PAGE1-第一節隨機事務的概率[考綱傳真]1.了解隨機事務發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義及頻率與概率的區分.2.了解兩個互斥事務的概率加法公式．1．概率(1)定義：在相同的條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事務A發生的頻率會在某個常數旁邊搖擺，即隨機事務A發生的頻率具有穩定性．這時這個常數叫作隨機事務A的概率，記作P(A)，有0≤P(A)≤1.(2)頻率反映了一個隨機事務出現的頻繁程度，但頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，因此，人們用概率來反映隨機事務發生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事務概率的估計值．2．互斥事務與對立事務(1)互斥事務：在一個隨機試驗中，我們把一次試驗下不能同時發生的兩個事務A與B稱作互斥事務．(2)對立事務：在每一次試驗中，兩個事務不會同時發生，并且肯定有一個發生的事務A和eq\x\to(A)稱為對立事務．3．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必定事務的概率：P(A)＝1.(3)不行能事務的概率：P(A)＝0.(4)互斥事務的概率加法公式：①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．(5)對立事務的概率：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)事務發生的頻率與概率是相同的． ()(2)在大量的重復試驗中，概率是頻率的穩定值． ()(3)對立事務肯定是互斥事務，互斥事務不肯定是對立事務． ()(4)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中獎的概率． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改編)一個人打靶時連續射擊兩次，事務“至少有一次中靶”的對立事務是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶D[“至少有一次中靶”的對立事務是“兩次都不中靶”．]3．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面對上恰有5次”是()A．必定事務 B．隨機事務C．不行能事務 D．無法確定B[拋擲10次硬幣正面對上的次數可能為0,1,2，…，10，都有可能發生，正面對上5次是隨機事務．]4．(教材改編)有一個容量為66的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5，23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5，35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.依據樣本的頻率分布估計，數據落在[27.5,43.5]內的概率約是________．eq\f(1,2)[由條件可知，落在[27.5,43.5]內的數據有11＋12＋7＋3＝33(個)，故所求概率約是eq\f(33,66)＝eq\f(1,2).]5．(2024·濟南模擬)從一箱產品中隨機地抽取一件，設事務A＝{抽到一等品}，事務B＝{抽到二等品}，事務C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事務“抽到的產品不是一等品”的概率為________．0.35[∵事務A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事務“抽到的產品不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.]隨機事務之間的關系1．在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯通卡，從中任取2張，若事務“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事務是()A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡A[至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯通卡”，“2張全是聯通卡”兩個事務，它是“2張全是移動卡”的對立事務．]2．對飛機連續射擊兩次，每次放射一枚炮彈，設A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事務是________，互為對立事務的是________．A與B，A與C，B與C，B與DB與D[設I為對飛機連續射擊兩次所發生的全部狀況，因為A∩B＝?，B∩C＝?，A∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，B與C，A與C，B與D為互斥事務．而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事務．][規律方法]推斷互斥、對立事務的兩種方法(1)定義法：推斷互斥事務、對立事務一般用定義推斷，不行能同時發生的兩個事務為互斥事務；兩個事務，若有且僅有一個發生，則這兩事務為對立事務，對立事務肯定是互斥事務．對立事務是互斥事務的充分不必要條件．(2)集合法：①由各個事務所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事務互斥．②事務A的對立事務eq\x\to(A)所含的結果組成的集合，是全集中由事務A所含的結果組成的集合的補集．隨機事務的概率與頻率【例1】(2024·全國卷Ⅱ)某險種的基本保費為a(單位：元)，接著購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：上年度出險次數01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調查了該險種的200名續保人在一年內的出險狀況，得到如下統計表：出險次數01234≥5頻數605030302010(1)記A為事務：“一續保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；(2)記B為事務：“一續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；(3)求續保人本年度平均保費的估計值．[解](1)事務A發生當且僅當一年內出險次數小于2.由所給數據知，一年內出險次數小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.(2)事務B發生當且僅當一年內出險次數大于1且小于4.由所給數據知，一年內出險次數大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數據得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調查的200名續保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.[規律方法]1.概率與頻率的關系頻率反映了一個隨機事務出現的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事務發生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事務概率的估計值．2．隨機事務概率的求法利用概率的統計定義求事務的概率，即通過大量的重復試驗，事務發生的頻率會漸漸趨近于某一個常數，這個常數就是概率．某保險公司利用簡潔隨機抽樣的方法，對投保的車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．[解](1)設A表示事務“賠付金額為3000元”，B表示事務“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保額為2800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3000和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設C表示事務“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機的有0.1×1000＝100(位)，而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機的有0.2×120＝24(位)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計概率是P(C)＝0.24.互斥事務與對立事務概率公式的應用【例2】某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事務分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．[解](1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事務A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事務為M，則M＝A∪B∪C．∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000)，故1張獎券的中獎概率約為eq\f(61,1000).(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事務N，則事務N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事務，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000)，故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).[規律方法]困難事務的概率的兩種求法(1)干脆求法，將所求事務分解為一些彼此互斥的事務，運用互斥事務的概率求和公式計算．(2)間接求法，先求此事務的對立事務的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解(正難則反)，特殊是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡便．某學校在老師外出家訪了解學生家長對孩子的學習關切狀況活動中，一個月內派出的老師人數及其概率如下表所示：派出人數≤2345≥6概率0.10.460.3