第17課垂徑定理

___________3.3

M課后培優練

一J培優第一階一基礎過關練

一、單選題

1.如圖,在（0中，。。，八8于點。，4。的長為3cm,則弦4B的長為（）

A.4cmB.6cnC.8cmD.10cm

【答案】B

【分析】根據垂徑定理求出41=8O=3cm即可.

【解析】解：TAS為非直徑的弦，ODJ.AH,

：.AD=BD=3cm,

/.AB=AD+BD=6cm.

故選B.

【點睛】本題考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題關鍵.

2.下列命題中假命題是（）

A.平分弦的半徑垂直于弦B.垂直平分弦的直線必經過圓心

C.垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧D.平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦

【答案】A

【分析】根據垂徑定理及其推論分別進行判斷.

【解析】A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；

B、垂直平分弦的直線必經過圓心，所以B選項為真命題：

C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧，所以C選項為真命題；

D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦，所以D選項為真命題.

故選：A.

【點睛】木題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和

結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如

果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理，也考查了

垂徑定理的性質.

3.往圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬A5=48cm,水的最大深度

為16cm,則圓柱形容器的橄面直徑為（）cm.

A.10B.14C.26D.52

【答案】D

【分析】如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O,過。作ODLAB于。，交圓于C,設圓的半

徑為「，而CO=16,。8=匚。￡>=~16,再利用勾股定理建立方程即可.

【解析】解：如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O,過。作。于。，交圓于C,

則AQ=8Q,A8=24,

2

設圓的半徑為r,而CD=16,

\OB=0D=r-16,

\r2=（r-16『+24、

解得：r=26.

圓柱形容器的截面直徑為52cm.

故選D

【點睛】本題考查的是垂徑定理的實際應用，作輔助線構建符合垂徑定理的模型是解本題的

關鍵.

4.己知。O的直徑A8=10,弦CO_LAB于點M,若0M：04=3：5,則弦AC的長度（）.

A.2A/5B.4&C.3D.20或4右

【答案】D

【分析】分兩種情形：當點M在線段0A上或點M在線段AO的延長線上時，分別求解即

可.

【解析】解：如圖1,??718=10,弦CO_LAB于點M.若OM：OA=3：5,

o

：.OA=OC=5,OM=3,AM=8,

：?CM=>JOC2-OM2=4,

AC=JCM2+AM-=4Js：

如圖2,?.?AB=10cm,弦CQL43于點M.若OM：OA=3：5,

：?CM=^IOC2-OM2=4,

**-AC=JCM2+AM2=2N/5,

綜上所述：弦4c的長為4石或2石.

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理.解此類題目要注意將圓的問題轉化成三角形的問

題再進行計算.

5.如圖，在半徑為5的圓。中，AB,CO是互相垂直的兩條弦，垂足為P,且48=C/X8,

【答案】C

【分析】作0M_LA8于例，0心CD于N,根據垂徑定理、勾股定理得：0M=0N=4,再根

據四邊形MONP是正方形，也可求解.

【解析】作。于M,ONLCD于■N,連接。從01),

；.OM={o百_BM?=3

?；AB=CD=8,

：.0N=0M=4,

??,弦血C。互相垂直，

:.NDPB=90。,

???0/必_1_八8于知，ON工CD千N,

，NOMP=NONP=90。

，四邊形MON〃是矩形，

'：OM=ON,

???四邊形MONP是正方形，

：.OP=3y/2.

故選C.

【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解題的關鍵是正確地作出輔助線.

6.如圖，0。的半徑為5,弦A8=8,點M是弦A8上的動點，則（）

A.4<OM<5B.3<OM<5C.3<OM<5D.3<OM<5

【答案】D

【分析】過。作于AT,則OAT為OW變化過程中的最小值，由垂徑定理可求得

MB再由勾股定理可求得OMI另可知OM變化過程中的最大值等于圓半徑，如此問題

可以得解.

【解析】解：如圖，過。作。于AT,則OAT為OM變化過程中的最小值，

由垂徑定理可知M5=4,

??'。8=5,：?0M'=3,

又有0M變化過程中的最大值等于圓半徑5,

.??30。忙5,

故選D.

【點睛】本題考查垂徑定理的應用，熟練掌握垂徑定理、勾股定理及垂線段的性質是解題關

鍵.

7.如圖，在平面直角坐標系中，與y軸相切于原點0,平行于x軸的直線交。A干M、

N兩點，若點M的坐標是（-8,-4）,則點N的坐標為（）

A.（一2,-4）B.（-1,-4）C.（-3,-4）D.（-1.5,-4）

【答案】A

【分析】作ABLMN于8,連接AM,如圖，設。A的半徑為「，先根據切線的性質得0A=r,

則點A的坐標為（-r,0）,再利用垂徑定理得8M=8M利用MN〃入?軸，M（-8,-4）,得到

B點坐標為（』-4）,然后在中，根據勾股定理得42+（8-「）2=產，解得行5,則

BM=BN=3,易得N點坐標為（-2,-4）.

【解析】解：作A8_LMN-r3,連接AM,如圖，

設。A的半徑為r,

?.?0A與)，軸相切于原點O,

:.OA=r,

???點A的坐標為(-/，0),

工MN,

:?BM=BN,

；MN〃x軸，M(-8,-4),

???8點坐標為(-r,-4),

在心△48A/中，八8=4,AM=r,8M=8-八

AB2+BM2=AM2>

：.42+(8-r)2=r,解得『5,

???BM=3,

:?BN=3,

???N點坐標為(-2,-4),

故選：A.

【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一

半構建在一個直角三角形里，運用勾股定理求解.

8.如圖，48為。。的弦，點C在49上，4c=4,8c=2,CO_LOC交。。于點。，則CO

的長為()

AB

A.V2B.3C.2>/2D.3&

【答案】C

【分析】過點。作OE_LA8于點E,連接OA,OD,根據垂徑定理可得AE=8E=3,從而得

到CE=1,然后設OE=x,根據勾股定理可得

OC2=OE2+CE2=X2+\,OB2=OA2=0E2+AE2=x2+9,從而得到CD2=OB2-OC2=S，

即可求解.

【解析】解：如圖，過點0作。從LA8于點E,連接04,OD.

:.AE=BE=-AB,

2

VAC=4,BC=2,

:.BA=6,

：.AE=BE=3,

：,CE=\,

設0E=x,

:.OC-=OE1+CE1=X2+1,OD2=OA2=OE2+AE2=x2+9,

VCD10C,

:.CD2=OD2-OC^x2+9-|x2+1）=8,

，C￡>=2&或一2&（舍去）.

故選:C

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理.，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關健.

9.如圖，AB是半圓O的直徑，入B=20,弦/）C〃A4,E是QC上的點，連結OE,EB.若

OE=EB,EC:ED=3:\3,則OE的長為（）

A.769B.8C.而D.5V2

【答案】C

【分析】過點。作OW_LCO,過點E作EAUAB,連接。。，設EC=3x,則EQ=13x,先證明

四邊形MOVE是矩形，求出式的值，再根據勾股定理求出0M及0E的值.

【解析】解：過點。作OM_LC。，過點E作EN_LA8,連接0C,垂足分別為點M、N,

AONB

?IEC:ED=3:13,

，設￡C=3x,則￡D=13x,

CD=l6.v>

'：OM±CD,

：,CM=DM=8x,

：.ME=CM-CE=^x-3x=5x,

'：OMA-CD,DC〃AB，ENIAB,

:.NMON=ZOME=ZONE=93°,

???四邊形MOVE是矩形，

：.ON=ME=5x,

'：AB=20t

.*.05=10,

?；OE=EB,ENLAB,

：?ON=BN=5,

5x=5,即x=1,

，CM=8,

?'-OM=>1OC2-CM2=VlO2-82=6?

：?OE=yl0M2+EM2=<6+52=屈

故選：C

【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握垂徑定理的性質，靈活運

用所學知識解決問題.

10.如圖，是。。的弦（#直徑），點C是弦AH上的動點（不與點A,，重合），過點C

AC

作垂直于0C的弦0E.若設。的半徑為「，弦A8的氏為“，生=機，則弦OE的長（）

D

A.與，叫機的值均有關B.只與，”的值有關

C.只與「，，〃的值有關D.只與“，，〃的值有關

【答案】D

【分析】連接AD、BE,先由垂徑定理得8=CE,再根據一AC。°ECB得EC?=AC.CB，

用a和m表示出CE的長，即可得到DE的長.

【解析】解:如圖，連接AD、BE,

〈DE為。的弦，OC±DE,

：,CD=CE,

'：ZADC=/EBC，ZACD=4ECB,

/.^ACD&ECB,

.ACCD

..=，

ECCB

EC2=ACCZ??

..AC

.----=m,

BC

AC=mBC,

,:AB=ci,

機+1w+1(wi+1)-

m+\

故DE的長只與。和，〃的值有關.

故選：D.

【點睛】本題考查垂徑定理和相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是熟練運用垂徑定理和

相似三角形的性質和判定定理.

二、填空題

11.垂直于弦的直徑弦，并且______弦所對的兩條弧.

符號語言：

?.?①。。是直徑，②CO_L/W

：.（3）AE=,④AC=,⑤4O=.

D

【答案】平分平分BEBCBD

【解析】略

12.某隧道口橫截面如圖所示，上部分是圓弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高點E與。C

的距離E"為4米，且弧。。所在圓的半徑為10米，則路面A3的寬度為米.

【答案】16

【分析】先根據勾股定理O尸=8米，根據垂徑定理求出。2=CF=8米，然后根

據四邊形4BC。為矩形，得出AB=/）C=16米即可.

【解析】解：??上尸=4米，OC=OE=10米，

：,OF=OE-EF=6米,

在M/kOEC中，CF=756^0^=8米，

,：OF1DC,DC為弦,

：.DF=CF=S米，

，OC=2x8=16米，

???四邊形ABC。為矩形，

?MB=OC=16米，

故答案為：16.

【點暗】本題考查勾股定理，垂徑定理，矩形性質，掌握勾股定理，垂徑定理，矩形性質是

解題關鍵.

13.《九章算術》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數學專著，與古希臘的《幾何

原本》并稱現代數學的兩大源泉.在《九章算術》中記我有一問題”今有圓材埋在壁中，不

知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？“小輝同學根據原文題意，畫出圓材

截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道48=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為

______寸.

【答案】26.

【分析】設：。的半徑為「，在MAAQO中，AD=5,OD=r-1,OA=r,則有產=夕+（/一1）2,

解方程即可.

【解析】設。的半杼為

在肋AADO中，AD=5,OD=r-\yOA=r,

則有產=52+（r-l）2,

解得r=13,

???。的直徑為26寸，

故答案為26.

【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問

題，屬于中考常考題型.

14.如圖，Z/<4C=3（r,在射線AC上順次截取4）=3。〃，08=10。〃，以。8為直徑作O

交射線”于￡、產兩點，則線段E”的長是cm.

【分析】過。點作OH_LEF=H，連OF,根據垂徑定理得曰7="”，在RtDAOH中,

AO=AD+OD=3+5=8.Z4=30°,利用含30度的尚角二角形二邊的關系可得到

OH=^OA=4,再利用勾股定理計算出HF,由打=29?得到答案.

【解析】解：過。點作0〃_L杯子”，連OF,如圖

在RtDAOH中，AO=AD+OD=3+5=8,ZA=30°,

則^OA=4,

在RiDOIIF中，OH=4,0F=5,

貝IJHF=-JOF2-OH2=3，

則EF=2HF=&7〃.

故答案為6.

【點睛】本題考查了垂徑定理，含30度的直角三角形三邊的關系以及勾股定理，熟悉相關

性質是解題的關鍵.

15.如圖，48是的直徑，點C是OO上的一點，若8c=3,AB=5,OD_L8c于點

D，則0。的長為.

【分析】根據題意易得/48=90。,83=。。=；3,08=59,則根據勾股定理可求解.

22

【解析】解：???人3足。的直徑,

:.NAC8=90°,

?：0DA.BC、BC=3,

3

:.NODB=90°,BD=CD=-,

2

?:OB=-AB=-

??.在RtZXOQB中，由勾股定理得：OD=病匚茄7=2：

故答案為2.

【點睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵.

16.如圖，在半徑為3的。0中，AB是直徑，AC是弦，。是4。的中點，AC與3。交于點

E.若E是8。的中點，則AC的長是.

【答案】4&

（分析】連接OD,交AC于F,艱據垂徑定理的推論得出OO_LAC,AF=CF,進而證得DF=BC,

根據三角形中位線定理求得0廣=38。=/。凡從而求得BC=QF,利用勾股定理即可求得

AC.

【解析】解：如圖，連接。。交人。于E

?.?。是AC的中點,

：.OD1.AC,AF=CF,

：.ZDFE=90°,

'：OA=OB,AF=CF,

：.OF=；BC,

?「AB是直徑，

:.ZACB=90°,

在4E”。和4ECB中,

NDFE=NBCE=90。

/DEF=NBEC,

DE=BE

:.△EFD94ECB(AAS),

:.DF=BC,

：,OF=^DF,

'：0D=3,

：.OF=l,AB=2OD=6,

:?BC=2,

?*-AC=y/A^-BC2=V62-22=4>/2?

故答案為：Mi.

【點睛】本題考杳垂杼定理.勾股定理,熟練掌樨全等二角形的判定與件質和垂件定理及其

推論是解題的關鍵.

三、解答題

17.如圖，在(。中，AB是直徑，。。是弦，CZ)_L4B,垂足為P,若AP=8,8P=2.求。。

的長.

A\----------~B

【答案】8

【分析】連接OC,求出。。，。夕的長，再根據垂徑定理可得CZ)=2PC,然后根據勾股定理

求出PC,即可求解.

【解析】解：連接OC，

??.AB=10,

：,OB=OC=-AB=5,

2

：.OP=OB-BP=5-2=3,

'：CDLAB,

：.CD=2PC,

在RiAOPC中,

VOC=5,OP=3,

：?PC=y/0C2-0P2=xl52-3>2=4?

ACD=2PC=8.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關鍵.

18.如圖，已知為。O直徑，CO是弦，且A8_LC。于點E,連接AC、BC.

(I)求證：NCAB=NBCQ；

(2)若成=1,€7)=6,求。的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)5

【分析】(1)根據垂徑定理和圓的性質，等弧的圓周角相等，即可求證.

(2)根據勾股定理，求出各邊之間的美系，即可確定半徑.

(1)

為。直徑，CD是弦，且AB_LCO于點￡,

??BC=BD，

Z.CAB=^HCDx

(2)

連接OC,如圖，

設。的半徑為R,則OE=OB—EB=R—l,

XCE=-CD=-x6=3,

22

在中，由勾股定理可得

OC2=OE2+CE2?即距=(R-l尸+3’,

解得R=5,

；?OB=5

【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構

建方程解決問題.

19.如圖，在RIA4BC中，/84C=90,以點A為圓心，4c長為半徑作圓，交BC

于點D,交八B于點E,連接OE.

⑴若ZABC=20°,求NDEA的度數;

(2)若AC=3,A8=4,求CZ)的長.

【答案】(1)/岫=65。

(2)CD=y

【分析】(1)連接AO,求出NDAE，再利用等腰三角形的性質解決問題即可.

(2)如圖，過點A作A/_LCZ),垂足為產.利用面積法求出AF,再利用勾股定理求出。尸,

可得結論.

【解析】(I)解：如圖，連接八。.

.-.ZACD=70°.

?.AC=AD,

：.ZACD=ZADC=l(r,

：.ZCAD=180°-70°-70°=40°,

.-.ZnAE=90°-40°=50o.

又AD=AE,

：.ZDE4=ZADE=-x(18(y,-50o)=650.

2

(2)解：如圖，過點A作AF_LCO,垂足為尸.

【點睛】本題考查垂徑定理，圓心角，弧，弦之間的關系等知識，解題的關鍵是熟練掌握基

本知識，屬于中考常考題型.

20.如圖，/）是。。弦的中點，4是。。上的一點，OA與BC交于點E,己知4。=8,

BC=i2.

(1)求線段0。的長；

(2)當=QBE時，求DE的長.

【答案】(1)0。=2":

Q)DE=2.

【分析】(1)連接0B,先根據垂徑定理得出0。_LBC,BI=-BC,在Ri88中，根

2

據勾股定理即可得出結論；

(2)在RtZ\E。。中，設BE=x,則OE=&.r，DE=6-x,再根據勾股定理即可得出結

論.

【解析】⑴解：連接0以

???0。過圓心，且。是弦8c中點,

：.OD1BC,BD=-BC,

2

在RtAfiOQ中，OD2+BD2=BO2.

VBO=AO=S,80=6.

：?OD=277:

(2)解：在RlaEOQ中，OD2+ED2=EO2.

設8E=x,則OE=應x,DE=6-x^

A(2V7)2+(6-X)2=(>/2^)2,

解得玉=-16(舍)，9=4.

則。七=2.

【點睛】本題考盒的是垂徑定埋，根據題總作出輔助紋，構造出直角三角形是解答此題的關

產培優第二階一一拓展培優練

一、單選題

1.如圖，點A,3是以CO為直徑的。0上的兩點，分別在直徑的兩側，其中點A是。OB的

中點，若lanNAC8=2,AC=非,則BC的長為（）

A.石

【答案】D

【分析】連接八￡連接AO,延長人。交8。于T.由點A是小8的中點得AJLBC,由

tanZACT=ATCT=2,設CT=2,AT=2k,在RsACT中，AC'=CT2+AT2,可得

（向『=二+（2k）2,推出A=l,根據垂徑定理即可解決問題.

【解析】解：連接A3,連接AO,延長AO交8C于7.

,點A是C￡)B的中點，

：.AT±BC,

'：lanZACT=ATCT=2,

???設CT=A,AT=2k,

在R/」ACT中，AC2=CT2+AT2

百)』2+(2上『，

?M=1,

,：ATA.BC,AT過圓心O,

:,BC=2CT=2,

故選：D.

【點睛】本題考食解直角三角形，至徑定埋和勾股定埋等知識，解題的關鍵是學會添加常用

輔助線，構造直角三角形解決問題.

2.如圖，。。的直徑為10,A、B、C、。是。O上的四個動點，且44=6,CD=8,若點、E、

產分別是弦48、。。的中點，則線段E尸長度的取值范圍是()

A.\<EF<7B.2<EF<5C.\<EF<7D.I<EF<6

【答案】A

【分析】連接。￡、OF、04、0C,由垂徑定理得0E_L48,OF上CD,

AE=-AB=3,Cf=-CD=4,由勾股定理得OE=4,OF=3,當AB〃C。時，E、0、尸三

22

點共線Eb取最值，其中當AB、CO位于O的同側時，線段EF的長度最短，此時

EF=OE-OF=\,，當A8、CD位于O的兩側時，線段EF的長度最:長，此時EF=OE+OF=7,

即可得出結論.

【解析】連接OE、OF、OA、0C,如圖所示：

D

?.?(DO的直徑為10,

?.?點￡、E分別是弦A3、CO的中點，AB=6,CD=8,

/.OELAB,OFLCD,AE=-AB=3,CF=-CD=4,

22

?*-OE=y]OA2-AE2=V52-32=4?OF=y/oC2-CF2=A/52-42=3

當AB〃C。時，E、O、尸三點共線，E尸取得最值：

①當A"、CO位于。的同側時，線段K"的K度最短，此時/以.一。“-。尸一】，

②當人8、位于O的兩側時，線段EE的長度最長，此時EF=OE+OP=7,

??.線段石”的長度的取值范圍是1<EF<7,

故選：A.

【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問題，熟練掌握垂徑定理和勾股定

埋是解題的關鍵.

3.如圖，在平面內C。，05,。。3兩兩外切，其中0。的半徑為8,ca,CO"勺半徑

都為5.用一張半徑為/?的圓形紙片把這三個圓完全覆蓋，則R的最小值為()

【答案】A

【分析】當半徑為R的圓形紙片與三個圓相切時，扭的值最小，根據兩圓相切的性質求解即

可.

【解析】解：如圖，當(。與三個已知圓相切時，/?的值最小，

???四個圓相切，儲的半徑為8,。2，。3的半徑都為5,O的半徑為R

0102=0/03=5+8=13,OO2-OOj=R-5，OiO=R-S，。2。產5+5=10?

??。0_1_02。3,設垂足為/，

：JO2=5,

：.0=7132-52=12.

:./0=12-(/?-8)=20-/?,

22

??.底+0八=OO2,即52+(20-/?)=(/?-5),

40

解得,/e=y,

【點睛】本題考食了相切圓的性質和勾股定埋，解題關鍵是明確兩圓相切時，圓心矩與半徑

的關系，根據勾股定理列出方程.

4.如圖，A8是半圓0的直徑，A8=20,弦0C〃A8,E是0C上的點，連結。E,EB,若

OE=EB,￡C:EQ=3:13,則。￡的長為（）

A.>/69B.8C.而D.5&

【答案】C

【分析】過點。作OMJLC。，過點E作百V1A8,連接OC,設EC=3x,則E/X13.J先證明

四邊形MONE是矩形，求出式的值，再根據勾股定理求出0M及OE的值.

【解析】解：過點。作過點E作田V_L48,連接0C,垂足分別為點M、M

■:EC:ED=3:13,

???設￡C=3x,則ED=13x,

CD=16x,

'：OMA.CD,

???CM=OM=8x,

:.ME=CM-CE=Sx-3x=5x,

,：OMA.CD,DC〃AB，ENIAB、

:.NMON=NOME=NONE=9）。，

???四邊形MONE是矩形，

：.ON=ME=5x,

VAB=20,

/.03=10,

,：OE-EB,ENLAB,

：.ON=BN=5,

5x=5>即4I,

；.CM=8,

-OM=yloC'-CM2=VlO2-82=6?

???OE=y/OM2+EM2=V62+52=向

故選：C

【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握垂徑定理的性質，靈活運

用所學知識解決問題.

5.如圖，Rl-ABC,NC=90>,AB=5cm,4C=4cv〃，點尸、Q同時從點A出發，點尸在

邊AC上以2.5m/s的速度向點C運動，點。在人B邊上以2c加；$的速度向點4運動，連接

同時，點。從點4出發，以的速度向點A運動，以。為圓心，la〃為半徑作0O,

當直線PQ被。與所截得線段長為時，/的值為（）

A7T9D7T29八7c7T14

A.B.三6或一$C?-sD.或——s

555]5555

【答案】c

【分析】畫出符合題意的圖形，先利用相似證明ZAQP=4CB=90。，利用垂徑定理表示

弦的一半的長度，再用含，的代數式表示32,利用勾股定理建立方程求解.

【解析】解：由題意得：AP=2.5t,AQ=2t,

???當=當=2，NA為公共角，???，”—、A8C,所以乙4QP=4CH=90。

APAB5

所以PQ/A8,

當所截弦長MN為1.2cm時，，WQ=0.6,

?半徑OB=1,A?2=0.8.

AQ=2t,OB=i,.?.0。=5-3/

/.5-3z=0.8,解得

如圖，由題意得：AP=2.5t,AQ=2t,同理：ZAQP=ZACB=90°

c

p

當所截弦長MN為1.2"〃時，，WQ=0.6,

???半徑。6=1,??.32=0.8.

AQ=2ttOB=t,：.OQ=3t-5

?Q

所以3/-5=Q8,解得；，=三

7029529

當/=時，AC=WX>9>4,此時點。不在AC邊上，舍去.

151526

故選C

【點睛】本題考查的是垂徑定理，動態問題的圖形分析，相似三角形的判定與性質，是典型

的難度選擇題，掌握以上知識點是解題關鍵.

6.如圖，直徑AB、C。相互垂直，P為弧8C上任意一點，連PC、PA.PD、PB,下列結

CP+DPAP

論：①NAPC=NDPE；?ZAED=ZDFA；?———=—；其中正確的是（）

BP+APDP

A.①③B.只有①C.只有②D.①②③

【答案】A

【分析】①利用垂徑定理，可得4C=AO,乂由圓周角定理，即可證得NAPC=NQPE；

②由于NA不一定等于NO,故/AE￡>=/。用錯誤；

③連4C,A。,8D,將△ACP繞A點順時針旋轉90。,使AC與A。重合（由48J_C。知AC=AO）

點P旋轉到。點，可證得△”（?是等腰直角三角形，CP+DP=6.AP,同理可得

BP+AP=y/2DP,繼而可證得結論.

【解析】解：???直徑人8、CO相1L垂直，

?,AC=AD?

工ZAPC=ZDPE：

故①正確：

V^AED=^DPE+^D,NOR\=NAP”+NA,

???〃為8c上任意一點，

???NA不一定等于N。，

.,.NAEO不定等于ND小；

故②錯誤：

連AC,AD,BD,將AACP繞A點順時針旋轉90。，使AC與4D重合（由AB_LC。知AC=

AD）點P旋轉到。點，

：.AQ=AP,CP=QD,

用。=90°,AQ=AP,

VNAOQ+NAOP=ZACP+Z4DP=180°,

???/）,D,。三點共線，

，NQ=NAPO=45。，

2

:.P^=PA+A^f

:?PQ=C.AP,

即CP+DP=4iAP,

同理：BP+AP=yf2DP,

.CP+DPAP

…BP+AP~~DP-

故③正確.

故選A.

0

【點睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、旋轉的性質以及勾股定理.此題難度較大，注

意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.

二、填空題

7.如圖，在平行四邊形A8C7）中，4C=3cm,BO=Ji?cm,AC1CD,。。是AA8。的外

接圓，則A8的弦心距等于cm.

I)

【答案】

66

【分析】設AC、4。的交點為G,作圓的直徑AM連接8N,過點。作3_LA4于點”，

過點。作CM_L8。于點M,利用勾股定理計算。C,利用三角函數計和GM,MC,根據

tanZADB=tanZDBC=tanZA/VB=,計算8M利用垂徑定理，三角形中位線定理求

得OF.

【解析】解：設AC、BD的交點為G,

?.?平行四邊形人8CO中，AC=3,BD=?ACA.CD,

:2

CD=VGD-CG=^-1=l,

:.AB=CD=1,NADB=NCBD,

過點。作CMJ_8。于點M

；.CM=CGainZDGC=-x-^==—4i3,

271313

339

=CGco$ZDGC=-x-^-=—V13,

2V1326

；?BM=BG+GM=巫+2后=11舊,

22613

作直徑/IN,連接BN,過點。作。尸_LA8,

則：ZAHN=90°,ZANB=ZADH,

8N=A〃+[anNC3O=lxU=U,

33

:.OF=-BN=—-

26

故答案為：

6

【點睛】本題考查了圓的性質，勾股定理，垂徑定理，三角形中位線定理，平行四邊形的性

質，三角函數的綜合運用，熟練掌握圓的性質，靈活運用三角函數是解題的關鍵.

8.如圖，在OO中,半杼OC=6.。是半杼OC卜一點.日0/)=4.4."是卜的兩

個動點，4403=90。，F是A8的中點，則0尸的長的最大值等于.

【答案】2+舊##舊+2

【分析】由題意易得出當點尸與點。運動至共線時,0尸長度最大.根據垂徑定理可推出^AB。

是等腰直角三角形，設。尸為x,則。產=BF=x-4.再在Rl.8。尸中，根據勾股定理可列出

關于*的等式，解出M再舍去不合題意的值即可.

【解析】'：OF<0D+DF,

???當點尸與點。運動至共線時，0尸長度最大，如圖.

丁廠是A8的中點，

/.0C1AB,AD=8D.

設O/為x,貝ijOF=x-4.

■:N/WB=90°,

??.△A3。是等腰直角三角形，

:.DF=-AB=BF=x-4,

2

在Rt-30F中，OB2=OF2+BF2,UP62=x2+(x-4)2

解得：x=2+x/fZ或x=2-JiZ(舍去)，

???0尸的長的最大值等于2+JiZ.

故答案為：2+V14.

【點睛】本題考查垂徑定理，直角三角形斜邊中線的性質，三角形三邊關系的應用等知識.理

解當點尸與點。運動至共線時，。尸長度最大是解題關鍵.

9.如圖，圓。的半徑為4,點。是直徑八8上定點，AP=\,過P的直線與圓。交于C,D

兩點，則△COO面積的最大值為；作弦。E〃于從則。”的最大值為

【答案】8凈#5：

JJ

【分析】先根據平行線的性質可得NCPB=NCQE,過點。作。/_LCZ）于點尸，設

4CPB=/CDE=6,再解直角三角形可得O產=3sin〃，利用勾股定理可得

CF=V16-9sin26>?然后根據垂徑定理可得CD=2>/16-9sii?6，解直角三角形可得

CH=2jl6sii?/一9sin'J，令入丁目/，，則CH=2J-9（x利用二次函數的性質

13

即可得C〃的最大值，最后根據△COQ的面積為〃即可得出答案.

22

【解析】解：???00的半徑為4,AP=\,

.■.OA=OC=4.OP=OA-AP=3,

DE//AB,

/CPB=/CDE,

如圖，過點。作。F1C7）于點尸，設NCPB=NCDE=e,

c

:.OF=OPsin/CPB=3sin/

CF=4OC'-OF。=>/i6-9sin2d?，

由垂徑定理得：CD=2CF=2《16-9sHe，

C/7=CD-sinZCDE=2V16sin26>-9sin46>,

^x=sin26>,則CH=2Jl6x-9/=2卜（x-9+蔡,

由二次函數的性質可知，當x時，C”取得最大值，最大值為2停=?,

△COD的面積為:OP?C〃=TC"，

則當C"取得最大值時，的面積最大，最大值為4=8,

故答案為：8,y.

【點睛】本題考查了垂徑定理、解直角三角形的應用、二次函數的性質，熟練掌握解直角三

角形的方法和二次函數的性質是解題關鍵.

10.【閱讀理解】三角形中線長公式：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線和第三邊一半的

2222

平方和的兩倍如左圖，在△ABC中，點。是3C中點，則有：AB+AC=2（AD+BD）.

【問題解決】請利用上面的結論，解決下面問題：如右圖，點C、。是以A8為直徑的。O

上兩點，點尸是OB的中點，點E是C。的中點，且NC9=9（F,若AB=8,當AEP8面積

最大時，則。。的長為.

【答案】4y/2

【分析】連接。，肛根據垂徑定理可得。爐+彳8*6①，取。P的中點Q,則。Q"

根據三角形中線長公式可得：O爐+E尸=2（EQ2+l）②，由①?得出EQ=&,可得E點

的軌跡，進而根據三角形中線的性質，以及三角形面積公式，圓上一點到直徑的距離，求得

當EQ_L/18時，△EP8面積最大，進而勾股定理求得砂的長,根據直角三角形斜邊上的中

線即可求解.

【解析】解：如圖，連接COE。，

寧

*/E為。。的中點，

.\OELCD,EP=1cD,

2

，CO2=C￡+O6,

???A8為。。的直徑,AB=8,

/.CO=4,

???0爐=的一（3可=16一;CO?,

.,.OE2+^CD2=16@

如圖，取OP的中點Q,則00=1.

一

22

根據三角形中線長公式可得：OE+EP-=2（EQ+1）?

'：EP=-CD,

2

O爐+；C￡>2=2（EQ2+1）,

即EQ?=g（o￡：2+：cz）2）—l②，

將①代入②得：EQ2=/X16—1=7,

JEQ=近,

???E在以。為圓心0為半徑的圓上運動，

在△O/7T中，。為0B的中點，

,,SEPB=SOPE

設點E到A8的距離為力，由S“E=；OP/,則當〃取得最大值時，S,最大,

??.當EQ_LAB時，h=EQt

在Rt_QE。中，EQ=J7,PQ=1,

:.律=2夜，

:.CD=2PE=4五，

故答案為：4拒.

【點睛】本題考查/三角形中線長公式，垂徑定理，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理,

充分利用三角形中線長公式是解題的關鍵.

11.如圖，8。是。。的直徑，弦交于點A,E是￡侖上一點，連EB交CF于點G,

連接EF,已知4F=6,CG=3,BG=4,給出下列結論：①NBFC=NBEF；②tan/BE/三五:

6

③8石=竺；④S4BEF-98.其中正確的是_______.

42

D

【答案】①?③

【分析】利用垂徑定理可證明NBFONBER利用垂徑定理和勾股定理求得再利

用三角函數可求得sN8M=/刖N8陰的值：證明△G"saGCE,利用相似三角形的性質

可求得EG,即可求得BE的長：證明利用相似三角形的性質可求解.

【解析】解：①:8。是。0的直徑，弦CF_LA8于點A,

,,BC=FB,AF=AC

；./BFC=/BEF：故①正確；

②?.FF=6,CG=3,

：.AG=AC-CG=AF-CG=6-3=3,

在mAA8G中，BG=4,AG=3,

?*.A8=RT7="

tanZBEF=tanZBFA=；故②正確；

AF6

③連接CE,

'：NBFG=NCEG,NGBF=NGCE,

:.△GBFS^GCE,

:?理=空,即

GCGE3GE

:印巴,

4

2743

:.BE=BG+EG=4T----=—；故③正確;

44

④在心△A"中，AF=6,A8=J7,

幣j=回，

?：/BFG=/BEF,NFBG=/EBF,

:?△BFGsABEF,

??.S48E戶三號?蛀?:過位.故④錯誤：

16232

故答案為：O?③.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，三角函數等知

識，證明△/GS/XB砂是解題的關鍵.

12.如圖，在KIAA8C中,NA4C'=9U1以4C.邊的中點。為圓心，!4c為半徑作圓，點

2

。是。。上一?動點，點￡是弦CO的中點，連接A￡,若BC=4,AB=3,則的最小

值是.

1NFBN1

【分析】取0C中點M再取NE=；，推出證明得到

3NMNE3

當A、E、M共線時，4的最小值為人M,利用勾股定理即可求解.

【解析】解：連接。E，取OC中點M再取NE=§,連接NE,ME,MA,

??點E是弦。。的中點，??.OE_LC。，

\ZOEC=^OED=90°,

??點N是0C的中點，ON=CN=NE=LOC=LBC=T,OC=OB=-BC=2,

242

?.BN=3,

：NE=-,

3

.NEBN、

?=----------=31

NMNE

：NENM=NBNE,

,.△ENMS^BNE,

.BEBN“

EMNE

?.EMJBE,

3

，?AE+gBE=AE+El^r>AM,

當A、石、M共線時，AE+：況的最小值為AM,

AB2+MB2=K-U=￥-

故答案為：警

【點睛】本題考查r相似三角形的判定和性質，垂徑定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識

解決問題.

三、解答題

13.如圖，己知48為圓。的直徑，C是弧48上一點，聯結BC,過點。作。O_L8C,垂

足為點E,聯結AO交3C于點F.

(2)如果AFAD=AO2,求NA8C的正弦值；

⑶聯結。凡如果AA。尸為直角三角形，求#的值.

【答案】(1)見解析

(2)/A8C的正弦值為。

4

⑶

【分析】(1)根據垂徑定理可證明￡為8c的中點，再利用中位線定理可得4c=2。，OE//AC,

證明△ACTS/XOE凡可得結論：

(2)連結。凡過點/作;7人LA8,垂足為“，證明△AOBS^A。。可證得AH=gAO,再

證明△ACTgaA””,可得AC=AH,從而可求得sinZ?的值.

SapIFEFE

(3)先得出產=丁年，分當NAO"=90。和NA”O=90。兩種情況討論求得言■即可得出