第1頁(yè)第五章平面向量與復(fù)數(shù)5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.通過(guò)對(duì)力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義.2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.3.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.4.通過(guò)實(shí)例分析，掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.理解兩個(gè)平面向量共線的含義.5.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.向量的有關(guān)概念名稱定義說(shuō)明向量既有大小又有方向的量叫做向量平面向量是自由向量有向線段具有方向的線段叫做有向線段，向量可以用有向線段表示，也可用字母a,b,c，?表示有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度向量的模向量AB的大小稱為向量AB的長(zhǎng)度（或稱模），記作|AB向量的模是數(shù)量零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0—單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量a是非零向量，則±a平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量?jī)上蛄靠梢韵嗟纫部梢圆幌嗟龋荒鼙容^大小相反向量與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作?0的相反向量仍是02.向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律（性質(zhì)）加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則交換律：a+b=b+a.并規(guī)定：a+0=0+減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a?數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算λa是一個(gè)向量，其長(zhǎng)度：|λ其方向：當(dāng)λ>0時(shí)，與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，與a的方向相反設(shè)λ，μ∈R，則λ(μa)=μ3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)常用結(jié)論1.加法運(yùn)算的推廣（1）加法運(yùn)算的推廣：A1（2）向量三角不等式：||a2.線性運(yùn)算重要結(jié)論（1）若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP=（2）若G為△ABC的重心,則GA（3）若OA=λOB+μO(píng)C（λ，μ為實(shí)數(shù)），則點(diǎn)A，（4）如圖,在△ABC中,BD=m,CD=n,則AD=nm+（5）如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同.（）（2）|a|與|b|是否相等與（3）零向量與任一向量平行.（）（4）若向量AB與向量CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線.（）（5）當(dāng)兩個(gè)向量a，b共線時(shí)，一定有b=【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×（5）×2．（教材題改編）下列四個(gè)等式中，不正確的是（）A.a+b=C.AB?AC+【答案】D【解】由向量的加法交換律及相反向量,知a+b=b+aa?2b+2(AB?AC+BD?CDAB?(BC+CA)=AB?BA=23．【多選題】（教材題改編）對(duì)于向量a,b有下列表示，其中向量a,b一定共線的有（）A.a=2e,b=?2C.a=4e1?25【答案】ABC【解】易知A，B，C符合題意.對(duì)于D，若a=λb，e1,e2不共線，則1=2λ,14．[2022年新課標(biāo)Ⅰ卷]在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA.記CA=mA.3m?2n B.?2m【答案】B【解】如圖，因?yàn)镃D=CA+AD=CA+12DB=核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一平面向量的基本概念例1【多選題】如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)O為其中心，則（）A.AB=OC C.|AD|=|BE【答案】ABC【解】由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征，知AB與OC方向相同，長(zhǎng)度相等，所以AB=OC，故AAB與DE方向相反，所以AB//DE，故B由正六邊形的性質(zhì)，知|AD|=|BE|，故AD與FC不共線，故D錯(cuò)誤.故選ABC.【點(diǎn)撥】解決向量有關(guān)的概念問(wèn)題，一是要緊扣大小和方向這兩個(gè)關(guān)鍵要素，二是要注意零向量的特殊性.變式1．（1）下列命題正確的是（）A.任一向量與它的相反向量都不相等B.長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量C.平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量D.若a≠b（2）【多選題】如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都是1，則（）A.|CH|=|DGC.向量DG,HF共線 D.|【答案】（1）B（2）BC【解析】（1）【解】零向量與它的相反向量相等，故A錯(cuò)誤.由相等向量的定義，知B正確.兩個(gè)向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四邊形ABCD中，AB//CD，且|AB|=|CD|，但AB≠CD，故C錯(cuò)誤.a≠b，（2）【解】對(duì)于A，因?yàn)閨CH|=32+12=10,|DG|=22+22=22，所以|CH|≠|(zhì)DG|，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，|AE|=32+12=10，故B正確．對(duì)于C考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算命題角度1向量加、減法的幾何意義例2已知單位向量e1，e2，?,e2026，則|e1+e2+?+e2026|的最大值是___【答案】2026；0【解】當(dāng)單位向量e1，e2，?,e2026方向相同時(shí)，|e1當(dāng)單位向量e1，e2，?,e2026首尾相連時(shí)，e1+e2【點(diǎn)撥】運(yùn)用三角形法則時(shí)，注意向量三角不等式||a|?|b||≤|a±b|≤|a變式2．在四邊形ABCD中，若AC=AB+AD，且A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四邊形【答案】A【解】因?yàn)锳C=AB+AD，所以四邊形ABCD為平行四邊形.因?yàn)閨AB+AD|=|AB?AD|，所以|命題角度2平面向量的線性運(yùn)算例3如圖，在平行四邊形ABCD中,AB=4FC，BE=2A.16 B.?16 C.?【答案】B【解】由題意，可得AE=AB+BE=AB+23BC=AB+【點(diǎn)撥】①平面向量的線性運(yùn)算除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何知識(shí)，將未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量來(lái)求解.②求參數(shù)問(wèn)題，可以通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，通過(guò)向量相等或平行得到含參數(shù)的方程，進(jìn)而求參數(shù)的值.變式3．（1）已知△ABC是等邊三角形，D,E分別為AB,BC的中點(diǎn).若DF=3A.12AB+56AC B.1（2）如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則AB=A.AC?AD B.2AC?2AD【答案】（1）B（2）D【解析】（1）【解】如圖，因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，DF=3EF,所以EF=12DE=1（2）【解】因?yàn)镃，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以CD//AB，且AB=2CD.所以AB=考點(diǎn)三向量共線定理及應(yīng)用命題角度1向量共線問(wèn)題例4已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，AB=λa+bA.λ+μ=2 B.λ?μ【答案】C【解】由AB//AC，設(shè)AB=kAC.因?yàn)锳B=λa+b，AC=a?μ【點(diǎn)撥】注意待定系數(shù)法和方程思想的應(yīng)用.若a與b不共線且λa=μ變式4．（1）已知向量a,b不共線.若ka?b與aA.?1 B.?12 （2）已知向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線，但a+b與c共線，且b+c與a共線，則向量a+b+c=【答案】（1）B（2）0【解析】（1）【解】因?yàn)閗a?b與a+2b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)λ，使ka?b=λ（2）【解】依題意，設(shè)a+b=mc，b+c=na，則有(a+b)?(b+c)=mc?na命題角度2三點(diǎn)共線問(wèn)題例5（1）設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量.已知PQ=a+kb，QR=2a?b.若P，Q，R三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k=_（2）已知PA=23PB+tPC.若A,B,C三點(diǎn)共線，則|AB||AC|=【答案】（1）?（2）1【解析】（1）【解】若P，Q，R三點(diǎn)共線，則PQ=λQR，即a+kb=λ(2a（2）【解】因?yàn)镻A=23PB+tPC，且A，B，C三點(diǎn)共線，所以23+t=1.解得t=13.故【點(diǎn)撥】三點(diǎn)共線問(wèn)題可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.變式5．（1）設(shè)a,b是兩個(gè)不共線的向量.已知BA=a+2bA.A，B，D三點(diǎn)共線 B.B，C，D三點(diǎn)共線C.A，B，C三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線（2）已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D，滿足AD=mA.1 B.12 C.13 【答案】（1）D（2）C【解析】（1）【解】因?yàn)锽A=a+2b，BC=4a?4b，CD=?a+2b，所以AC=AB+BC=3a?6b=?3（2）【解】直接應(yīng)用性質(zhì),得m+2m=1，即m=13.另解：因?yàn)镈是BC上任一點(diǎn)，所以存在唯一實(shí)數(shù)λ(0≤λ≤1)，使BD=λBC課外閱讀·等和線定理已知平面內(nèi)一組基底OA,OB及任一向量OP，OP=λOA+μO(píng)B（λ,μ∈R）．若點(diǎn)P在直線AB上或者在平行于例題如圖，△BCD與△ABC的面積的比值為2，P是區(qū)域ABDC內(nèi)的任一點(diǎn)（含邊界），且AP=A.[0,1] B.[0,【答案】C【解】如圖，過(guò)點(diǎn)P作GH//BC，分別交AC，AB或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，設(shè)AP=xAG+yAH，則x+y=1.當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)D時(shí)因?yàn)椤鰾CD與△ABC的面積比值為2，所以AC'=所以AP=xAC'+yAB當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A時(shí)，顯然有λ+μ=0.綜上，λ+μ的取值范圍是變式．已知點(diǎn)C為扇形AOB的AB?上任意一點(diǎn)，且∠AOB=120°.若OC=λOA+μO(píng)B(λ,μ∈R)，則λ【答案】[1【解】設(shè)λ+μ=k.如圖，當(dāng)C位于點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到AB?的中點(diǎn)時(shí)，由∠AOB=120°，知OC=OA+OB,課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．給出下列命題,其中正確的為（）A.兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量B.兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小C.若λa=0（λD.若λ,μ為實(shí)數(shù)，且λa=μb，則【答案】B【解】?jī)蓚€(gè)向量終點(diǎn)相同，起點(diǎn)若不在一條直線上，則不共線，故A錯(cuò)誤.兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小，故B正確.若λa=0（λ為實(shí)數(shù)），則a也可以為0，故C錯(cuò)誤.若λ,μ為0，則λa=μb，此時(shí)a與b不一定共線，故D2．在△ABC中，D，E分別為邊AB，ACA.1組 B.2組 C.3組 D.4組【答案】A【解】由相等向量的定義,可知題圖中只有一組向量相等，即CE=EA.故選A3．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則|ABA.0 B.2 C.22 【答案】C【解】|AB+BC?CA4．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC∩BD=O.若A.矩形 B.梯形 C.平行四邊形 D.菱形【答案】B【解】由3OA+OC=3OD+OB，得3(OA?OD)=OB?OC，所以35．[2020年新課標(biāo)Ⅱ卷]在△ABC中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則CBA.2CD+CA B.CD?2CA【答案】C【解】CB=CA+AB=6．已知向量a,b不共線，MN=a+5bA.M,N,P三點(diǎn)共線 B.M,N,Q三點(diǎn)共線C.M,P,Q三點(diǎn)共線 D.N,P,Q三點(diǎn)共線【答案】B【解】因?yàn)镹Q=NP+PQ=a+5b=MN，且直線MN，NQ有公共點(diǎn)N，所以7．【多選題】如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論正確的是（）A.OA?OB=C.AB+AC+【答案】AD【解】OA?OB=BA，OD?OC=CDAC+CD+DO=ADAB+AC+CD=ABAC+BA+DA=BC故選AD.8．在△ABC中，AN=14NC，P是直線BN上的一點(diǎn).若AP=mAB+27AC，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)【答案】?3【解】由AN=14NC，得AC=5AN，則AP=mAB+27AC=mAB+109．如圖，在△OAB中，點(diǎn)D在線段OB上，且OD=2DB，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)C，使BA=AC（1）用a，b表示向量OC,DC;（2）若向量OC與OA+kDC【解】（1）因?yàn)锳為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)A=12所以DC=（2）由（1），得OA+因?yàn)镺C與OA+kDC共線，所以可設(shè)OC又a,b不共線，所以2=λ(【綜合運(yùn)用】10．設(shè)a，b是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λbA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解】存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb，說(shuō)明向量a,b共線，即a,b同向或反向.若|a+b|=|a|+|b|，則a,b同向.故“存在實(shí)數(shù)λ，使得a11．已知a是單位向量，向量b滿足|a?bA.2 B.4 C.3 D.1【答案】B【解】（方法一）如圖，設(shè)AB=a,AC=b，則CB=|CB|=|a?b|=3（方法二）|b|=|a?(a?b)|≤|a|+|a?b12．【多選題】正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中，以P,Q,R,S,T為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且PTATA.CQ+TP=C.AT+BQ=【答案】AD【解】對(duì)于A，CQ+TP=PA+TP對(duì)于B，ES?RQ=RC?RQ對(duì)于C，AT+BQ=SD+RD,5?12對(duì)于D，ES?AP=RC?QC=RQ=513．已知P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且PC+2PA=0.若S△ABC=12，則△【答案】4【解】易得PC=?2PA所以S△PAB14．已知m>0,n>0.如圖，在△ABC中，AM=mAB，AN=nAC，BD（1）求3m+（2）若點(diǎn)O滿足4AO=AB【解】（1）由題意，可知AD=因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以AE=12AD=13因?yàn)镸,N,E三點(diǎn)共線，所以13m3m+6n=(3m+所以3m+6n（2）證明：因?yàn)镺E=所以O(shè)E//CB.又E,C,B三點(diǎn)不共線，所以【拓廣探索】15．設(shè)a，b為非零向量．若p=a|A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解】因?yàn)閍|a|，b|b|分別為a，b方向上的單位向量，所以|p|=|a當(dāng)a，b反向時(shí)，|p|綜上，0≤|p|≤2．5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.理解平面向量基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算.4.能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e2.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示（1）平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.（2）線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.名稱符號(hào)表示加法若a=(x1,y減法若a=(x1,y兩點(diǎn)構(gòu)成的向量坐標(biāo)若A(x1,y1)數(shù)乘若a=(x,y)（3）平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)a=(x1,y1),b=(x2常用結(jié)論1.若a與b不共線，且λa+μ2.已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1,y1),B(自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.（）（2）若a，b不共線，且λ1a+μ1（3）平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示.（）（4）若a=(x1,y1)（5）向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).（）【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×（5）×2．設(shè)e1，eA.e1+2e2與eC.e1?2e2與4【答案】C【解】易知C中兩個(gè)向量共線，故不可以作為基底.故選C.3．（教材題改編）已知點(diǎn)A(?1,1)，B(1A.(9,7) B.(7,【答案】A【解】依題意,得AB=(2,1)，CD=(5,4．[2024年上海卷]已知k∈R,a=(2,5),b【答案】15【解】因?yàn)閍//b，所以2k=5×核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例1設(shè)點(diǎn)A(?1,2)，B(2,3)，C(3,?1)，且AD=2AB?3【答案】(2【解】由題意，可得AB=(3,所以2AB設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)可得x+1=3所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,16).【點(diǎn)撥】解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則其坐標(biāo)相同”這一原則，通過(guò)列方程（組）進(jìn)行求解.變式1．設(shè)點(diǎn)O(0,0)，A(0A.5 B.22 C.25 【答案】B【解】設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則BP=(x?6所以x?6=?2x,y=?故OP=(2,2)，|考點(diǎn)二平面向量基本定理及其應(yīng)用例2（1）在△ABC中，D為邊BC上的點(diǎn)，且BD=3DC，E為AD的中點(diǎn)，BEA.1 B.54 C.?2 （2）如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量OA，OB，OC，其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23.若OC=【答案】（1）D（2）6【解析】（1）【解】如圖，BE=BD+DE=BD?12AD=BD?12(AB+BD)=12BD?12AB=12（2）【解】（方法一）以λOA和μO(píng)B為鄰邊作平行四邊形OB1CA1圖1因?yàn)镺A與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，所以∠B1OC=90°.在Rt△OB1C中，|OC|=2（方法二）以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，C(23cos30°圖2由OC=λOA+μO(píng)B=λ(1,0)+μ(?12，32【點(diǎn)撥】①應(yīng)用平面向量基本定理，應(yīng)注意定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量.②選定基底后，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來(lái),利用基底表示的唯一性列方程或方程組求解.變式2．（1）在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，且AE=3EC.若DE=λAB+μAC，則（2）如圖，已知點(diǎn)O,A,B,C均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)處.若OC=λOA+μO(píng)B，則λ=______，μ=___【答案】（1）0（2）23；【解析】（1）【解】因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以AD=12(AB+AC).又AE=3EC，所以AE=（2）【解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則O(0,0),A(3,6),C(4,5),B(6,3).所以O(shè)C=(4,5)考點(diǎn)三共線向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用例3（1）已知向量a=(?1,2)，b=(m,1).若(a+b)//(3（2）已知梯形ABCD，其中AB//CD，且DC=2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)【答案】（1）?（2）(【解析】（1）【解】a+b=(m?1,3),3a?b=(?3（2）【解】依題意，得DC=2AB.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)，則DC=(4,2)?(x,y)=(4?x,2?y)，【點(diǎn)撥】向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解.變式3．（1）已知向量a=(x1,y1)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件（2）已知向量a=(2,tanθ)，b=(1,?1)，且a//b，則tan(π（3）已知點(diǎn)A(2,3)，B(4,?3)，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且|AP|=32|PB|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_【答案】（1）A（2）?（3）(【解析】（1）【解】若x1y1=x2y2，則x1y2?x2y1=0.所以a//b.當(dāng)b=0，即x2=y（2）【解】由題意，可得tanθ=?2，則tan(π4（3）【解】由題意，知AB=12BP.所以O(shè)P=OB+BP=OB+課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（）A.a=(1,2)，bC.a=(3,2)，b=(9【答案】B【解】在平面內(nèi)，根據(jù)向量基底的定義，知兩個(gè)向量不共線即可作為基底.故選B.2．已知向量a=(?4,3)A.(?3,1) B.(3,?【答案】B【解】代入各項(xiàng)，知僅B符合題意.故選B.3．[2023年北京卷]已知向量a，b滿足a+b=(2,A.?2 B.?1 C.0【答案】B【解】（方法一）因?yàn)閍+b=(2,3)，a?b（方法二）|a|2?|b4．已知向量a=(?1,3),b=(?1A.?2 B.?1 C.1【答案】A【解】由題意，得2a因?yàn)閎//(2a?c)，所以?(6?5．已知點(diǎn)O(0,0)，向量OA=(2,3A.(143,?1) C.(143,?1)或(103,1) D.【答案】C【解】由已知，可得AB=OB?OA=(4,?6).又P是線段AB的三等分點(diǎn)，所以AP=23AB=(83,?4)或AP=13AB=(43,?26．在平行四邊形ABCD中，BE=12BC，AF=A.?58 B.?38 C.【答案】B【解】如圖，由題意，得AB==AE=AE=1又AB=mDF+nAE故m?n=127．【多選題】已知向量3a+2A.aB.a，b可作一組基底C.aD.與b同向的單位向量是(55【答案】BCD【解】因?yàn)?a=3a+2b因?yàn)閍+b=(2,?1)，所以a與(aa，b不平行，故B正確.a+2b=(1,?與b同向的單位向量是b|b|=(55，2故選BCD.8．若A(0,13),B(2,5m),C(6【答案】2或13【解】AB=(2,5m?13),AC=(6,m9．已知點(diǎn)A(?2,4)，B(3,?1)，C(?（1）3a（2）滿足a=mb+n（3）點(diǎn)M，N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo).【解】由已知，得a=(5,?5)（1）3a（2）因?yàn)閍=所以n?6m=5（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).因?yàn)镃M=OM?所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0又CN=ON?所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(9,2【綜合運(yùn)用】10．已知三點(diǎn)A(a,0)，B(0,b)，C(A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解】易得OA=BC，即(a,0)=(2,11．已知向量m=(cosθ,sinθ)，nA.2 B.85 C.1 【答案】C【解】由m//n，得sinθ=2cosθ，12．【多選題】如圖，在5×5方格中，O，A，B，A.OB=OA+C.AC=OB?【答案】AD【解】設(shè)小方格邊長(zhǎng)為1.以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則OA=(?1,4)，OB=(3,5)，OC=(4,1)，AC=(513．在正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線BD，CF相交于點(diǎn)P.若AP=xAB+yAF，則x+y=__【答案】52【解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AE所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，則A(0,0),B(1,0故AB=(1,0),AP=(1由AP=xAB+yAF，得(1,32)=x(1,0)+y14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，|OA|=2|AB（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo).（2）求證：OC//【解】（1）因?yàn)椤螼AB=2π3，|AB|=1，所以AB=(cosπ3,sinπ3)=(12（2）證明：由題意，得OC=OB+BC=(52,32)+(?1,3)=(32【拓廣探索】15．【多選題】已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為θ(θ≠π2)，且c=xeA.a?b=(C.λa=(λx1【答案】ACD【解】由已知，得a=x1e1+y1e2，|a|=(x1e1+y1e2)λa=λx1e若a//b，則x1e1+y1e2=λ(x2e1+5.3平面向量的數(shù)量積課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.通過(guò)物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.2.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.3.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積,會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角.4.能用坐標(biāo)表示平面向量垂直的條件.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.向量數(shù)量積的定義（1）向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a,b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA=a,OB=b（如圖所示），則∠AOB=θ（2）向量的平行與垂直：當(dāng)θ=0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ=π時(shí)，a與b反向；如果a與b的夾角是π2，我們說(shuō)a與b（3）向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ

叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2.向量的投影（1）定義：如圖，設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量，AB=a,CD=b，作如下的變換：過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，則稱上述變換為向量a向向量b投影（2）計(jì)算：設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量是|a|cos3.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量.（1）a?（2）a⊥b?（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a（4）|a?4.向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律對(duì)于向量a,b,c和實(shí)數(shù)λ，有：（1）a?b（2）(λa（3）(a+5.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1（1）a?b=x1x2+（2）a⊥b?（3）|x1x2（4）設(shè)θ是a與b的夾角，則cosθ=常用結(jié)論數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論（1）(a（2）(a（3）a2+b自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.（）（2）由a?b=0,可得（3）若a?b=b?（4）(a（5）若a?b>0，則a和b的夾角為銳角；若a?【答案】（1）√（2）×（3）×（4）×（5）×2．設(shè)a=(2,?1)，bA.1 B.?2 C.?6 【答案】C【解】a+2b=(?4,1)3．已知向量a，b滿足a?b=0，|aA.4 B.22 C.6 【答案】B【解】|2a?b|=4．（教材題改編）已知單位向量a,b的夾角為60°，ka?b與a垂直，則k=____【答案】12【解】a?b=1×1×cos60°=12.因?yàn)閗a?b核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1（1）[2022年全國(guó)甲卷]設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且|a|=1，（2）在四邊形ABCD中，AB//DC，AB=3，DC=A.1 B.2 C.3 D.4【答案】（1）11（2）C【解析】（1）【解】由題意,可得a?b=1×3×（2）【解】如圖，AC=AB+BC,BD=BC+CD=BC?2【點(diǎn)撥】平面向量數(shù)量積主要有三種運(yùn)算方法.①當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a?b=|a||b|cos?a，b?變式1．（1）已知向量a,b滿足(a?b)?b=2A.(2,2) B.(?2,（2）[2023年全國(guó)乙卷]正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，則EC?A.5 B.3 C.25 【答案】（1）B（2）B【解析】（1）【解】由b=(?1,1)，得|b|=2.(a?b)?b=a?b（2）【解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則E(1,0),C(2,2),D(0,2考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題角度1求平面向量的模例2[2020年全國(guó)Ⅰ卷]設(shè)a,b為單位向量，且|a+b|=1，則|a?b|=【答案】3【解】因?yàn)閍,b為單位向量，即|a|=|b|=1,所以|a+b|=(a【點(diǎn)撥】求向量的模，常用公式|a|2變式2．[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷]已知向量a，b滿足|a?b|=3，|a+b|=|2a【答案】3【解】因?yàn)閨a+b|=|2a?b|，所以(又|a?b|=3，所以(a?b)2=命題角度2求平面向量的夾角例3[2023年全國(guó)甲卷]已知向量a=(3,1)，bA.117 B.1717 C.55【答案】B【解】由題意，得a+b=(5,3)，a?b=(1,?1)，則|【點(diǎn)撥】求兩向量a,b的夾角θ,通常采用公式cosθ變式3．（1）[2022年新課標(biāo)Ⅱ卷]已知向量a=(3,4),b=(1,0),A.?6 B.?5 C.5（2）[2023年全國(guó)甲卷]已知向量a,b,c滿足|a|=|b|=1,|c|=A.?45 B.?25 C.【答案】（1）C（2）D【解析】（1）【解】c=(3+t,4),cos?a,c?=cos?b,c?（2）【解】（方法一）因?yàn)閍+b+c=0,所以a+b=?c.所以a2+b2+2a?b=c2,即1+1+2a?b=2.所以a?b=0.同理，可得a?命題角度3兩個(gè)向量的垂直例4（1）[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知向量a=(0,1),bA.?2 B.?1 C.1（2）設(shè)非零向量a，b滿足|aA.a⊥b B.|a|=|b|【答案】（1）D（2）A【解析】（1）【解】因?yàn)閎⊥(b?4a),所以b?(b（2）【解】因?yàn)閨a+b|=|a?b|，所以(a+b)2【點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)非零向量垂直的充要條件，是兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，即對(duì)于兩個(gè)非零向量a，b，a⊥變式4．（1）[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知向量a=(1,1)A.λ+μ=1 B.λ+μ（2）[2020年全國(guó)Ⅱ卷]已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與bA.a+2b B.2a+b【答案】（1）D（2）D【解析】（1）【解】a+λb=(1+λ,1?λ)，a+μb=(1+μ（2）【解】由已知,可得a?b=|a||b|cos60°=1×1×12=12.代入，課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．若向量a，b滿足|a|=|b|=1，a與bA.12 B.32 C.0【答案】A【解】由題意，得a?(a+b)=2．已知向量e1=(0,1)，e2A.1 B.?1 C.4 D.【答案】A【解】因?yàn)閎=2e1?e2=(?3．已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,2)，A.14 B.12 C.35【答案】D【解】依題意，得AB=(3,0),AC=(2,2)4．已知平面向量a,b滿足|a|=2|b|,A.30° B.60° C.120°【答案】C【解】由|a|=2|b|，得|a|2=4|b|2.代入a2+a?b=3|b|5．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]已知向量a,b滿足|a|=1,|a+A.12 B.22 C.3【答案】B【解】因?yàn)?b?2a)⊥b，所以(b?2a)?b=0，即b2=6．已知正方形ABCD的中心為O，邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足OP=2PDA.?2 B.?109 C.【答案】C【解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，易知A(?2,0)，C(2,0)，P(0,27．【多選題】已知a,b,c是非零向量.下列結(jié)論正確的是（）A.若a?cB.若a(bC.若(a+D.向量(a?b【答案】BCD【解】顯然A錯(cuò)誤，B，C正確.對(duì)于D，[(a?b)c?(a?c)8．已知a=(1,0)，|b|=1，且|a+b|=2|a?b|，則b在a上的投影向量為_(kāi)_______【答案】(35【解】由題意，得|a+b|2=4|a又a=(1,0)，故b在a上的投影向量為a?b|故填(35,09．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量OA=(2,?2),OB（1）求使AP?BP最小時(shí)點(diǎn)（2）若∠APB為鈍角，求點(diǎn)P【解】（1）設(shè)點(diǎn)P(x,0)所以AP?當(dāng)x=3時(shí)，AP?BP取得最小值（2）若∠APB為鈍角，則有PA?PB<0設(shè)點(diǎn)P(m,0)故(2?m由PA，PB共線，得2?m=?2(4?m)，解得m=【綜合運(yùn)用】10．[2024年全國(guó)甲卷]設(shè)向量a=(x+A.“x=?3”是“B.“x=?3”是“C.“x=0”是“D.“x=?1+【答案】C【解】當(dāng)a⊥b時(shí)，a?b=0，所以x(x+1)+2x=0.當(dāng)a//b時(shí)，211．若兩個(gè)非零向量a，b滿足|a+b|=|aA.π6 B.π3 C.2π【答案】B【解】在△ABC中，設(shè)AB=a+b,由題意，知|AB|=|AC|=|CB|，所以△ABC為正三角形.所以?12．在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D在線段AB上，且ADA.?817 B.817 C.?【答案】C【解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(6,0)，C(0,8)，D(13．[2021年新課標(biāo)Ⅱ卷]已知向量a+b+c=0，|a|=1，|b|=|c|=2，則【答案】?9【解】由已知，可得(a+b+c)2=14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(1,5)，|OB|=（1）求OB的坐標(biāo)；（2）求cos?OA,OB（3）求△AOB【解】（1）因?yàn)橄蛄縊B在x軸上的投影向量為a=(2,由|OB|=22=4+（2）因?yàn)镺A?OB=1×2+（3）sin?OA,OB故△AOB的面積為12×【拓廣探索】15．[2021年新課標(biāo)Ⅰ卷]【多選題】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cosα,sinα)，A.|OP1C.OA?OP【答案】AC【解】|OP1|=|OP2|=1，故A正確.AP1=(cosα?1,sinα)，AP2=(cosβ?1,?sinβ5.4平面向量的應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題以及其他實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題.（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.常用結(jié)論平面向量與平面幾何綜合的有關(guān)結(jié)論（1）若MA，MB為非零向量，則給出MA?MB=0，等價(jià)于已知MA⊥MB；給出MA?（2）給出λ(MA|MA|（3）在?ABCD中，給出(AB+AD)?(AB?自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）力F1和F2合力的大小等于（2）若△ABC是直角三角形，則AB（3）在四邊形ABCD中，AB=?2CD（4）若AB?AC<（5）力做功的大小只與力和位移的大小有關(guān).（）【答案】（1）×（2）×（3）√（4）×（5）×2．在△ABC中，若AB?BCA.∠C為鈍角的三角形 B.∠C.∠A為直角的直角三角形 【答案】C【解】AB?BC+AB2=AB?(AB+BC3．如果一架飛機(jī)向西飛行300km，再向南飛行400km，記飛機(jī)飛行的路程為s，位移為a，那么A.0km B.200km C.300km【答案】B【解】由題意，得s=300+400=700(km)，|a4．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，(AB+BC+CD)?DE=___【答案】?1【解】由正六邊形性質(zhì)，得∠ADE=60°,AD=2DE，(AB核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一平面向量在幾何中的應(yīng)用例1如圖，在△AOB中，已知P為線段AB上的一點(diǎn)，|OA|=4，|OB|=3（1）若2BP=BA（2）若OP=λOA+(1【解】（1）由題意，可得OA?因?yàn)?BP=BA，所以P為AB的中點(diǎn).所以O(shè)P=1（2）因?yàn)镺P⊥AB，所以O(shè)P?【點(diǎn)撥】利用向量解決幾何問(wèn)題，一般有兩種方法.①基底法：選取適當(dāng)?shù)幕祝瑢?wèn)題中的相關(guān)量用基底表示，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.②坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題.變式1．在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，∠BAC=120°，ABA.5 B.6 C.31 D.33【答案】A【解】如圖，可得AD=12(AB+AC)，故AD2=1考點(diǎn)二平面向量在物理中的應(yīng)用例2如圖，某段河流南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭的A處出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度v1的大小為|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小為|v2|=4km/h，設(shè)v1和v2所成的角為θ(0<θ<π).若游船要從【答案】?2【解】由題意,知(v1+v2)?v2=0,則v1?v2+v【點(diǎn)撥】①把實(shí)際問(wèn)題中的相關(guān)量用向量表示出來(lái).②轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的模型，通過(guò)向量的運(yùn)算使問(wèn)題得以解決.③把結(jié)果還原為實(shí)際問(wèn)題.變式2．已知一個(gè)物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力A.300J B.1002J C.200【答案】A【解】W=F?s=|F考點(diǎn)三和向量有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題例3（1）已知圓C的半徑為1，過(guò)圓C外一點(diǎn)P作一條切線與圓C相切于點(diǎn)A，|PA|=2，Q為圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA?PQ的取值范圍為_(kāi)_____（2）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則EC?A.[0,4] B.[2,【答案】（1）[（2）B【解析】（1）【解】（方法一）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QT⊥PA，垂足為T(mén)，則1≤PT≤（方法二）以C為原點(diǎn)，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C(0,0)，A(0,?1)，P(?2,?1).設(shè)點(diǎn)（2）【解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C(2,2),M(2,1).設(shè)E(【點(diǎn)撥】①解決和向量有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題，常用幾何法或代數(shù)法.②與圓相關(guān)的問(wèn)題可借助參數(shù)方程求解.③與模有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題，有時(shí)也需要利用向量的三角不等式求解.變式3．（1）[2020年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP?A.(?2,6) B.(?6,（2）[2022年上海卷]在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上，則MP?CP的最小值為_(kāi)【答案】（1）A（2）?【解析】（1）【解】如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，則AP?AB=AH（2）【解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)B(2,0)，C(0,2)，M(1,0).直線BC的方程為x2+y2=1，即x+y=2考教銜接·用向量法研究三角形的性質(zhì)【教材溯源】人教A版必修第二冊(cè)第63頁(yè)數(shù)學(xué)探究.【總結(jié)延伸】（1）若G是△ABC的重心，則GA（2）若O是△ABC的垂心，則OA（3）若P是△ABC的內(nèi)心，BC=a,AC=b（4）若O是△ABC的外心，則例題已知△ABC的重心為O，|OA+OB|=|A.23 B.10 C.3 D.【答案】B【解】因?yàn)閨OA+OB|=|OA?OB|，所以O(shè)A?OB=0．由O為△ABC的重心，變式．在△ABC中，若動(dòng)點(diǎn)P滿足CB?(PB+PCA.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心【答案】C【解】設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則PB+PC=2PD.所以所以點(diǎn)P在線段BC的中垂線上.故點(diǎn)P的軌跡過(guò)△ABC的外心.故選C課外閱讀·極化恒等式在平面向量中，(a+b)2在平行四邊形ABCD中，AB?圖1在三角形ABC中，AB?AC=AM2圖2例題如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BA?CA=4，BF?CF=?1，則BE?CE的值是_【答案】78【解】設(shè)BD=DC=m，AE根據(jù)向量的極化恒等式，得AB?FB?聯(lián)立①②，解得n2=5所以EB?ECBE?CE=78變式．已知P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF的邊DE上的動(dòng)點(diǎn)，則PA?A.2 B.114 C.3 D.【答案】C【解】如圖，取AB的中點(diǎn)Q，連接PQ，BD,QD.由題意，得QA=在△BCD中，由余弦定理，得BD2=所以QD=由圖，知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D或點(diǎn)E處時(shí)，PQ最大，所以PA?PB=(PQ+QA)?(PQ+QB課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．設(shè)a表示向東走了10km，b表示向南走了5km，則A.向東南走了102km C.向東南走了56km 【答案】A【解】a+2b表示向東走了10km，再向南走了10km.由勾股定理，知a+2b2．在菱形ABCD中，∠ABD=50°，則向量A.50° B.80° C.100°【答案】B【解】如圖，在菱形ABCD中，∠ADC=2∠ABD=100°，所以AD與DC3．在△ABC中,設(shè)AB=c,BC=a,CAA.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無(wú)法確定【答案】C【解】因?yàn)閏?(c+a?b)<0，所以AB?(AB4．共點(diǎn)力F1=(lg2,lg2)，F(xiàn)2A.lg2 B.lg5 C.1【答案】D【解】根據(jù)題意，得共點(diǎn)力的合力是F=F1+F2=(15．已知△ABC為正三角形，且點(diǎn)A，B，C均在單位圓O上，則BOA.?32 B.32 C.1【答案】B【解】延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D.由題意，知AD⊥BC，|BC|=3，|BD|=36．若|OA|=1，|OB|=4，A.2 B.23 C.4 D.【答案】B【解】由OA?OB=4cos∠AOB=2，得cos∠AOB=17．【多選題】在菱形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，AC=A.(AB+ADC.|2AE+【答案】ABD【解】對(duì)于A，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD,AB+AD=AC.所以(對(duì)于B，因?yàn)镋是DC的中點(diǎn)，所以ED=12CD=?12AB.對(duì)于C，因?yàn)锳C=AE+EC所以|2AE+AB|=2對(duì)于D，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F.因?yàn)锳C⊥BD，所以EF//BD.因?yàn)镋是DC的中點(diǎn)，所以F所以AE?AC=|AE||AC故選ABD.8．在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=【答案】12【解】如圖，取AB的中點(diǎn)E，則AE//DC，且AE=DC=2.所以四邊形AECD為平行四邊形.故AD=EC=BE=BC=2.所以△CEB為正三角形.過(guò)點(diǎn)9．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°，BD，AC相交于點(diǎn)O，（1）用a，b表示AM，并求|AM（2）證明：AB⊥【解】（1）由題意，知BM=14由題意，知a?所以|AM=9（2）證明：因?yàn)锳B?BD=【綜合運(yùn)用】10．如圖，在正方形ABCD中，|AB|=2.若NA.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A(0,0),B(2,0).設(shè)點(diǎn)N(x,y)(0≤x≤2,0≤y≤2)11．在△ABC中,“BA?BCA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解】設(shè)D為BC的中點(diǎn),連接AD，如圖.若BA?BC=CA?CB，則BC?(所以AB=AC，△但△ABC是等腰三角形不一定得到AB故選A.12．【多選題】已知向量a=(cosθ,sinA.若a//bB.若a⊥bC.|aD.若a?(a【答案】ACD【解】若a//b，則4cosθ=?3sinθ.若a⊥b，則?3cosθ+4sinθ=0.|a=6cosθ?8sinθ+26若a?(a?b)=0，則cosθ(cosθ+3)+sinθ(sinθ?4)=013．已知點(diǎn)A(0,1)，B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)C在圓x2+【答案】3【解】不妨設(shè)點(diǎn)C(2cos所以AB=(1,?1)，當(dāng)sin(π4?θ)=1，即θ14．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，面積為S.已知S（1）求B；（2）若點(diǎn)D在邊AC上，且∠ABD=π2，AD=【解】（1）依題意，得12|BC||BA|sinB（2）由題意，知AD=故BD=所以BA?BD=BA?(在Rt△ABD中，c故△ABC的周長(zhǎng)為AB【拓廣探索】15．[2023年全國(guó)乙卷]已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn).若|A.1+22 B.1+22【答案】A【解】如圖所示，由|OA|=1,|OP|=2，可得∠APO=π4，因?yàn)?π4<α所以當(dāng)2α?π4=?π2，即α=?π8時(shí)5.5復(fù)數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.通過(guò)方程的解,認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.復(fù)數(shù)的概念概念定義復(fù)數(shù)把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合，即C={a+bi|a,復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di?a=c,復(fù)數(shù)分類(lèi)復(fù)數(shù)z=復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)(共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，如果z=a+復(fù)平面復(fù)平面中實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)的模向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模或絕對(duì)值，記作|z|或|2.復(fù)數(shù)的幾何意義為方便起見(jiàn)，我們常把復(fù)數(shù)z=a+bi說(shuō)成點(diǎn)Z3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（1）運(yùn)算法則.設(shè)z1=a①加（減）:z1②乘法：z1z③除法：z1z2（2）加法的運(yùn)算律.交換律z1+z結(jié)合律(z1+（3）乘法的運(yùn)算律.交換律z1結(jié)合律(z1z分配律z1(z常用結(jié)論1.復(fù)數(shù)運(yùn)算相關(guān)結(jié)論（1）(1±i)2=±（2）i4n=1,i4n+1=i,i4n+（3）zz=|z|2=|z2.幾何意義相關(guān)結(jié)論（1）a≤|z|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心，以（2）|z?(a+b自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）方程x2（2）復(fù)數(shù)z=a+（3）兩個(gè)復(fù)數(shù)可以相等，因此，復(fù)數(shù)可以比較大小.（）（4）原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).（）（5）若復(fù)數(shù)z的模為5,則復(fù)數(shù)2+【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√（5）×2．（教材題改編）設(shè)m∈R.若m2A.0 B.1 C.?2或1 D.【答案】D【解】由題意，知m2+m?2=0,3．（教材題改編）如圖，在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2iA.3+i B.3?i C.1?【答案】D【解】因?yàn)镺C=OA+OB，所以點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+4．[2024年全國(guó)甲卷]若z=5+iA.10i B.2i C.10【答案】A【解】由z=5+i，得z=5?i,z+z核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念例1【多選題】設(shè)z=(A.z的實(shí)部為2 B.z的虛部是?C.|z|=5 【答案】AC【解】設(shè)z=a+bi(a,b∈R).因?yàn)閦=(1?i)z對(duì)于A，z的實(shí)部為2，故A正確.對(duì)于B，z的虛部是?1，故B錯(cuò)誤對(duì)于C，|z|=a2+b對(duì)于D，z+i=2為實(shí)數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選AC【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最基本的思想方法.變式1．【多選題】已知z為復(fù)數(shù)，下列命題正確的是（）A.若z=z，則B.若z2<0C.若|z+1D.“z2∈R【答案】ABD【解】設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則z=a?bi.若z=z，則b=0,z為實(shí)數(shù)，故A正確.若z2=a2?b2+2abi<0，則ab=0且a2?b2<0.所以a=0且b≠0，z考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的運(yùn)算例2（1）[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知z=1?iA.?i B.i C.0 D.1（2）若復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)z滿足|z|=3，z+z=2，則z+3（3）計(jì)算2i?2(1?i)2×(21+i)2026=__【答案】（1）A（2）2（3）?【解析】（1）【解】因?yàn)閦=1?i2+2i=(1?i)(（2）【解】設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則z=a（3）【解】因?yàn)?(i?1)(1?i)2=2i?【點(diǎn)撥】①?gòu)?fù)數(shù)的計(jì)算，除了掌握基本運(yùn)算法則外，最好熟記一些常見(jiàn)算式運(yùn)算的結(jié)果，這對(duì)提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確度都有很大的幫助,詳見(jiàn)本節(jié)“常用結(jié)論”.②除法運(yùn)算的關(guān)鍵是“分母實(shí)數(shù)化”.③靈活應(yīng)用待定系數(shù)法解題.變式2．（1）[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]若zz?1A.?1?i B.?1+i C.（2）已知復(fù)數(shù)z滿足z+2|z|=2+i，則|z|=____（3）已知z1，z2是方程x2A.2 B.4 C.2i D.【答案】（1）C（2）1或5（3）B【解析】（1）【解】由zz?1=1+i，得z=z（2）【解】設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則a+bi+2|a?bi|=2+i.（3）【解】方程x2?2x+2=0的根為x=考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義例3（1）在復(fù)平面內(nèi)，若z=m2(1+i)?m(4+i)?6i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__（2）[2020年全國(guó)Ⅱ卷]設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z2|=2，z1+z2=3【答案】（1）(（2）2【解析】（1）【解】由題意，知m2?4m<0,m2（2）【解】（方法一）設(shè)z1=a+bi(a,b∈R)，z2=c+di(c,d∈R（方法二）如圖，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1，Z2，OP=OZ1+OZ2.由已知|OP|=3+1=2=|OZ1|=|OZ2【點(diǎn)撥】|z1?z2變式3．（1）[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷]在復(fù)平面內(nèi)，(1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限（2）（教材題改編）若復(fù)數(shù)z滿足1<|z|<A.π B.2π C.3π （3）若復(fù)數(shù)z滿足|z?1A.4 B.5 C.6 D.41【答案】（1）A（2）C（3）C【解析】（1）【解】(1+3i)(3?i)=3?i+9i+3=（2）【解】由題意,得復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是如圖所示的圓環(huán)，小圓的半徑r=1，大圓的半徑R=2，所以圓環(huán)的面積S=π(R（3）【解】由題意，知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在圓(x?1)2+(y?1)2=1上，此圓的圓心為(1,1)，半徑為1.課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．[2024年全國(guó)甲卷]設(shè)z=2iA.?2 B.?2 C.2【答案】D【解】依題意，得z=?2i，故zz=?2．[2023年全國(guó)甲卷]5(1A.?1 B.1 C.1?i 【答案】C【解】5(1+i33．[2023年全國(guó)甲卷]設(shè)a∈R,(aA.?1 B.0 C.1 【答案】C【解】因?yàn)?a+i)(1?ai)=2a+(1?a4．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z?i|=1，zA.(x+1C.x2+(y【答案】C【解】由題意,知z=x+yi,則z?i=x+(y?5．【多選題】下列命題不正確的是（）A.若z=m+ni(m,B.若(z1C.xD.若實(shí)數(shù)a與ai【答案】BCD【解】顯然A正確.對(duì)于B，當(dāng)z1=1,z2=0,z對(duì)于C，只有當(dāng)x,y∈R對(duì)于D，若a=0,則0?i=故選BCD.6．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1和z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B，則z1?z2=_____【答案】?1【解】由題意，知z1=?2?i,z2=1+i7．已知復(fù)數(shù)z=4+ai1+i，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，寫(xiě)出a的一個(gè)整數(shù)值為_(kāi)________【答案】0（答案不唯一）【解】因?yàn)閦=4+a又a為整數(shù)，所以a可取?3，?2，故填0（答案不唯一）.8．已知方程z2+3z+4=0的兩個(gè)根分別為z1，z2，則|【答案】7【解】由z2+3z+4=0，可得(z+32)29．已知復(fù)數(shù)z1=(a2?（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求z1（2）若|z+1【解】（1）z=z1?z2所以z1=2?8（2）因?yàn)閨z+1化簡(jiǎn)，得2a2?3a?5當(dāng)a=?1時(shí)，z=0，|z+i|=1；當(dāng)【綜合運(yùn)用】10．下列復(fù)數(shù)與21A.cos(?π3)+isin(?C.cos(?π3)+isin(?【答案】C【解】21?3i=2(而cos(?π3)+isin(?4π3)=cos11．已知復(fù)數(shù)z=a+bi(A.3 B.2 C.5 D.3【答案】C【解】因?yàn)?025=4×506所以ai2025+2=2?ai=b+i.所以a12．[2024年九省聯(lián)考]【多選題】已知復(fù)數(shù)z,w均不為0，則（）A.z2=|zC.z?w=【答案】BCD【解】設(shè)z=a+對(duì)于A，z2|z|2是實(shí)數(shù)，故A對(duì)于B，zz=z2z?z.又z?z對(duì)于C，z?w=a?c+(b?d)i，則z?對(duì)于D，|=a所以|zw|=|z||w|，13．已知|z1|=|z2|=|z1?z2【答案】3【解】由復(fù)數(shù)幾何意義結(jié)合題中等式，可知原點(diǎn)、z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.從而易得|z1+14．已知(1（1）求z1（2）若復(fù)數(shù)z滿足|z?z1|=2,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，且點(diǎn)【解】（1）由題設(shè)，得z1=11（2）設(shè)z=m+ni，則