第一章直角三角形的邊角關(guān)系5三角函數(shù)的應(yīng)用

1.

方位角：是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的

大于或等于0度且小于或等于90度的角.通常表達(dá)成北

（南）偏東（西）××度，若正好為45度，則表示為東

北（或東南、西北、西南）方向；若正好為0度，則表

示正南（北）方向；若正好為90度，則表示正西（東）

方向.如下圖：①OA方向可表示為

?；②OB方向可表示為

?；③OC方向可表示為

?；④OD方向可表示為

?.北偏東60°

南偏東45°（或東南方向）

正東方向

南偏西20°

2.

構(gòu)造直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即畫(huà)出平面圖形，

再轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題；（2）根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)解

直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的.

題型一

與三角函數(shù)有關(guān)的方位角問(wèn)題

五一假期期間，小明和小亮相約去游樂(lè)場(chǎng)游玩，經(jīng)勘測(cè)，激流勇進(jìn)項(xiàng)目B

在游樂(lè)場(chǎng)大門(mén)A

的南偏東30°方向400米處方向，過(guò)山車(chē)項(xiàng)目C

在游樂(lè)場(chǎng)大門(mén)A

的北偏東45°方向，摩天輪項(xiàng)目D

在激流勇進(jìn)項(xiàng)目B

的正東方

向，在過(guò)山車(chē)項(xiàng)目C

的南偏東31°方向.（1）求游樂(lè)場(chǎng)大門(mén)A

與過(guò)山車(chē)項(xiàng)目C

的距離（結(jié)果保

留根號(hào)）；解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.由題意，得∠ACE＝45°，∠ABC＝30°，AB＝400米.在Rt△ABE中，AE＝AB·sin∠ABE＝400·sin

30°＝200（米）.

跟蹤訓(xùn)練1.

如圖，在A島周?chē)?0海里水域有暗礁，一艘輪船由西

向東航行到O處時(shí)，發(fā)現(xiàn)A島在北偏東64°的方向且與

輪船相距52海里.若該輪船不改變航向，為航行安全，

需要計(jì)算A到OB的距離AC.

下列算法正確的是

（A

）A.

AC＝52cos

64°B.

AC＝

C.

AC＝52sin

64°D.

AC＝52tan

64°（第1題）A2.

如圖，海中有個(gè)小島A，一艘輪船由西向東航行，在

點(diǎn)B處測(cè)得小島A位于它的東北方向，此時(shí)輪船與小島

相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測(cè)得小島A在它的北

偏西60°方向，此時(shí)輪船與小島的距離AD為

?

海里.（第2題）

（答案圖）（2）點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取

水，可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D.

請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明她走哪一條路較近？

題型二

三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

解：如答案圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥ON，垂足為D，過(guò)點(diǎn)B

作BE⊥ON，垂足為E.

（答案圖）由題意，得AM＝DN＝1

m，AO＝BO＝3.2

m，在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，∴AD＝AO·sin

30°＝1.6（m），OD＝AO·cos

30°≈2.8（m）.（答案圖）在Rt△OBE中，∠BOE＝60°，

∴EN＝OD＋DN－OE≈2.8＋1－1.6＝2.2（m），∴座板距地面的最大高度約為2.2