第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省青島市青島第九中學高一下學期期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數z滿足2z+z=21+iA.?1+13i B.13?i2.已知a，b是兩條不同的直線，α為一個平面，a?α，則“b//α”是“a，b無公共點”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖的平面直角坐標系xOy中，線段AB長度為2，且∠ABO=60°，按“斜二測”畫法水平放置的平面上畫出為A′B′，則AA.4 B.7?264 C.7+24.如圖，已知直角梯形ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AB=2AD=2CD=2，點F是CD中點，點E是線段BC靠近B點的三等分點，則AF?A.56 B.76 C.545.已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，側面展開圖是半個圓環，則圓臺的表面積為(

)A.6π B.16π C.26π6.已知平面向量a,b滿足a=b=1，且向量a在向量b上的投影向量為12A.25 B.23 C.7.筒車亦稱為“水轉筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史.如圖，假設在水流量穩定的情況下，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向做每6分鐘轉一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心O距離水面BC的高度為1.5米，設筒車上的某個盛水筒P的初始位置為點D(水面與筒車右側的交點)，從此處開始計時，下列結論錯誤的是(

)

A.t分鐘時，以射線OA為始邊，OP為終邊的角為π3t?π6

B.t分鐘時，該盛水筒距水面距離為sinπ3t?π6+32米

C.1分鐘時該盛水筒距水面距離與38.米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉、糧棧、米行等的用具，有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征，帶有濃郁的民間文化韻味．某居民家中收藏了一個木質的米斗，如圖所示，該米斗的容積為1斗，其形狀可近似看成一個正四棱臺，且該正四棱臺的下底面邊長是上底面邊長的2倍，若該米斗中剛好裝了半斗米(米均勻分布在米斗中)，則該米斗中米的深度與米斗高度的比值為(

)

A.392?1 B.372?1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.要得到函數y=sin2x+π3的圖象，只要將函數y=A.每一點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得圖象向左平移π3個單位長度

B.每一點的橫坐標縮短到原來的12(縱坐標不變)，再將所得圖象向左平移π6個單位長度

C.向左平移π3個單位長度，再將所得圖象每一點的橫坐標縮短到原來的12(縱坐標不變)

10.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別是AD，DD1A.不存在點P，使得FP//平面ABC1D1

B.過B，E，F三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形

C.三棱錐C1?A11.窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列說法正確的是(

)

A.若函數f(x)=AD?xAB，則函數f(x)的最小值為2+2

B.PA?PB的最大值為12+82

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知e1→,e2→是兩個不共線的單位向量，a?=e113.復平面上兩個點Z1，Z2分別對應兩個復數z1，z2，它們滿足下列兩個條件：①z2=z1?3i；②兩點Z14.在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知?ABC的外接圓的半徑為1，且cbcosC+c2b2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知向量a,b滿足(1)若a?b=3，求向量a(2)若a+b=3.求16.(本小題15分)在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c=1，asinA?(1)求?ABC(2)若?ABC為銳角三角形，求?ABC17.(本小題15分)如圖，在?ABC中，AE=EB,?CD=2DB，點(1)若BO=xa+y(2)若F在AC上，OF⊥AC，且a=2b18.(本小題17分)如圖已知四棱錐S?ABCD，底面ABCD為梯形，AD/\!/BC，SA=AB=BC=2，AD=3，P、Q為側棱SD上的點，且DP:PQ:QS=3:2:

(1)求證：CP//平面SAB(2)求證：平面BMQ//平面ACP(3)平面BMQ與側棱SC相交于點E，求SEEC的值．19.(本小題17分)如圖，某運動員從A市出發沿海岸一條筆直公路以每小時15km的速度向東進行長跑訓練，長跑開始時，在A市南偏東方向距A市75km，且與海岸距離為45km的海上B處有一艘劃艇與運動員同時出發，要追上這位運動員．(1)劃艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運動員？(2)求劃艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB所成的角．(3)若劃艇每小時最快行駛11.25km，劃艇全速行駛，應沿何種路線行駛才能盡快追上這名運動員，最快需多長時間？

參考答案1.B

2.A

3.C

4.B

5.C

6.C

7.B

8.A

9.BC

10.BD

11.AB

12.2

13.214.3915.解：(1)由|a|=2,|b因此cos?a,a?b所以向量a與a?b的夾角為(2)由|a+b|=3，得a所以|a

16.解：(1)由asinA?sin故a2+b2由余弦定理得cos由于C∈0,πsinC=32，根據所以?ABC的外接圓半徑為(2)由(1)知，C=π3，B+A=2π由正弦定理有csin所以b+a==2因為?ABC為銳角三角形，所以0<B<所以B+π6∈所以3<b+a所以?ABC周長的取值范圍為1+

17.解：(1)由題意，因為AE=EB,設EO=λ則BO?BE=λBO?BA=μ所以1?λ2=1?μλ=13所以x=2(2)由(1)可知，EO=15設CF=kCA，a與b的夾角為θ，其中則OF=4而AC=因為OF⊥AC，所以即25因為a=2b=10解得cosθ=因為θ∈0,π，所以cosθ∈所以CFCA的取值范圍是0,

18.解：(1)連接MP，在?SAD中，∵SMSA=2又AD/\!/BC，BC=2，且MP=BC，∴四邊形MPCB為平行四邊形，，又BM?平面SAB，CP?平面所以CP//平面SAB(2)由(1)得，又BM?平面BMQ，CP?平面BMQ∴CP//平面在?SAD中，∵DP:又MQ?平面BMQ，AP?平面BMQ，∴AP又因AP∩CP=P且AP,CP均在平面∴平面ACP//平面BMQ(3)由(1)知，又CP?面SCD，BM?面SCD，∴BM//又BM?平面BMQ，面BMQ∩面，又，，∴SEEC=SQ

19.解：(1)設劃艇以vkm/?的速度從B處出發，沿BC方向，t?后與運動員在C處相遇，過B作AC的垂線BD，則BD=45，AD=60，在ΔABC中，AB=75，AC=15t，BC=vt，則sin∠BAC=BDAB由余弦定理，得BC得v2整理得：v2當1t=425，即t=254時，所以劃艇至少以9km/?的速度行駛才能把追上這位運動員．(2)當v=9km/?時，在ΔABC中，AB=75，AC=15×254由余弦定理，得cos∠ABC=所以∠ABC=90所以劃艇以最小速度行駛時的行駛方