骨灰級考研試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數$f(x)=x^3-3x$的駐點是（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=\pm1$D.$x=0$2.下列級數中收斂的是（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}n$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$3.設$A$為$n$階方陣，且$|A|=0$，則（）A.$A$中必有兩行（列）元素對應成比例B.$A$中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.$A$中必有一行（列）元素全為零D.$A$的秩為$n$4.已知向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關，向量組$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$，則向量組$\beta_1,\beta_2,\beta_3$（）A.線性相關B.線性無關C.可能線性相關也可能線性無關D.秩為25.設隨機變量$X$服從正態分布$N(1,4)$，則$P(X\leq1)$的值為（）A.0B.0.5C.1D.0.256.若$f(x)$在區間$[a,b]$上連續，則$\int_{a}^{b}f(x)dx$與$\int_{a}^{b}f(t)dt$（）A.相等B.互為相反數C.不一定相等D.僅當$a=b$時相等7.函數$y=\lnx$在點$(1,0)$處的切線方程是（）A.$y=x-1$B.$y=-x+1$C.$y=x+1$D.$y=-x-1$8.設$z=x^2y+y^3$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$等于（）A.$2xy$B.$x^2+3y^2$C.$2xy+3y^2$D.$x^2$9.行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的值為（）A.-2B.2C.10D.-1010.設$X$是離散型隨機變量，其分布律為$P(X=k)=\frac{c}{2^k}$，$k=1,2,3,\cdots$，則常數$c$的值為（）A.1B.2C.$\frac{1}{2}$D.4二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，在其定義域內可導的有（）A.$y=|x|$B.$y=x^3$C.$y=\sinx$D.$y=\ln(x^2+1)$2.以下哪些是向量組線性相關的判定方法（）A.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.向量組對應的行列式的值為零C.向量組的秩小于向量組中向量的個數D.向量組中存在兩個向量對應成比例3.下列關于定積分性質的說法正確的有（）A.$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$為常數）B.$\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$C.若$f(x)\leqg(x)$在$[a,b]$上成立，則$\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx$D.$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$4.設$A,B$為$n$階方陣，下列等式成立的有（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$C.$|AB|=|A||B|$D.$(kA)^T=kA^T$（$k$為常數）5.對于正態分布$N(\mu,\sigma^2)$，以下說法正確的是（）A.均值$\mu$決定正態分布曲線的位置B.標準差$\sigma$決定正態分布曲線的形狀C.正態分布曲線關于直線$x=\mu$對稱D.當$\sigma$固定時，$\mu$越大，曲線越“矮胖”6.下列哪些函數是偶函數（）A.$y=x^2+1$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=x\sinx$7.已知函數$f(x)$在$x_0$處可導，則以下極限存在的有（）A.$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$B.$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$C.$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}$D.$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$8.以下哪些是二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2-4x_2x_3+5x_3^2$的矩陣的性質（）A.實對稱矩陣B.正定矩陣C.可逆矩陣D.正交矩陣9.設隨機變量$X$與$Y$相互獨立，且$X\simN(1,1)$，$Y\simN(2,4)$，則（）A.$X+Y\simN(3,5)$B.$X-Y\simN(-1,-3)$C.$2X+Y\simN(4,8)$D.$X-2Y\simN(-3,17)$10.下列級數中，絕對收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}$三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數$f(x)$在$x_0$處極限存在，則$f(x)$在$x_0$處一定連續。（）2.向量組中向量個數大于向量的維數時，向量組一定線性相關。（）3.若$f(x)$在區間$[a,b]$上可積，則$f(x)$在$[a,b]$上一定連續。（）4.方陣$A$可逆的充要條件是$|A|\neq0$。（）5.若隨機變量$X$與$Y$的協方差$Cov(X,Y)=0$，則$X$與$Y$相互獨立。（）6.函數$y=x^3$在$R$上是單調遞增函數。（）7.設$A,B$為$n$階方陣，若$AB=0$，則$A=0$或$B=0$。（）8.級數$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂的必要條件是$\lim_{n\to\infty}u_n=0$。（）9.若$f(x)$是奇函數，則其原函數一定是偶函數。（）10.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數$f(x)=x^3-3x^2+2$的極值。答案：先求導$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$和$x=2$。當$x\lt0$時，$f^\prime(x)\gt0$；$0\ltx\lt2$時，$f^\prime(x)\lt0$；$x\gt2$時，$f^\prime(x)\gt0$。所以極大值$f(0)=2$，極小值$f(2)=-2$。2.已知向量組$\alpha_1=(1,2,3)$，$\alpha_2=(2,3,4)$，$\alpha_3=(3,4,5)$，求該向量組的秩。答案：構造矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}$，對其進行初等行變換，$A\to\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&-2&-4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&0&0\end{pmatrix}$，所以向量組的秩為2。3.計算定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$。答案：根據定積分基本公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，則$\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}$。4.簡述線性方程組有解的判定定理。答案：線性方程組$Ax=b$，有解的充要條件是系數矩陣$A$的秩等于增廣矩陣$(A|b)$的秩，即$r(A)=r(A|b)$。當$r(A)=r(A|b)=n$（$n$為未知數個數）時，有唯一解；當$r(A)=r(A|b)\ltn$時，有無窮多解。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數$f(x)=\frac{1}{x-1}$在區間$(0,2)$上的連續性與可導性。答案：$f(x)=\frac{1}{x-1}$在$x=1$處無定義，所以在區間$(0,2)$上不連續。在除$x=1$外的區間內，根據求導公式可得$f^\prime(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$，即在$(0,1)$和$(1,2)$內可導，$x=1$處不可導。2.討論矩陣相似對角化的條件。答案：$n$階方陣$A$可相似對角化的充要條件是$A$有$n$個線性無關的特征向量。充分條件是$A$有$n$個不同的特征值。若$A$的每個特征值對應的線性無關的特征向量個數等于該特征值的重數，$A$也可相似對角化。3.討論隨機變量獨立性的意義及應用場景。答案：隨機變量獨立性意味著一個