）x＝4002x＝400x＝400÷2x＝200答：200秒后他們第一次相遇。（3）（4×10）÷（6－4）＝40÷2＝20（秒）答：20秒才追上小虎?！军c睛】熟練掌握相遇問題和追及問題的計算公式是解答題目的關鍵。17.如圖：父子兩人同時從A點出發，沿長方形ABCD的操場背向而行，兒子的速度是父親的，不久，兩人在距C點12米的E處相遇，求長方形操場的周長?！敬鸢浮?00米【解析】【分析】由題意可知，兒子的速度∶父親的速度＝11∶14，時間相同時，路程比等于速度比，則兒子行駛的路程∶父親行駛的路程＝11∶14，相遇時父親比兒子多行駛（12×2）米，最后根據“量÷對應的分率”求出操場的周長，據此解答?！驹斀狻?2×2÷（－）＝12×2÷＝24÷＝200（米）答：長方形操場的周長是200米?！军c睛】本題主要考查分數除法的應用，求出量和對應的分率是解答題目的關鍵。18.甲、乙同時從A地出發，背向而行，分別前往B、C兩地。已知甲、乙兩人每小時共行駛96千米。甲、乙的速度比是9∶7，兩人恰好分別同時到達B、C兩地，乙立即用原速度返回，當乙行了40分鐘后，甲在B地得到通知，要求立即返回并且要與乙同時到達A地。甲返回時把原速度提高了20%，這樣兩人同時到達A地。問：B、C之間的距離是多少千米？【答案】384千米【解析】【分析】根據甲、乙的速度和以及速度比，先分別求出甲乙兩人的原速度。將甲的原速度乘（1＋20%），求出他返回時的速度。因為返回時，甲晚出發40分鐘，又要求同時到達A地，所以可以用落下的距離除以先后的速度差，求出乙返回花的時間。乙前后的速度不變，所以最后可利用乘法，求出B、C之間的距離?！驹斀狻考自瓉硭俣葹椋骸?6＝×96＝54（千米/時）返回時甲的速度為：54×（1＋20%）＝54×1.2＝648（千米/時）乙原來速度為：×96＝×96＝42（千米/時）乙返回A地用時：64.8×÷（64.8－54）＝64.8×÷10.8＝4（小時）B、C間的距離：96×4＝384（千米）答：B、C之間的距離是384千米。【點睛】本題考查了行程問題和比的應用，解題關鍵是求出甲、乙先后的速度，并根據返回時的速度差，求出乙返回花的時間。19.甲、乙兩人合作為400米的環形花壇鋪設草坪，兩人同