基本不等式基礎練習題

1.若兩個正實數x,y滿足2占1,則x+2y的最小值是.

xy

2.已知x>0,y>0,且工)二1，則2x+3y的最小值為.

xy

3.設a>0,b>0.若也是2,與2b的等比中項，則[」的最小值為_____________.

ab

4.若兩正數a,c滿足a+2c+2ac=8,則ac的最大值為.

5.已知x>2,則―L_+x的最小值為.

x-2

6.已知x￡(0,3),則函數丫二工十一^一的最小值為_____________.

x3-x

7.已知實數x,y滿足x?+y2+xy=1,則x+2y的最大值為.

8.已知x,yER*,且xy?=8,貝|4x+y的最小值為.

9.若實數x,y滿足xy=1,則x?+2y2的最小值為.

10.若正數x,y滿足2x+y-3=0,則小X的最小值為.

xy

11.已知f(x)=log2(x-2),若實數m,n滿足f(m)+f(2n)=3,則m+n的最小值是.

12.已知a,b都是正實數，函數y=2ae"b的圖象過點(0,1),則2」的最小值是_____________.

ab

13.已知正數x,y滿足x+2y二2,則的最小值為.

xy

22

14.已知a>b>0,ab=1,則且二且的最小值為_____________.

a-b

15.設x、y均為正實數，且1+1則xy的最小值為_____________.

2+x2+y3

16,已知x>0,y>0,x+2y十2xy=8,則x+2y的最小值是.

17.已知x,y￡R?且工■&1，則xy的最小值是.

xy

18.已知正實數x,y滿足xy+2x+y=4,則x+y的最小值為.

19.已知Iog2x+log2y=1,則x+y的最小值為.

20.已知正實數x,y滿足(x-1)(y+1)=16,則x+y的最小值為.

21.已知x,y￡R,且x+2y=1,則2、+4’的最小值是.

22.己知x>0,y>0,且x+y+2+[=5,則x+y的最大值是.

xy

23.若正數x,y滿足x+3y=5xy,則x+y的最小值為.

24.已知a,b,c,d￡R,且a?+b2=2,c2+d2=2,則ac+bd的最大值為.

25.已知x>0,y>0,且x+2y=xy,則log4(x+2y)的最小值是.

26.在等比數列｛aj中，若S7n4,正數a,b滿足a+b二①，則ab的最大值為.

27.已知函數f(x)=2x-,+1過定點A,且點A在直線I:mx+ny=1(m>0,n>0)上，則』」的

in2n

最小值是.

28.實數x、y滿足/+/=4,則x+y-xy的最大值為.

29.已知直線ax+by=1經過點(1,2),則28+4b的取值范圍是.

30.已知正數a,b,c滿足a+b=ab,a+b+c=abc,則c的取值范圍是.

參考答案與試題解析

一.填空題(共30小題)

1.(2015?資陽模擬)若兩個正實數x,y滿足上」=1,則x+2y的最小值是3

xy

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：根據2可得x+2y=(x+2y)(2J),然后展開，利用基本不等式可求出最值，注意等

xyxy

號成立的條件.

解答：解：???兩個正實數x,y滿足2」=1，

xy____

Ax+2y=(x+2y)(2J)=4+國點4+2叵二=8,當且僅當&二時取等號即x=4,y=2,

xyxyVxjxy

故x+2y的最小值是8.

故答案為:8.

點評：本題主要考查了基本不等式的應用，解題的關鍵是“1”的活用，同時考兗了運算求解的能力，

屬于基礎題.

2.(2013?東莞二模)已知x>(),y>0,且工/二1，則2x+3y的最小值為_29+6&_.

xy

考點:基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：把工J二1代入可得，2x+3y=(2x+3y)(2=攵」^+29,由基本不等式可得答案.

xyxyxy

解答：解：由題意可得2x+3y=(2x+3y)(2J)

_______xy

318x

=y4-29>2Jjy,1^4-29=29+6^6

x+yVxy

當且僅當色^=^,即y二里亞時取等號，

xy549

故2x+3y的最小值為：29+6加

故答案為：29+6-石

點評：本題考查基本不等式的應用，把工△二1代入原式構造可利用基本不等式的情形是解決問題的

xy

關鍵，屬基礎題.

3.(2015?中山市二模)設a>0,b>0.若就是2a與2b的等比中項，則上」的最小值為一

ab

考點:基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：利用等比中項的性質、“乘1法”與基本不等式的性質即可得出.

解答：

解：由題意知(J5)2二2a?2b=a+b=1，

Xa>0,b>0,

???(￡=(1+1)(a+b)=1+：4+1>2正彳二小當且僅當a=b=號時取等號.

的最小值為4.

ab

故答案為：4.

點評：本題考杳了等比中項的性質、“乘1法”與基本不等式的性質，屬于基礎題.

4.（2015?德陽模擬）若兩正數a,c滿足a+2c+2ac=8,則ac的最大值為，

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：兩正數a,c滿足a+2c+2ac=8,利用基本不等式的性質可得8>2ac+2點￡,化為

（優）2+缶心-440,解出即可?

解答:解：;兩正數a,c滿足a+2c+2ac=8,

8〉2ac+2y2rc,

化為（掠）2+加4一440，

:.（Vac-V2）（Vac+2Vac）<0,

解得

/.ac<2?

當且僅當a=2c=2取等號.

Jac的最大值為2.

故答案為:2.

點評：本題考查了基本不等式的性質、一元二次不等式的解法，屬于基礎題.

5.（2015?恩施州一模）已知x>2,則一L+x的最小值為4.

x-2

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：變形利用基本不等式的性質即可得出.

解答：解：?.\>2,

一(x-2)+2>2+Z/(x-2)-^^=4,當且僅當x=3時取等號.

x-2x-2-yx-2

故答案為：4.

點評：本題考查了基本不等式的性質，屬于基礎題.

6.（2015?金家莊區模擬）已知XW（0,3）,則函數y」+'_的最小值為二

考占.基本不等式.

專題:函數的性質及應用.

分析:

利用￡+式》（/八），當且僅當理士時取等號，x,y,m,n都為正數.

解：Vxe(0,

2

，函數y—+-”）-3,當且僅當■!」-,即x=l時取等號.

x3-xx+3-xx3-x

???函數y=1+二_的最小值為3.

x3-x

故答案為：3.

點評：本題考查了變形利用基本不等式的性質，屬于基礎題.

7.（2015?杭州一模）己知實數x,y滿足x2+y2+xy=l,則x+2y的最大值為，

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：x+2y=m,則x=m-2y代入x?+y2+xy=l,可得3y?-Smy+m?-1=0,利用4K）,解出即可.

解答：解：設x+2y=m,則x=m-2y代入x2+y2+xy=1,可得3y2-3my+m2-1=0,

/.△=9m2-12（m2-1）>0,

解得-2<m<2,

???x+2y的最大值為2.

故答案為：2.

點評：本題考查了一元二次方程的實數根與判別式的關系、一元二次不等式的解法，屬于基礎題.

8.（2015?衡陽模擬）已知x,yWR+,且xy?=8,則4X+Y的最小值為6.

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：利用基本不等式的性質即可得出.

解答：文

解：Vxy2=8,.*.x=~

y2

Vx,yeR+,

，4x+y=2|+2+^33戶二當且僅當X=\,y=4時取等號.

y22yy222

，4x+y的最小值為6.

故答案為：6.

點評：本題考查了基本不等式的性質，屬于基礎題.

9.（2014?上海）若實數x,y滿足xy=l,則x?+2y2的最小值為,后一

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：由已知可得y=」，代入要求的式子，由基本不等式可得.

x

解答：解：.；xy=l,.?.y」

x

???x2+2y2=x?+與2百?馬2亞,

當且僅當x2=修,即x=±加時取等號，

故答案為：2亞

點評：本題考查基本不等式，屬基礎題.

10.（2014?德州一模）若正數x,y滿足2x+y?3=0,則豈&的最小值為3.

xy

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：由題意可知2x+y=3,所以想到把要求最小值的式子分子分母同時乘以3,把分子的3同時換

成2x+y,展開后利用基本不等式可求最小值.

解答：解：由2x+y?3=0,得2x+y=3,又Yx,y為正數，

所以x+2y_3尸2yl「（2x+y）（x+2y）

xy3xy3xy

」.2x2+5xy4~2y2j（區十&^）

3xy3yx

>|（4年?至+5）制（4+5）=3.

當且僅當x=y時取等號，因為2x+y-3=0,所以此時x=y=1.

所以空里的最小值為3.

xy

故答案為3.

點評：本題考查了基本不等式的應用，訓練了學生靈活變形和處理問題的能力，解答比題的關鍵是

對已知條件的靈活運用，屬中檔題.

11.（2014?陽泉二模）已知f（x）=log2（x-2）,若實數m,n滿足f（m）+f（2n）=3,則m+n的最小值是7

考點：基本不等式：對數的運算性質.

專題：計算題.

分析：由題意得m>2,n>l,（m-2）（n-1）=4,再由基本不等式得

J（m-2）（n-1）=232：1個1變形可得m+n的最小值.

解答：解：*.*f(x)=log2(x-2),若實數m,n滿足f(m)+f(2n)=3,m>2,n>1,

log2(m-2)+log2(2n-2)=3,log2(m-2)2(n-1)=3,(m-2)2(n-1)=8,

(c、/ii-------------------------------2+n_1irrl-n-3

(m-2)(n-l)%??q(m-2)(-l)-----------------------T—

n乙乙

(當且僅當m-2=n?1=2時，取等號)，/.m+n-3>4,m+n>7.

故答案為：7.

點評：本題考查對數的運算性質，基本不等式的應用.考查計算能力.

12.（2014?日照一模）已知a,b都是正實數，函數y=2aex+b的圖象過點（0,1）,則工」的最小值是_3+2加_.

ab

考占.基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：把點（0,1）代入函數關系式即可得出a,b的關系，再利用基本不等式的性質即可得出.

解答：解：???函數y=2ad+b的圖象過點（0,1）,Al=2a+b,

Va>0,b>0.

???fg（2a+b）（!K）=3+個隹>3+2電■含3+2就,當且僅當&=￡^1

b=V2-1時取等號.

故答案為3+2后.

點評：熟練掌握基本不等式的性質是解題的關鍵.

13.（2014?鎮江一模）已知正數x,y滿足x+2y=2,則豈邈的最小值為9

xy

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：利用“乘1法''和基本不等式即可得出.

解答：解：???正數x,y滿足x+2y=2,______

???^4G+2Q?（工J）4（10+23）乂（10+24衛）=9,當且僅當

xy2yx2yx2Vyx

x=4y=S時取等號.

.??也的最小值為9.

xy

故答案為：9.

點評：本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質，屬于基礎題.

^2.1Z

14.（2014?溫州三模）已知a>b>0,ab=l,則.十°的最小值為_2后

a-b

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：本題是基本不等式問題，可以利用a>b>0得到a-b>0（正數），再利用條件ab為定值

將a?+b2轉化為（a-b）2與ab,化簡后，運用基本不等式解決問題.

解答：解：Va>b>0,ab=l/.a-b>0

.a2+b2(a-b)2+2ab_《,2\/2r-

,"(a—)+.>2nJ(zab)x-^-=2n42

a-ba-bka-bya-b

當且僅當2-匕=的時取等號

故答案為2V2

點評：本題主要考查了基本不等式的應用和轉化化歸的數學思想，注意不等式成立的條件（一正

二定三相等）

15.（2014?江西一模）設x、y均為正實數，且1+1則xy的最小值為16.

2+x2+y3

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：將等式左邊通分，化簡等式后，使用基本不等式，化為關于仿的一元二次不等式，解出子高

的范圍.

解答:解：???x、y均為正實數，且1+1工進一步化簡得xy-x-y-8=0.

2+x2+y3

x+y=xy-8>2Vxy?令i=Vxy?t2-2t-8>0,

At<-2(舍去)，或t>4,

即化簡可得xy>16,

?xy的最小值為：6.

點評：本題考查基本不等式的應用，體現轉化的數學思想，屬于基礎題.

16.（2014?浙江模擬）已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2v的最小值是4

考點：基本不等式；簡單線性規劃的應用.

專題：計算題.

分析：首先分析題目由已知x〉O,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用

法，利用a+bN2J五代入已知條件，化簡為函數求最值.

解答：解：考察基本不等式x+2y=8-x?（2y）>8-（⑹里）2（當且僅當x=2y時取等號）

2

整理得(x+2y)2-4(x+2y)-32>0

即(x+2y-4)(x+2y+8)>0,又x+2y>0,

所以x+2y%(當且僅當x=2y時取等號)

則x+2y的最小值是4

故答案為：4.

點評：此題主要考查基本不等式的用法，對于不等式a+噲2媒在求最大值最小值的問題中應用非

常廣泛，需要同學們多加注意.

17.(2014?宿州三模)已知x,yER"且則XY的最小值是8

xy

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：由x,yWR*且工+2=1,可得x、2-卬>2),代入并利用基本不等式即可得出.

xyy-2

解答：解：Vx,yER*且Ax=—<y>2)

xyy-2

，xy=y?一y-y——季二y-2+—Z+4)zJ(y-2)?一力+4=8,當且僅當y=4(x=2)

y-2y-2y-2\y-2

時取等號.

xy的最小值是8.

故答案為：8.

點評：本題考查了基本不等式的性質，屬于基礎題.

18.(2014?蘇州一模)已知正實數x,y滿足xy+2x+y=4,則x+y的最小值為_2、后一3_.

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：變形利用基本不等式即可得出.

解答：解：:正實數x,y滿足xy+2x+y=4,

4-2x

AV=-——(0<x<2).

x+l

.,^4-2x6-(2+2x),.6,匚~~~oI~ci

..x+y=x+---------=x4---------------------=(x+l)+_±i--3》2Jk(xY+1)*0-3=ZM6~3?

x+i占ix+iax+i

當且僅當時取等號.

，x+y的最小值為2泥-3.

故答案為：2^/s—3,

點評：本題考杳了基本不等式的性質，屬于基礎題.

19.(2014?寶山區二模)已知logzx+log2y=1,則x+y的最小值為，血

考點：基本不等式；對數的運算性質.

專題：函數的性質及應用.

分析：由logzx+log2y=1,得出xy=2,且x>0,y>0；由基本不等式求出x+y的最小值.

解答：解：log2X+log25=1，

/.Iog2(xy)=1,

Axy=2,其中x>0,y>0；

/.x+y>2Vxy=2V2?當且僅當x=y=亞時，“=”成立；

Ax+y的最小值為2&.

故答案為：2近.

點評:本題考查了對數的運算性質以及基本不等式的應用問題，解題時應注意基本不等式的應用條

件是什么，是基礎題.

20.(2014?淮安模擬)已知正實數x,y滿足(x-1)(y+1)=16,則x+v的最小值為8.

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：變形利用基本不等式即可得出.

解答：解：?正實數x,y滿足(x-1)(y+1)=16,

.16「

??x-.-+L

__________

:.x+y-1y+1(y+1)號=g，當且僅當y=3,(x=5)時取等號.

???x+y的最小值為8.

故答案為：8.

點評：本題考查了變形利用基本不等式的性質，屬「基礎題.

21.(2014?重慶三模)已知x,y￡R,且x+2y=l,貝4y的最小值是_25_.

考點：基本不等式.

專題：計算題.

分析：

首先判斷2*>0,4>0,然后知2*+4b2后兩=26，即得答案.

解答：解：由2x>0,4y>0,

.\2x+4y>2J-+2y=2近.

所以2X+4)'的最小值為2近

故答案為：2后.

點評：本題考查均值不等式的性質和應用，解題時要注意公式的正確應用.

22.(2014?淄博三模)己知x>(),y>0,且x+y+L』=5,則x+、的最大博是4

xy

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：利用基本不等式轉化為一元二次不等式，解出即可.

解答：解：*/x>0,y>0,且x+y+1+2=5,

xy

A5-(x+y)+四>(x+y)+y-(x+y)

xy(—)2x+y

令x+y=t>0,上達不等式可化為t2-5t+4<0,

解得l<t<4,當且僅當x=y=2時取等號.

因此t即x+y的最大值為4.

故答案為：4.

點評：本題考杳了基本不等式的性質、一元二次不等式的解法、轉化法，屬于中檔題.

23.(2014?浙江模擬)若正數x,y滿足x+3y=5xy,貝ijx+y的最小值為_型當&_.

5

考點:基本不等式；基本不等式在最值問題中的應用.

專題:常規題型：函數的性質及應用.

分析:將x+3y=5xy轉化為工金1,再由x+y=）?（x+y）,展開后利用基本不等式

5y與5y項

可求出x+y的最小值.

解答:解：..?正數x,y滿足x+3y=5xy,-七乏二L

???x+y=（x+y）?（4W）=（/第）+（4+2在

5y5x5y5x

當且僅當工巨，即5y時取等號，此時結合x+3y=5xy,

5y5x

得

1+在

.??x+y^W應可知x+y的最小值為4+2V3

5

故答案為此，!.

5

點評:本題為2012年浙江文科試題第（9）題的一個變式.容易做錯,應注意等號成立的條件；

的替換是一個常用的技巧，應學會靈活運用.

24.（2014?咸陽二模）已知a,b,c,dGR,Ha2+b2=2,c2+d2=2,則ac+bd的最大值為2?

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：利用基本不等式即可得出.

解答：解：adc2；b2+d等

當且僅當a=c=b=d=l時取等號，

Aac+bd的最大值為2.

故答案為：2.

點評：本題考杳了基本不等式的性質，屬于基礎題.

25.（2014?荊州模擬）已知x>0,y>0,且x+2產xy,則log4（x+2y）的最小值是—乜.

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：根據基本不等式求出xy>8,然后利用對數的基本運算和對數的換底公式進行計算即可.

解答：解：Vx>0,y>0,且x+2尸xy,

/.x+2y=xy>2-2xy，

平方得（xy）2>8xy,

解得xy*,

3

???log4（x+2y）=log4（xy）>l0g48=log222^

故答案為：（

2

點評：本題主要考查基本不等式的應用以及對數的基本計算，考查學生的計算能力.

26.（2014?涼山州一模）在等比數列⑶｝中,若S7=I4,正數a,b滿足a+b=34,則ab的最大值為1.

考占.基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：利用等比數列的通項公式和基本不等式即可得出.

解答：解：設等比數列｛an｝的首項為ai，公比為q.

…a4a4a4、

S7=14=+-+a++023

?^24a4Qa4Q+a4q

qqQ

=34(-q*—q2+^+q+l)>a4X(2+2+2+1)>

Jin

qqQ

a4<2.

,正數a,b滿足a+b=a4?.*.2>a4=a+b>2/耳，解得ab<l,當且僅當a=b=l時取等號.

此時ab的最大值為1.

故答案為：1.

點評：本題考查了等比數列的通項公式和基本不等式，屬于中檔題.

27.(2014?淮南二模)己知函數f(x)=2'7+l過定點A,且點A在直線1：mx+ny=l(m>0,n>0)±,則』」

in2n

的最小值是4.

考點：基本不等式.

專題：不等式的解法及應用.

分析：利用2°=1可得函數f(x)=2'"+1過定點A(1,2),由于點A在直線1：mx+ny=l(m>

0,n>0)上，可得m+2n=1.再利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出.

解答：解：Vf(1)=2°+1=2,

，函數f(x)=2X1+1過定點A(1,2),

由點A在直線1：mx+ny=1(m>0,n>0)上，

.\m+2n=l.

???工合(m+2n)(工，)=2+&樓)2+2秒二*=4,當且僅當m=2n=,取等號，

??」」的最小值是4.

m2n

故答案為：4.

點評：本題考查了指數的運性質和基本不等式的性質，屬于中檔題.

28.(2014?寧波模擬)實數x、y滿足x2+y2=4,則x+y-xy的最大值為——

-2-

考點：基本不等式.

專題：三角函數的圖像與性質.

分析：由實數x、y滿足x?+y2=4,利用三角函數代換x=2cos0,y=2sin0.令

t=sin0+cos0=^2sin(^+子)(0日°，2兀))，t€[-y[2,^2L可得ZsinOcosent2-

1.x+y-xy=2cosO+2sinO-4sinGcos0=-2(t_2J,再利用二次函數的單調性即可