計算機概率論試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設隨機事件A、B相互獨立，且P(A)=0.5，P(B)=0.4，則P(A∪B)=（）A.0.7B.0.8C.0.9D.12.設X服從正態分布N(μ,σ2)，則當σ增大時，概率P(|X-μ|＜kσ)（）A.增大B.減小C.不變D.增減不定3.若隨機變量X的分布函數為F(x)，則P(X=x0)=（）A.F(x0)B.F(x0-0)C.F(x0)-F(x0-0)D.1-F(x0)4.設隨機變量X與Y相互獨立，且X~N(1,4)，Y~N(2,9)，則Z=X+Y服從（）A.N(3,13)B.N(3,5)C.N(3,-5)D.N(-1,13)5.設離散型隨機變量X的分布律為P(X=k)=ck，k=1,2,3，則c=（）A.1/6B.1/3C.1/2D.16.設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，已知P(X=1)=P(X=2)，則λ=（）A.1B.2C.3D.47.對于任意兩個隨機變量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，則（）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X和Y相互獨立D.X和Y不相互獨立8.設隨機變量X的概率密度為f(x)，則f(x)一定滿足（）A.0≤f(x)≤1B.f(x)為偶函數C.∫(-∞,+∞)f(x)dx=1D.f(x)單調遞減9.設X是一隨機變量，E(X)=μ，D(X)=σ2，則對任意常數C，有（）A.E[(X-C)2]=E[(X-μ)2]B.E[(X-C)2]<E[(X-μ)2]C.E[(X-C)2]>E[(X-μ)2]D.E[(X-C)2]=010.設總體X服從正態分布N(μ,σ2)，X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本，則樣本均值X?服從（）A.N(μ,σ2)B.N(μ,σ2/n)C.N(0,1)D.N(nμ,nσ2)答案：1.A2.C3.C4.A5.A6.B7.B8.C9.C10.B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.設A、B為隨機事件，且P(A)>0，P(B)>0，則（）A.若A、B互斥，則A、B不獨立B.若A、B獨立，則A、B不互斥C.若A、B互逆，則A、B獨立D.若A、B獨立，則P(A|B)=P(A)E.若A、B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)2.下列函數中，可以作為概率密度函數的是（）A.f(x)=sinx，0<x<π/2，f(x)=0，其他B.f(x)=2x，0<x<1，f(x)=0，其他C.f(x)=1/2，-1<x<1，f(x)=0，其他D.f(x)=e^(-x)，x>0，f(x)=0，其他E.f(x)=1/x2，x>1，f(x)=0，其他3.設隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2)，則（）A.概率密度函數的圖象關于x=μ對稱B.當μ=0，σ=1時為標準正態分布C.其分布函數為Φ((x-μ)/σ)D.若Y=aX+b，a≠0，則Y也服從正態分布E.P(X<μ)=0.54.設隨機變量X的分布函數為F(x)，則（）A.F(x)是單調不減函數B.F(x)是右連續函數C.F(-∞)=0，F(+∞)=1D.對任意實數a<b，P(a<X≤b)=F(b)-F(a)E.若X是離散型隨機變量，則F(x)是階梯函數5.設X、Y為隨機變量，E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=1，D(Y)=4，ρXY=0.5，則（）A.E(X+Y)=3B.D(X+Y)=7C.E(XY)=3D.Cov(X,Y)=1E.D(X-Y)=16.設X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本，總體均值為μ，總體方差為σ2，則（）A.樣本均值X?的期望為μB.樣本均值X?的方差為σ2/nC.S2=(1/(n-1))∑(i=1ton)(Xi-X?)2是σ2的無偏估計量D.樣本方差S2的期望為σ2E.若總體X服從正態分布N(μ,σ2)，則(X?-μ)/(σ/√n)服從標準正態分布7.設隨機變量X具有分布律P(X=k)=p(1-p)^(k-1)，k=1,2,…，0<p<1，則（）A.X服從幾何分布B.E(X)=1/pC.D(X)=(1-p)/p2D.P(X>m)=(1-p)^mE.P(X≤m)=1-(1-p)^m8.關于隨機變量的數字特征，下列說法正確的是（）A.期望反映了隨機變量取值的平均水平B.方差反映了隨機變量取值的離散程度C.協方差反映了兩個隨機變量之間的線性相關程度D.相關系數的絕對值不超過1E.若X、Y相互獨立，則Cov(X,Y)=09.設總體X服從二項分布B(n,p)，X1,X2,…,Xm是來自總體X的樣本，則（）A.樣本均值X?的期望為npB.樣本均值X?的方差為np(1-p)/mC.樣本之和Y=∑(i=1tom)Xi服從B(mn,p)D.樣本之和Y=∑(i=1tom)Xi的期望為mnpE.樣本之和Y=∑(i=1tom)Xi的方差為mnp(1-p)10.設隨機變量X和Y的聯合概率分布為|X\Y|0|1||---|---|---||0|a|b||1|c|d|則（）A.a+b+c+d=1B.P(X=0)=a+bC.P(Y=1)=b+dD.P(X=0,Y=0)=aE.若X和Y相互獨立，則ad=bc答案：1.ABDE2.ABCD3.ABDE4.ABCDE5.ABD6.ABCDE7.ABCDE8.ABCDE9.BCDE10.ABCDE三、判斷題（每題2分，共10題）1.若事件A、B相互獨立，則A、B一定互斥。（×）2.對于任意隨機變量X，其分布函數F(x)一定是連續函數。（×）3.設X服從正態分布N(0,1)，則P(X<0)=0.5。（√）4.若隨機變量X的期望E(X)存在，則E(X2)也一定存在。（×）5.設X、Y為隨機變量，若Cov(X,Y)=0，則X和Y一定相互獨立。（×）6.樣本方差S2是總體方差σ2的無偏估計量，樣本標準差S是總體標準差σ的無偏估計量。（×）7.設X服從參數為λ的泊松分布，則E(X)=D(X)=λ。（√）8.若隨機變量X和Y的相關系數ρXY=0，則X和Y一定不相關。（√）9.設總體X服從均勻分布U(a,b)，則樣本均值X?也服從均勻分布U(a,b)。（×）10.設A、B為兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(B)。（×）答案：1.×2.×3.√4.×5.×6.×7.√8.√9.×10.×四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述隨機變量的概念。答案：隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數。對于樣本空間中的每個樣本點ω，隨機變量X(ω)都對應一個實數。它是將隨機試驗的結果數量化，以便于用數學方法進行研究。2.什么是正態分布？它有哪些特點？答案：正態分布是一種常見的概率分布。其概率密度函數為f(x)=(1/(σ√(2π)))e^(-((x-μ)2/(2σ2)))，其中μ為均值，σ為標準差。特點有：圖象關于x=μ對稱；在x=μ處達到峰值；當x離μ越遠，函數值越小；兩個參數μ和σ完全確定分布。3.解釋樣本均值和樣本方差的概念及其作用。答案：樣本均值X?=(1/n)∑(i=1ton)Xi，是樣本數據的算術平均值，用于估計總體均值。樣本方差S2=(1/(n-1))∑(i=1ton)(Xi-X?)2，衡量樣本數據的離散程度，用于估計總體方差。4.簡述大數定律的基本思想。答案：大數定律表明，在大量重復試驗下，隨機事件的頻率近似于它的概率，樣本均值近似于總體均值。即隨著樣本容量的增大，樣本均值依概率收斂于總體均值。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論隨機事件的獨立性與互斥性的關系。答案：若A、B互斥，即AB=?，P(AB)=0，若A、B獨立則P(AB)=P(A)P(B)。互斥事件一般不是獨立事件，獨立事件一般不是互斥事件。只有當P(A)=0或P(B)=0時，互斥與獨立可能同時成立。2.如何判斷一個隨機變量是否服從正態分布？答案：可以從以下方面判斷：一是看數據的分布形態是否呈鐘形對稱；二是利用正態性檢驗方法，如夏皮羅-威爾克檢驗等；三是若隨機變量是由多個獨立同分布的隨機變量之和構成，根據中心極限定理可能近似服從正態分布。3.在實際應用中，如何選擇合適的概率分布模型？答案：首先分析數據的特征，如取值