向量法解立體幾何1、直線的方向向量和平面的法向量⑴．直線的方向向量：若A、B是直線上的任意兩點，則為直線的一個方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量.

⑵．平面的法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系數法）：①建立適當的坐標系．②設平面的法向量為．③求出平面內兩個不共線向量的坐標．④根據法向量定義建立方程組.⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.例1：在空間直角坐標系中,已知,,試求平面ABC的一個法向量.2、用向量方法判定空間中的平行關系⑴線線平行。設直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即.例2：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點，DF:FB=CG:GP=1:2.求證：AE//FG.

⑵線面平行。設直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明∥，只需證明，即.例3：如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長A1C1至點P，使C1P＝A1C1，連接AP交棱CC1于D．求證：PB1∥平面BDA1；⑶面面平行。若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證.例4：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點．求證：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.用向量方法判定空間的垂直關系

⑴線線垂直。設直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.例5：如圖，已知正三棱柱-的底面邊長為2，側棱長為，點E在側棱上，點F在側棱上，且,．求證：；

⑵線面垂直①（法一）設直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明∥，即.②（法二）設直線的方向向量是，平面內的兩個相交向量分別為，若例6：如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點。求證：AB1⊥面A1BD；xxzABCDOFy⑶面面垂直。若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.例7：如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，點E為AB中點，點F為PD中點。證明平面PED⊥平面PAB；

4、利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則例8：如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，,,,為的中點。求異面直線AB與MD所成角的大??；⑵求直線和平面所成的角求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補角

的余角.即有：ABCDEFGxyz例9：ABCDEFGxyz求直線與平面所成的角的余弦值，⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線，則為二面角的平面角.OAOABOABl求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；如果是鈍角，則，即.例10：如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，．求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．SSBACDzxy5、利用法向量求空間距離⑴點Q到直線距離若Q為直線外的一點,在直線上，為直線的方向向量，=，則點Q到直線距離為⑵點A到平面的距離若點P為平面外一點，點M為平面內任一點，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.即例11：設，求點到平面的距離⑶直線與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。即例12：ABCDxyz如圖，在長方體中，求平面ABCDxyz⑷兩平行平面之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。即⑸異面直線間的距離設向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。即例13：zABCDMNxzABCDMNxyzzzz高考大題賞析：1、（2017年1卷18題）如圖，在四棱錐中，中，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．2．（2018年1卷18題）如圖，四邊形為正方形，，分別為，的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．⑴證明：平面平面；⑵求與平面所成角的正弦值．3（2019年1卷18題）（12分）如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．4．（2020年1卷18題）（12分）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內接正三角形，為上一點，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．例3：證明：如圖，以A1為原點，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A1－B1C1A，則，，，，．（Ⅰ）在△PAA1中有，即．∴，，．設平面BA1D的一個法向量為，則令，則．∵，∴PB1∥平面BA1D例4：證明：(1)以B為坐標原點，BA、BC、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，設BA＝a，則A(a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，4))，F(0,1,4)，則＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，1))，＝(0,1,1)，·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.結合(1)可知平面EGF∥平面ABD.例5：證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，則由已知可得（Ⅰ） 例6：解：取中點，連結．為正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．xzABCDOFy取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，xzABCDOFy，，，．，，，．平面．例7：證明：∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，∴△ABD是等邊三角形，又E是AB中點，連結BD∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，如圖建立坐標系D-ECP，設AD=AB=1，則PF=FD=，ED=，∴P（0，0，1），E（，0，0），B（，，0）∴=（，，-1），=（，0，-1），平面PED的一個法向量為=（0，1，0），設平面PAB的法向量為=（x,y,1)由∴=（,0,1)∵·=0即⊥∴平面PED⊥平面PAB例8：方法一（綜合法）（1）為異面直線與所成的角（或其補角） 作連接 ， 所以與所成角的大小為方法二(向量法)作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系,(1)設與所成的角為,,與所成角的大小為ABCDEFGxyz例9：解：所以ABCDEFGxyz為的平分線，故直線與平面所成的角為，建立如圖所示坐標系，則，，故與平面所成角為例10：SBSBACDzxy則，所以是平面的一個法向量。設平面的一個法向量由，令，平面與平面所成的二面角的正切值為例11：解：設平面的法向量，所以，，所以設到平面的距離為，例12：解：，同理ABCDxyz又，建立直角坐標系ABCDxyz,設為平面的法向量，則zABCzABCDMNxyzzzz不妨設例13：解：如圖建立坐標系，則，設是直線與的公垂線，且則，高考大題賞析：1，（1）證明：∵

∴，

又∵，∴

又∵，、平面

∴平面，又平面

∴平面平面

（2）取中點，中點，連接，

∵

∴四邊形為平行四邊形

∴

由（1）知，平面

∴平面，又、平面

∴，

又∵，∴

∴、、兩兩垂直

∴以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

設，∴、、、，

∴、、

設為平面的法向量

由，得

令，則，，可得平面的一個法向量

∵，∴

又知平面，平面

∴，又

∴平面

即是平面的一個法向量，

∴

由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為2解答：（1）分別為的中點，則，∴，又，，∴平面，平面，∴平面平面.（2），，∴，又，，∴平面，∴，設，則，，∴，過作交于點，由平面平面，∴平面，連結，則即為直線與平面所成的角，由，∴，而，∴，∴與平面所成角的正弦值.方法二：作，垂足為.由（1）得，平面.以為坐標原點，的方向為y軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）可得，.又，，所以.又，，故.可得，. 則，,，，為平面的法向量.設與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為. 3解答】（1）證明：如圖，過N作NH⊥AD，則NH∥AA1，且，又MB∥AA1，MB＝，∴四邊形NMBH為平行四邊形，則NM∥BH，由NH∥AA1，N為A1D中點，得H為AD中點，而E為BC中點，∴BE∥DH，BE＝DH，則四邊形BEDH為平行四邊形，則BH∥DE，∴NM∥DE，∵NM?平面C1DE，DE?平面C1DE，∴MN∥平面C1DE；（2）解：以D為坐標原點，以垂直于DC得直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸建立空間直角坐