數列考試題型及答案詳解

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.數列1，3，5，7，…的通項公式是（）A.\(a_n=2n-1\)B.\(a_n=n\)C.\(a_n=2n+1\)D.\(a_n=n^2\)2.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_5\)的值為（）A.7B.9C.11D.133.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=2\)，則\(a_3\)等于（）A.4B.8C.16D.324.數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則\(a_3\)的值為（）A.5B.6C.7D.85.等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)的推導方法是（）A.累加法B.累乘法C.倒序相加法D.錯位相減法6.等比數列\(\{a_n\}\)中，若\(a_2a_6=16\)，則\(a_4\)的值為（）A.4B.-4C.±4D.87.數列\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots\)的前\(n\)項和\(S_n\)為（）A.\(2-\frac{1}{2^{n-1}}\)B.\(1-\frac{1}{2^{n}}\)C.\(2-\frac{1}{2^{n}}\)D.\(1-\frac{1}{2^{n-1}}\)8.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_7=10\)，則\(a_5\)的值為（）A.5B.6C.8D.109.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_5=16\)，則公比\(q\)為（）A.2B.-2C.±2D.410.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=2\)，\(a_1=1\)，則\(a_4\)的值為（）A.7B.8C.9D.10答案：1.A2.B3.B4.A5.C6.C7.B8.A9.C10.A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是等差數列（）A.1，3，5，7B.2，4，8，16C.5，5，5，5D.1，-1，1，-12.等比數列的性質有（）A.\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)（\(m+n=p+q\)）B.若\(m+n=2p\)，則\(a_m\cdota_n=a_p^2\)C.等比數列的奇數項符號相同D.等比數列的偶數項符號相同3.數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)與\(a_n\)的關系正確的是（）A.\(a_1=S_1\)B.\(a_n=S_n-S_{n-1}(n\geq2)\)C.\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)D.\(a_n=S_{n+1}-S_n\)4.等差數列\(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(d\)具有的性質（）A.\(d\)是公差B.\(a_{n+1}-a_n=d\)C.\(d\)可以為0D.\(d\)決定數列的單調性5.等比數列\(\{a_n\}\)中，公比\(q\)滿足（）A.\(q\neq0\)B.當\(q>1\)，\(a_1>0\)時，數列遞增C.當\(q<0\)時，數列的項正負交替D.\(q=1\)時，數列為常數列6.下列數列中，極限存在的有（）A.\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(2,2,2,2,\cdots\)D.\(1,2,3,4,\cdots\)7.等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，下列說法正確的是（）A.\(S_n\)是關于\(n\)的二次函數（\(d\neq0\)時）B.\(S_n\)有最大值或最小值C.\(S_{2n-1}=(2n-1)a_n\)D.\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)8.等比數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)公式為（）A.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)B.\(S_n=na_1(q=1)\)C.\(S_n=\frac{a_1-a_nq}{1-q}(q\neq1)\)D.\(S_n=\frac{a_n(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)9.已知數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=2a_n\)，\(a_1=1\)，則（）A.\(\{a_n\}\)是等比數列B.\(a_n=2^{n-1}\)C.數列前\(n\)項和\(S_n=2^n-1\)D.\(a_3=4\)10.對于數列\(\{a_n\}\)，若\(a_n=n^2-n\)，則（）A.\(a_1=0\)B.\(a_2=2\)C.\(a_3=6\)D.數列是遞增數列答案：1.AC2.ABC3.ABC4.ABCD5.ACD6.AC7.ACD8.ABC9.ABCD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.常數列一定是等差數列。（）2.常數列一定是等比數列。（）3.若\(a,b,c\)成等差數列，則\(2b=a+c\)。（）4.若\(a,b,c\)成等比數列，則\(b^2=ac\)。（）5.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=a_m+(n-m)d\)。（）6.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=a_m\cdotq^{n-m}\)。（）7.數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+1\)，則\(a_n=2n-1\)。（）8.等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，當\(d<0\)時，\(S_n\)有最大值。（）9.等比數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，當\(q<1\)時，\(S_n\)有最大值。（）10.數列\(1,1,1,1,\cdots\)的極限是1。（）答案：1.√2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.求等差數列\(3,7,11,\cdots\)的通項公式與前\(n\)項和公式。答：首項\(a_1=3\)，公差\(d=4\)。通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d=3+4(n-1)=4n-1\)。前\(n\)項和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=3n+\frac{n(n-1)}{2}×4=2n^2+n\)。2.等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，求公比\(q\)與通項公式\(a_n\)。答：由\(a_3=a_1q^2\)，即\(8=2q^2\)，解得\(q=±2\)。當\(q=2\)時，\(a_n=a_1q^{n-1}=2×2^{n-1}=2^n\)；當\(q=-2\)時，\(a_n=2×(-2)^{n-1}\)。3.已知數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=3^n-1\)，求\(a_n\)。答：當\(n=1\)時，\(a_1=S_1=3^1-1=2\)；當\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}\)。\(n=1\)時也滿足，所以\(a_n=2×3^{n-1}\)。4.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_5=14\)，求\(a_7\)的值。答：設公差為\(d\)，\(a_3=1+2d\)，\(a_5=1+4d\)，由\(a_3+a_5=14\)，得\(1+2d+1+4d=14\)，解得\(d=2\)。則\(a_7=a_1+6d=1+6×2=13\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論等差數列和等比數列在實際生活中的應用實例。答：等差數列如銀行零存整取，每月存入固定金額，利息按等差數列計算；等比數列如細胞分裂，每經過一定時間細胞數量按等比增長。在經濟、生物等領域廣泛存在，幫助分析預測變化規律。2.如何判斷一個數列是等差數列還是等比數列？答：判斷等差數列看相鄰兩項差是否為常數，即\(a_{n+1}-a_n=d\)（常數）；判斷等比數列看相鄰兩項比是否為常數，即\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)（\(q\neq0\)常數），可通過計算驗證。3.數列的通項公式與前\(n\)項和公式有怎樣的聯系？答：\(a_1=S_1\)，\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}\)。已知通項公式可求前\(n\)項和，如等差數