山東省臨沂市蘭山區20212022學年高二上學期開學考試數學（原卷版）（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（每題3分，共15題，45分）1.若復數$z=a+bi$（其中$a,b$為實數），且$|z|=1$，則$a$和$b$的關系是：A.$a^2+b^2=1$B.$a^2b^2=1$C.$a+b=1$D.$ab=1$2.設集合$A=\{x|x^25x+6=0\}$，則$A$中的元素個數為：A.1B.2C.3D.43.已知函數$f(x)=x^33x^2+2x$，則$f(x)$的單調增區間是：A.$(\infty,0)$和$(1,+\infty)$B.$(\infty,1)$和$(2,+\infty)$C.$(\infty,1)$和$(1,+\infty)$D.$(0,1)$和$(2,+\infty)$4.若直線$l$的方程為$y=2x+1$，則直線$l$與$x$軸的交點坐標為：A.$(0,1)$B.$(1,0)$C.$(0,1)$D.$(1,0)$5.在直角坐標系中，點$P(1,2)$關于$y$軸的對稱點的坐標是：A.$(1,2)$B.$(1,2)$C.$(1,2)$D.$(1,2)$6.若等差數列$\{a_n\}$的公差為3，且$a_1+a_4=20$，則$a_2$的值為：A.5B.7C.9D.117.若等比數列$\{b_n\}$的公比為2，且$b_1\cdotb_3=32$，則$b_2$的值為：A.2B.4C.8D.168.若二次函數$y=ax^2+bx+c$的圖像開口向下，且頂點坐標為$(2,3)$，則$a$的取值范圍是：A.$a>0$B.$a<0$C.$a=0$D.無法確定9.若三角形$ABC$的內角$A,B,C$的對邊分別為$a,b,c$，且$a=5,b=8,C=120^\circ$，則$c$的長度為：A.$3$B.$4$C.$6$D.$7$10.若圓$O$的方程為$x^2+y^2=4$，則圓$O$的直徑長度為：A.$2$B.$4$C.$6$D.$8$11.若函數$f(x)=\ln(x^21)$的定義域為$D$，則$D$為：A.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(\infty,1]\cup[1,+\infty)$C.$(1,1)$D.$[1,1]$12.若矩陣$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的行列式為$D$，則$D$的值為：A.$2$B.$2$C.$4$D.$4$13.若向量$\vec{a}=(1,2)$與向量$\vec{b}=(3,4)$的點積為$S$，則$S$的值為：A.$7$B.$10$C.$13$D.$16$14.若函數$y=\sin(x)$在區間$[0,\pi]$上的最大值為$M$，則$M$的值為：8.填空題（每題2分，共5題，10分）1.若等差數列{an}的公差為3，且a11，則a5的值為_______。2.若等比數列{bn}的公比為2，且b11，則b4的值為_______。3.若函數f(x)x22x1在xa時取得最小值，則a的值為_______。4.若直線l的方程為y2x1，則直線l與y軸的交點坐標為_______。5.若圓O的方程為x2y24，則圓O的半徑長度為_______。9.解答題（每題10分，共3題，30分）1.已知函數f(x)x33x2，求f(x)的單調區間和極值。2.已知三角形ABC的三個內角分別為A60circ，B70circ，C50circ，求三角形ABC的面積。3.已知矩陣Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，求矩陣A的逆矩陣。10.應用題（每題15分，共2題，30分）1.某超市的銷售額y（萬元）與廣告投入x（萬元）之間的關系可以表示為y2x10。若超市想要通過增加廣告投入來提高銷售額，請問廣告投入至少需要增加多少萬元才能使銷售額達到30萬元？2.某工廠生產一種產品，每件產品的成本為200元，售價為300元。若工廠每月的生產成本為10000元，請問工廠每月至少需要銷售多少件產品才能實現盈利？11.探究題（每題20分，共2題，40分）1.已知函數f(x)x44x36x2，求f(x)的所有零點。2.已知函數g(x)ln(x21)，求g(x)的定義域和值域。12.實驗題（每題25分，共2題，50分）1.請設計一個實驗來驗證等差數列的通項公式。2.請設計一個實驗來驗證等比數列的通項公式。13.計算題（每題30分，共2題，60分）1.已知函數h(x)x33x22x，求h(x)的導數和積分。2.已知函數k(x)e2xsin(x)，求k(x)的導數和積分。14.分析題（每題35分，共2題，70分）1.已知函數f(x)x22x1，求f(x)的單調區間、極值和拐點。2.已知函數g(x)1x2，求g(x)的單調區間、極值和拐點。15.綜合題（每題40分，共2題，80分）1.已知函數f(x)x33x22x和g(x)x22x1，求f(x)和g(x)的交點坐標。2.已知函數h(x)e2xsin(x)和k(x)e2xcos(x)，求h(x)和k(x)的交點坐標。一、選擇題答案：1.B2.C3.D4.A5.B6.C7.D8.A9.B10.C11.D12.A13.B14.C15.D二、填空題答案：1.72.83.14.(0,1)5.2三、解答題答案：1.單調增區間：(∞,1)，(2,+∞)；單調減區間：(1,2)；極小值點：x=1，極小值：f(1)=2；極大值點：x=2，極大值：f(2)=2。2.三角形ABC的面積S=1/2ABACsin(B)=1/211sin(70°)≈0.48。3.矩陣A的逆矩陣為A^1=1/(1423)beginpmatrix4&23&1endpmatrix=1/2beginpmatrix4&23&1endpmatrix。四、應用題答案：1.廣告投入至少需要增加10萬元。2.工廠每月至少需要銷售2001件產品才能實現盈利。五、探究題答案：1.f(x)的所有零點為x=0，x=1，x=2。2.g(x)的定義域為(∞,1)∪(1,1)∪(1,+∞)，值域為(∞,0]。六、實驗題答案：1.實驗步驟：選取一個等差數列，如1,3,5,7,9，計算前n項和Sn，觀察Sn與n的關系，驗證等差數列的通項公式Sn=n(a1+an)/2。2.實驗步驟：選取一個等比數列，如2,4,8,16,32，計算前n項和Pn，觀察Pn與n的關系，驗證等比數列的通項公式Pn=a1(1r^n)/(1r)。七、計算題答案：1.h'(x)=3x^26x+2，h(x)的積分=x^4/4x^3+x^2+C。2.k'(x)=2e^2xsin(x)+e^2xcos(x)，k(x)的積分=1/2e^2xsin(x)1/2e^2xcos(x)+C。八、分析題答案：1.f(x)的單調增區間：(∞,1)，(1,+∞)；單調減區間：(1,1)；極小值點：x=1，極小值：f(1)=2；極大值點：x=1，極大值：f(1)=2；拐點：x=0。2.g(x)的單調增區間：(∞,0)，(0,+∞)；單調減區間：無；極小值點：x=0，極小值：g(0)=0；極大值點：無；拐點：x=0。九、綜合題答案：1.f(x)和g(x)的交點坐標為(0,1)，(1,0)。2.h(x)和k(x)的交點坐標為(0,0)。1.復數：復數的加減乘除、模、共軛復數。2.集合：集合的交并補、集合間的關系、集合的元素個數。3.函數：函數的定義域、值域、單調性、極值、拐點、奇偶性、周期性。4.數列：等差數列和等比數列的通項公式、前n項和公式。5.解三角形：正弦定理、余弦定理、面積公式。6.矩陣：矩陣的加減乘除