專題8.5空間直線、平面的平行【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1證明線線平行】 3【題型2直線與平面平行的判定】 4【題型3平面與平面平行的判定】 5【題型4由線面平行的性質判定線線平行】 7【題型5由線面平行的性質判斷線段比例或點所在的位置】 9【題型6由線面平行求線段長度】 10【題型7面面平行性質定理的應用】 11【題型8平行問題的綜合應用】 13【知識點1空間中的平行關系】1.直線與直線平行(1)基本事實4

①自然語言：平行于同一條直線的兩條直線平行.

②符號語言：a,b,c是三條不同的直線，若a∥b，b∥c，則a∥c.

③作用：判斷或證明空間中兩條直線平行.(2)空間等角定理

①自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

②符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.2.直線與平面平行(1)判定定理①自然語言如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.(2)性質定理①自然語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.(3)性質定理的作用①作為證明線線平行的依據.當證明線線平行時，可以證明其中一條直線平行于一個平面，另一條直線是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據.如果一條直線平行于一個平面，要在平面內畫一條直線與已知直線平行，可以過已知直線作一個平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.3.平面與平面平行(1)判定定理①自然語言如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.②圖形語言③符號語售.該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.(2)判定定理的推論①自然語言如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面平行.②圖形語言③符號語言.(3)性質定理①自然語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.(4)兩個平面平行的其他性質①兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線都平行于另一個平面.

②平行直線被兩個平行平面所截的線段長度相等.

③經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

④兩條直線同時被三個平行平面所截，截得的線段對應成比例.

⑤如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.【題型1證明線線平行】【例1】（2023下·全國·高一專題練習）下列結論中正確的是（

）①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線a，b，c，d，如果a//b，c//d，且a//d，那么b//c.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③【變式11】（2023下·全國·高一專題練習）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是側面AA1D1D，側面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點，則直線EF與直線GH的位置關系是（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直【變式12】（2023·上海·高二專題練習）下列命題中，正確的結論有(

)①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補；④如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式13】（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，在長方體AC1中，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【題型2直線與平面平行的判定】【例2】（2023下·湖北黃岡·高一?？茧A段練習）如圖，在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式21】（2023·全國·模擬預測）已知三棱柱ABC?A1B1C1中，D，①直線BC1∥平面A1DC；

③直線A1D∥平面B1EC；

其中正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式22】（2023下·北京房山·高一校考階段練習）如圖甲，在梯形ABCD中，AB//CD，CD＝2AB，E、F分別為AD、CD的中點，以AF為折痕把△ADF折起，使點D不落在平面①AF//平面BCD；②BE//平面CDF；③CD//平面BEF．A．0 B．1 C．2 D．3【變式23】（2023·河南新鄉·統考二模）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【題型3平面與平面平行的判定】【例3】（2023下·全國·高三校聯考階段練習）給出下列4個命題，其中正確的命題是（

）①垂直于同一直線的兩個平面平行；②垂直于同一平面的兩個平面平行；③平行于同一直線的兩個平面平行；④平行于同一平面的兩個平面平行.A．①② B．③④ C．②③ D．①④【變式31】（2023·四川遂寧·四川?？寄M預測）在正方體ABCD?A1B①AD②平面AB1D③AD④AD1//A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【變式32】（2023下·江西·高一贛州市第四中學?？计谀┰谡襟wABCD?A′BA．BDC′與B′D′C．B′D′D與BDA【變式33】（2023下·全國·高一專題練習）如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．其中正確的有（）A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③【知識點2平行關系的相互轉化及綜合應用】1.平行關系的相互轉化及綜合應用(1)證明線線平行的常用方法

①利用線線平行的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線是平行直線.

②利用基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

③利用三角形的中位線定理：三角形的中位線平行且等于底邊的一半.

④利用平行線分線段成比例定理.

⑤利用線面平行的性質定理.

⑥利用面面平行的性質定理.

⑦利用反證法：假設兩條直線不平行，然后推出矛盾，進而得出兩條直線是平行的.(2)證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點.

②利用直線與平面平行的判定定理：a，a∥b，b，則a∥.使用定理時，一定要說明“平面外一條直線與此平面內的一條直線平行”，若不注明，則證明過程不完整.因此，要證明a∥，則必須在平面內找一條直線b，使得a∥b，從而達到證明的目的，這三個條件缺一不可.

③利用面面平行的性質：若平面∥平面，直線a，則a∥.

④利用反證法.這時“平行”的否定有“在平面內”和“與平面相交”兩種，只有在排除“直線在平面內”和“直線與平面相交”這兩種位置關系后才能得到“直線與平面平行”的結論，在這一點上往往容易出錯，應引起重視.(3)平面與平面平行的判定方法

①根據定義：證明兩個平面沒有公共點，但有時直接證明非常困難.

②根據判定定理：要證明兩個平面平行，只需在其中一個平面內找兩條相交直線，分別證明它們平行于另一個平面，則這兩個平面平行.

③根據判定定理的推論：在一個平面內找到兩條相交的直線分別與另一個平面內兩條相交的直線平行，則這兩個平面平行.

④根據平面平行的傳遞性：若兩個平面都平行于第三個平面，則這兩個平面平行.

⑤利用反證法.(4)平行關系的相互轉化常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種關系不是孤立的，而是相互聯系、相互轉化的，如圖所示.【題型4由線面平行的性質判定線線平行】【例4】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD//BC，AD=2BC=2AB=4，PA=2，且∠ABC=60°，點E為棱PD上一點（不與P,D重合），平面BCE交棱求證：BC//【變式41】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，點D、E分別為棱A1C1、B1【變式42】（2023上·江蘇連云港·高三統考期中）如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，平面ABFE與平面CDEF的交線為EF.(1)證明：EF∥(2)若平面FBC⊥平面ABCD，H為BC的中點，FH=2，FC=2.5，EF=1.5，求該幾何體的體積.【變式43】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于HG，求證：AP//HG．【題型5\o"由線面平行的性質判斷線段比例或點所在的位置"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168438/_blank"由線面平行的性質判斷線段比例或點所在的位置】【例5】（2023下·全國·高一專題練習）如圖，在三棱錐P?ABC中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足AD∥平面PEF，則AFFC的值為（

A．1 B．2 C．12 D．【變式51】（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是菱形，AC交BD于點O，E為AD的中點，F在PA上，AP=λAF，PC∥平面BEF，則λ的值為（

）A．1 B．32 C．3 【變式52】（2023下·河南洛陽·高一統考期中）如圖，已知圓錐的頂點為S，AB為底面圓的直徑，點M，C為底面圓周上的點，并將弧AB三等分，過AC作平面α，使SB//α，設α與SM交于點N，則SNSMA．13 B．12 C．23【變式53】（2022·高一課時練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，點M在線段PC上，PM=tMC，若PA//平面MQB，則t等于（A．12 B．13 C．14【題型6\o"由線面平行求線段長度"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168438/_blank"由線面平行求線段長度】【例6】（2023·全國·高一專題練習）已知正方體AC1的棱長為1，點P是平面AA1D1D的中心，點Q是平面A1B1CA．12 B．22 C．2 【變式61】（2023·全國·高一專題練習）已知直三棱柱ABC?A1B1C1的側棱和底面邊長均為1，M，N分別是棱BC，A1B1上的點，且A．34 B．23 C．12【變式62】（2023下·天津武清·高一?？茧A段練習）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E、F分別是棱BC，CC1的中點，P是側面A．2,52 B．324,【變式63】（2023·全國·高一專題練習）如圖，直三棱柱ABC?A′B′C′中，ΔABC為邊長為2的等邊三角形，AA′=4，點E、F、G、H、M分別是邊AA′、AB、BB′、A′B′、A．4 B．23 C．2π D．【題型7面面平行性質定理的應用】【例7】（2023·高一課時練習）如圖，已知平面α//平面β，點P為α，β外一點，直線PB，PD分別與α，β相交于A，B和C，D，則AC與BD的位置關系為（

A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面【變式71】（2023下·高一課時練習）如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F分別在線段DB，DD1上，DEEB=1

A．12 B．13 C．23【變式72】（2023下·江蘇無錫·高一錫東高中?？计谥校┤鐖D，在多面體ABC?DEFG中，平面ABC//平面DEFG,EF//DG，且AB=DE,DG=2EF，則()A．BF//平面ACGD B．CF//平面ABEDC．BC//FG D．平面ABED//平面CGF【變式73】（2023·全國·高一專題練習）如圖，平面α/平面β，A，C是α內不同的兩點，B，D是內不同的兩點，E，F分別是線段AB，CD的中點，則下列所有正確判斷的編號是（

①當AB，CD共面時，直線AC//BD②當AB=2CD時，E，③當AB，CD是異面直線時，直線EF一定與α平行④可能存在直線EF與α垂直A．①③ B．②④ C．①② D．③④【題型8平行問題的綜合應用】【例8】（2023下·全國·高一期中）如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M,N分別是AB,PC的中點.

(1)求證：MN//平面PAD(2)設平面PBC∩平面PAD=