高中數(shù)學選修2-1知識點總結

命題是指用語言、符號或式子表達的可以判斷真假的陳述

句。其中真命題是判斷為真的語句，而假命題則是判斷為假的

語句。

若P，則q”形式的命題中，p稱為命題的條件，而q則稱

為命題的結論。對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分

別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題就稱為互逆命

題。其中一個命題稱為原命題，另一個則稱為原命題的逆命題。

例如，若原命題為“若p,則q"，那么它的逆命題為“若q,則

P”。

對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個

命題的條件的否定和結論的否定，那么這兩個命題就稱為互否

命題。其中一個命題稱為原命題，另一個則稱為原命題的否命

題。例如，若原命題為“若p,則q"，那么它的否命題為“若

P，則q”。

對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個

命題的結論的否定和條件的否定，那么這兩個命題就稱為互為

逆否命題。其中一個命題稱為原命題，另一個則稱為原命題的

逆否命題。例如，若原命題為“若p,則q"，那么它的逆否命

題為“若q,則p”。

四種命題的真假性如下：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真

真假假真

假真真真

假假假假

兩個命題互為逆否命題時，它們有相同的真假性。而兩個

命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性沒有關系。

若pq,則p是q的充分條件，而q是p的必要條件。

若pq,則p是q的充要條件（充分必要條件）。

用聯(lián)結詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結起來，得到一個新命

題，記作pq。當p、q都是真命題時，pq是真命題；當p、

q兩個命題中有一個命題是假命題時，pq是假命題。用聯(lián)結

詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結起來，得到一個新命題，記作

pq。當p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，pq是真

命題；當p、q兩個命題都是假命題時，pq是假命題。對一

個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作po若p是真命

題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題。

在邏輯中，短語“對所有的”、“對任意一個”通常稱為全稱

量詞，用””表示。含有全稱量詞的命題稱為全稱命題。全稱命

題“對中任意一個X,有px成立”，記作“X,px”。短語

“存在一個”、“至少有一個”通常稱為存在量詞，用"”表示。含

有存在量詞的命題稱為特稱命題。

命題是數(shù)理邏輯中的一個重要概念，其中特稱命題和全稱

命題是兩種常見形式。特稱命題表示存在一個元素使得某個條

件成立，全稱命題則表示所有元素都滿足某個條件。兩種命題

的否定分別是全稱命題和特稱命題。在幾何學中，橢圓和雙曲

線是兩種常見的曲線。橢圓由平面上到兩個定點距離之和等于

常數(shù)的點組成，這兩個定點稱為橢圓的焦點，焦點之間的距離

稱為焦距。橢圓有許多幾何性質，包括頂點、軸長、離心率等。

雙曲線則由平面上到兩個定點距離之差的絕對值等于常數(shù)的點

組成，這兩個定點稱為雙曲線的焦點，焦點之間的距離稱為焦

距。雙曲線也有許多幾何性質，包括虛軸的長、實軸的長、離

心率等。

1.漸近線方程：y=±x

2.等軸雙曲線是實軸和虛軸等長的雙曲線。

3.在雙曲線上任取一點M,設M到F1對應準線的距離為

dl,M到F2對應準線的距離為d2,則有MFl/dl=MF2/d2.

4.拋物線是平面內與一個定點F和一條定直線1的距離相

等的點的軌跡。F稱為拋物線的焦點，1稱為拋物線的準線。

5.過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于A、B兩

點的線段AB稱為拋物線的通徑，即AB=2p。

6.焦半徑公式：對于點R(x,y)在拋物線yA2=-2px(p>0)±,

焦點為F,則RF=-x+p；對于點R(x,y)在拋物線xA2=2py(p>0)

上，焦點為F,則RF=y+p；對于點R(x,y)在拋物線xA2=-

2py(p>0)上，焦點為F,則RF=-y+p；對于點R(x,y)在拋物線

yA2=2px(p>0)±,焦點為F,則RF=x+p。

7.拋物線的幾何性質：標準方程為y人2=2px(p>0),頂點為

(0,0),圖形為開口向右的平面曲線。對稱軸為x軸，焦點為

F(p,0)和F(-p,0),準線方程為x=-p/2和x=p/2,通徑為y=-p和

y=po離心率e=1,范圍為x>-p/2.

8.空間向量是具有大小和方向的量，在空間中可以用一條

有向線段來表示，長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示

向量的方向。

9.向量的模(或長度)是向量的大小，模為0的向量稱為

零向量，模為1的向量稱為單位向量。

10.與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向

量，記作-a。

11.方向相同且模相等的向量稱為相等向量。

12.向量的加法遵循平行四邊形法則，即在空間以同一點

O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形OACB,

以O起點的對角線OC就是a與b的和。

13.向量的減法遵循三角形法則，即在空間任取一點O,

作b的相反向量-b為鄰邊的三角形OAB,以O為起點的向量

a-b就是a與b的差。

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24.數(shù)乘運算是指實數(shù)與空間向量的乘積，結果為一個向

量。當實數(shù)為正數(shù)時，結果向量與原向量方向相同；當實數(shù)為

負數(shù)時，結果向量與原向量方向相反；當實數(shù)為零時，結果向

量為零向量。數(shù)乘結果向量的長度是原向量長度的實數(shù)倍。

25.對于任意兩個空間向量a和b以及實數(shù)入和|1,數(shù)乘運

算滿足分配律和結合律。分配律表示為Ma+b尸入a+加，結合律

表示為（X（i）a=（X（jia））o

26.如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合,

則這些向量稱為共線向量或平行向量。規(guī)定零向量與任何向量

都共線。

27.向量共線的充要條件是對于任意兩個空間向量a和b

（b非零）,若a與b共線，則存在實數(shù)入，使得a=Lb。

28.平行于同一個平面的向量稱為共面向量。

29.向量共面定理：空間一點R位于平面ABC內的充要條

件是存在有序實數(shù)對x和y,使得R=xA+yB+(l-x-y)C。或者

對于空間任一定點O,有OR=OA+xAB+yAC。或者如果四點

R,A,B,C共面，則存在有序實數(shù)對x,y和z,使得

OR=xOA+yOB+zOC,并且x+y+z=1.

30.已知兩個非零向量a和b,在空間任意取一點O,作

OA=a,則NXXX稱為向量a和b的夾角，記作。兩個向量夾

角的取值范圍是［0,兀］。

31.對于兩個非零向量a和b,如果=兀/2,則向量a和b互

相垂直，記作a_Lb。

32.已知兩個非零向量a和b,則它們的數(shù)量積abcos稱為

向量a和b的點積，記作a?b。當a和b垂直時，點積為零。

當a和b共線時，點積為a和b長度的乘積。零向量與任何向

量的點積為零。

33.向量a和b的點積等于向量a的長度a與向量b在a的

方向上的投影長度bcos的乘積。

34.如果a和b為非零向量，e為單位向量，則有

(l)e-a=a-e=acos；(2)a-a=aA2；⑶a_LXXX且僅當a?b=O；(4)

cos=a-b/ab；(5)a-b<abo

35.向量數(shù)乘積的運算律包括：(l)a-b=b-a；(2)

(入a>b=Ma,b)=aOb)；(3)(a+b)-c=a-c+b-co

36.如果i,j,k是空間三個兩兩垂直的向量，則對于空間

任一向量P，存在有序實數(shù)組｛x,y,z｝,使得p=xi+yj+zk,其中

xi,XXX,zk分別為向量p在i,j,k上的分量。

37、空間向量基本定理是指如果三個向量a、b、c不共面,

則對于任意空間向量P，都存在實數(shù)x、y、z,使得

p=xa+yb+zc。

38、若三個向量a、b、c不共面，則所有空間向量可以表

示為集合｛pp=xa+yb+zc|x、y、z￡R｝。這個集合可以看作是由

向量a、b、c生成的，｛a,b,c｝稱為空間的一個基底，a、b、c

稱為基向量。空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一

個基底。

39、設el、e2、e3為有公共起點O的三個兩兩垂直的單

位向量(稱它們?yōu)閱挝徽换?，以el、e2、e3的公共起

點。為原點，分別以el、e2、e3的方向為x軸、y軸。則對

于空間任意一個向量p,都可以把它平移，使它的起點與原點

O重合，得到向量OR=p。存在有序實數(shù)組{x,y,z},使得

p=xel+ye2+ze3.把x、y、z稱作向量p在單位正交基底el、e2、

e3下的坐標，記作p=(x,y,z)。此時，中的坐標(x,y,z)。

40、設a=(xl,yl,zl)、b=(x2,y2,z2),則有：

1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)；

2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)；

3)Xa=(Xxl,Xyl,Xzl)；

4)a-b=x1x2+y1y2+z1z2；

5)若a、b為非零向量，則

aJ_b—?b=0<=x1x2+y1y2+z1z2=0；

6)若b?0,則a〃bg=2ibd=Xx2,yl=Xy2,zl=Xz2；

7)a的模長間=4依1人2+丫1人2+21人2)；

8)cos=a-b/|a||b|；

AAA

9)AB=|AB|=A/((X2-Xl)2+(y2-yl)2+(z2-z1)2)O

在空間中，我們可以選取一個基點0,用向量0A表示任

意一點A的位置。這個向量0A被稱為點A的位置向量。

一條直線L在空間中的位置可以由L上的一個定點A和

一個定方向向量a來確定。對于直線L上的任意一點B,有向

量AB=ta,其中t為實數(shù)。因此，點A和向量a不僅可以確定

直線L的位置，還可以用來表示直線L上的任意一點。

一個平面a在空間中的位置可以由a內的兩條相交直線來

確定。設這兩條相交直線相交于點0,它們的方向向量分別為

a和b。對于平面a上任意一點P,存在有序實數(shù)對（x,y）,使

得向量OP=xa+yb。因此，點0和向量a、b就確定了平面a

的位置。

如果一條直線L垂直于平面a,那么L的方向向量a就是

平面a的法向量。

如果兩條直線a和b在空間中不重合，那么a與b平行

（記作a//b）當且僅當a=Xb（其中入為實數(shù)），a與b垂直

（記作aJ_b）當且僅當a?b=0.

如果一條直線L的方向向量為a,平面a的法向量為n,

且a與a不平行，那么a與a平行（記作a〃a）當且僅當a_Ln,

a與a垂直（記作a±a）當且僅當a=Xn（其中入為實數(shù)）。

如果兩個平面a和。在空間中不重合，那么a與0平行

（記作a//。）當且僅當它們的法向量a和b平行