高考數學卷二試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\cupB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\varnothing\)2.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m=(\)\)A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)5.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)6.若\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(\log_2a\gt\log_2b\)D.\(a^{\frac{1}{2}}\ltb^{\frac{1}{2}}\)7.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，則\(a_7=(\)\)A.11B.12C.13D.148.函數\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點是（）A.1B.-1C.0D.29.已知\(\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{3}\)，\(\cos\alpha=\frac{2}{3}\)，且\(\alpha,\beta\in(0,\frac{\pi}{2})\)，則\(\cos\beta=(\)\)A.\(\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}\)B.\(\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{5}}{9}\)C.\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)10.已知\(a=\log_32\)，\(b=\log_53\)，\(c=\log_{11}5\)，則\(a,b,c\)的大小關系是（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(a\ltc\ltb\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(c\ltb\lta\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)2.下列關于直線與圓的位置關系，正確的是（）A.直線\(y=x+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)相交B.直線\(y=2x\)與圓\((x-1)^2+(y-2)^2=5\)相切C.直線\(x=3\)與圓\((x-2)^2+y^2=4\)相離D.直線\(y=-x\)與圓\(x^2+(y-1)^2=1\)相交3.已知\(a,b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)4.以下哪些是等比數列（）A.\(1,-1,1,-1,\cdots\)B.\(2,4,8,16,\cdots\)C.\(1,0,1,0,\cdots\)D.\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots\)5.已知\(\alpha\)為銳角，\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，則（）A.\(\alpha=60^{\circ}\)B.\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)C.\(\tan\alpha=\sqrt{3}\)D.\(\cot\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\)6.關于函數\(y=\cos(2x-\frac{\pi}{3})\)，下列說法正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{6}\)對稱C.圖象關于點\((\frac{5\pi}{12},0)\)對稱D.在\((0,\frac{\pi}{3})\)上單調遞增7.設\(m,n\)是兩條不同的直線，\(\alpha,\beta\)是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，則\(\alpha\perp\beta\)C.若\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(m\paralleln\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\beta\)，\(m\perpn\)，則\(\alpha\perp\beta\)8.已知函數\(f(x)=x^2-2x+3\)，則（）A.\(f(x)\)的對稱軸為\(x=1\)B.\(f(x)\)在\((-\infty,1)\)上單調遞減C.\(f(x)\)的最小值為2D.\(f(x)\)的值域為\([2,+\infty)\)9.已知復數\(z=1+i\)，則（）A.\(z\)的實部為1B.\(z\)的虛部為1C.\(|z|=\sqrt{2}\)D.\(z\cdot\overline{z}=2\)10.以下哪些是基本不等式\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}(a,b\gt0)\)成立的條件（）A.\(a\gt0\)B.\(b\gt0\)C.當且僅當\(a=b\)時取等號D.\(a,b\inR\)判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=x^2\)在\(R\)上是單調遞增函數。（）3.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）4.直線\(y=x\)與圓\(x^2+y^2=1\)有兩個交點。（）5.等差數列的通項公式一定是關于\(n\)的一次函數。（）6.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）7.函數\(y=\tanx\)的最小正周期是\(\pi\)。（）8.兩個向量的數量積為零，則這兩個向量垂直。（）9.若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，\(a+b=1\)，則\(ab\)的最大值是\(\frac{1}{4}\)。（）10.拋物線\(y^2=4x\)的準線方程是\(x=-1\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=2\sin(3x+\frac{\pi}{6})\)的最小正周期和單調遞增區間。答案：最小正周期\(T=\frac{2\pi}{3}\)。令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant3x+\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解得\(\frac{2k\pi}{3}-\frac{2\pi}{9}\leqslantx\leqslant\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{9},k\inZ\)，即遞增區間為\([\frac{2k\pi}{3}-\frac{2\pi}{9},\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{9}],k\inZ\)。2.已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)，求\(c\)的值。答案：根據余弦定理\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)，將\(a=3\)，\(b=4\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)代入，得\(c^2=9+16-2\times3\times4\times\frac{1}{3}=17\)，所以\(c=\sqrt{17}\)。3.已知橢圓方程\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，求其長軸長、短軸長、焦距。答案：由橢圓方程\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)知\(a^2=25\)，\(b^2=9\)，則\(a=5\)，\(b=3\)，\(c=\sqrt{a^2-b^2}=4\)。長軸長\(2a=10\)，短軸長\(2b=6\)，焦距\(2c=8\)。4.求曲線\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線方程。答案：對\(y=x^3\)求導得\(y^\prime=3x^2\)，將\(x=1\)代入導數得切線斜率\(k=3\)。由點斜式可得切線方程為\(y-1=3(x-1)\)，即\(y=3x-2\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x-1}\)的圖象特征，并說明其與\(y=\frac{1}{x}\)圖象的關系。答案：\(y=\frac{1}{x-1}\)的圖象是雙曲線，定義域\(x\neq1\)，值域\(y\neq0\)。在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調遞減。它是由\(y=\frac{1}{x}\)的圖象向右平移1個單位得到。2.已知\(a,b\)為正數，討論\(\frac{a+b}{2}\)與\(\sqrt{ab}\)的大小關系，并說明在實際問題中的應用。答案：由基本不等式，\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)（當且僅當\(a=b\)時取等號）。在實際中，比如求周長一定的矩形最大面積問題，設長為\(a\)，寬為\(b\)，周長\(2(a+b)\)一定，面積\(S=ab\)，當\(a=b\)時面積最大。3.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法，并舉例說明。答案：判斷方法有兩種。一是幾何法，通過圓心到直線距離\(d\)與半徑\(r\)比較，\(d\ltr\)相交，\(d=r\)相切，\(d\gtr\)相離；二是代數法，聯立直線與圓方程得方程組，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。例如直線\(y=x\)與圓\(x^2+y^2=1\)，用幾何法，圓心\((0,0)\)到直線距離\(d=\frac{|0-0|}{\sqrt{2}}=0\lt1\)，所以相交。4.討論在數列中，如何求數列的通項公式，舉例說明常見方法。答案：常見方法有：定義法，如等差數列\(a_n=a_1+(n-1)d\)，等比數列\(a_n=a_1q^{n-1}\)；已知\(S_n\)求\(a_n\)，\(a_n=\begin{cases}S_1,n=1\\S_n-S_{n-1},n\geqslant2\end{cases}\)；累加法，適用于\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)；累乘法，適用于\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)。如已知\(a_