超幾何分布試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.超幾何分布中隨機(jī)變量\(X\)表示（）A.試驗(yàn)次數(shù)B.成功次數(shù)C.總體數(shù)量D.樣本數(shù)量2.一批產(chǎn)品有\(zhòng)(N\)件，其中有\(zhòng)(M\)件次品，從中任取\(n\)件，取到次品數(shù)\(X\)服從超幾何分布，則\(X\)的可能取值個(gè)數(shù)為（）A.\(n\)B.\(M\)C.\(\min(n,M)\)D.\(N\)3.超幾何分布的概率公式\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)中，\(k\)的取值范圍是（）A.\(0\leqk\leqn\)B.\(0\leqk\leqM\)C.\(\max(0,n-(N-M))\leqk\leq\min(n,M)\)D.\(0\leqk\leqN\)4.從5名男生和3名女生中選3人參加活動，選出女生人數(shù)\(X\)服從超幾何分布，則\(N\)為（）A.5B.3C.8D.105.已知在超幾何分布中\(zhòng)(N=10\)，\(M=3\)，\(n=4\)，則\(P(X=2)\)為（）A.\(\frac{C_{3}^{2}C_{7}^{2}}{C_{10}^{4}}\)B.\(\frac{C_{3}^{2}C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}}\)C.\(\frac{C_{3}^{2}C_{7}^{4}}{C_{10}^{4}}\)D.\(\frac{C_{3}^{4}C_{7}^{2}}{C_{10}^{4}}\)6.超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別在于（）A.超幾何分布是不放回抽樣B.超幾何分布是放回抽樣C.二項(xiàng)分布是不放回抽樣D.兩者無區(qū)別7.從10個(gè)產(chǎn)品（其中3個(gè)次品）中任取2個(gè)，取到1個(gè)次品的概率為（）A.\(\frac{C_{3}^{1}C_{7}^{1}}{C_{10}^{2}}\)B.\(\frac{C_{3}^{1}C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}}\)C.\(\frac{C_{3}^{2}C_{7}^{1}}{C_{10}^{2}}\)D.\(\frac{C_{3}^{2}C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}}\)8.超幾何分布中\(zhòng)(E(X)\)的計(jì)算公式是（）A.\(n\frac{M}{N}\)B.\(n\frac{N}{M}\)C.\(n(1-\frac{M}{N})\)D.\(n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\)9.已知超幾何分布中\(zhòng)(N=12\)，\(M=5\)，\(n=3\)，則\(E(X)\)為（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{3}{4}\)C.\(\frac{5}{12}\)D.\(\frac{3}{5}\)10.超幾何分布中\(zhòng)(D(X)\)的計(jì)算公式是（）A.\(n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}\)B.\(n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\)C.\(n\frac{N}{M}(1-\frac{N}{M})\frac{N-n}{N-1}\)D.\(n\frac{M}{N}(1-\frac{N}{M})\frac{N-n}{N-1}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于超幾何分布模型的是（）A.從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取若干件，求抽到次品數(shù)B.從一群學(xué)生中選若干人，求選到男生人數(shù)C.多次拋骰子，求出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)D.從裝有不同顏色球的袋子中摸球，求摸到某種顏色球的個(gè)數(shù)2.超幾何分布\(X\simH(n,M,N)\)中，參數(shù)\(n\)，\(M\)，\(N\)滿足（）A.\(n\inN^+\)B.\(M\inN^+\)C.\(N\inN^+\)D.\(n\leqN\)，\(M\leqN\)3.關(guān)于超幾何分布的概率\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)，下列說法正確的是（）A.\(C_{M}^{k}\)表示從\(M\)件次品中取\(k\)件次品的組合數(shù)B.\(C_{N-M}^{n-k}\)表示從\(N-M\)件正品中取\(n-k\)件正品的組合數(shù)C.\(C_{N}^{n}\)表示從\(N\)件產(chǎn)品中取\(n\)件產(chǎn)品的組合數(shù)D.\(k\)可以取任意整數(shù)4.若\(X\simH(5,4,10)\)，則（）A.\(n=5\)B.\(M=4\)C.\(N=10\)D.\(X\)可能取值為\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)5.超幾何分布與二項(xiàng)分布在以下哪些方面有聯(lián)系（）A.都是離散型隨機(jī)變量的概率分布B.當(dāng)\(N\)很大，\(n\)相對較小時(shí)，超幾何分布近似二項(xiàng)分布C.計(jì)算概率的方法相同D.隨機(jī)變量的取值范圍相同6.已知超幾何分布\(X\simH(n,M,N)\)，則（）A.\(E(X)=n\frac{M}{N}\)B.\(D(X)=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\)C.\(D(X)=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}\)D.\(E(X)=n\frac{N}{M}\)7.從15個(gè)零件（其中5個(gè)次品）中任取3個(gè)，設(shè)取到次品數(shù)為\(X\)，則（）A.\(X\simH(3,5,15)\)B.\(P(X=1)=\frac{C_{5}^{1}C_{10}^{2}}{C_{15}^{3}}\)C.\(E(X)=3\times\frac{5}{15}=1\)D.\(D(X)=3\times\frac{5}{15}(1-\frac{5}{15})\frac{15-3}{15-1}\)8.超幾何分布概率\(P(X=k)\)的性質(zhì)有（）A.\(P(X=k)\geq0\)，\(k=0,1,\cdots,\min(n,M)\)B.\(\sum_{k=0}^{\min(n,M)}P(X=k)=1\)C.\(P(X=k)\)先增大后減小D.\(P(X=k)\)一直增大9.下列對超幾何分布描述正確的是（）A.總體是有限個(gè)元素B.是不放回抽樣C.隨機(jī)變量\(X\)表示取到某類元素的個(gè)數(shù)D.常用于產(chǎn)品質(zhì)量檢測等實(shí)際問題10.若超幾何分布\(X\simH(n,M,N)\)，當(dāng)\(n\)增大時(shí)（）A.\(E(X)\)可能增大B.\(D(X)\)可能變化C.\(P(X=k)\)的分布可能改變D.超幾何分布性質(zhì)不變?nèi)⑴袛囝}（每題2分，共10題）1.超幾何分布中抽樣是有放回抽樣。（）2.超幾何分布中隨機(jī)變量\(X\)的取值可以是任意實(shí)數(shù)。（）3.從8個(gè)球（3個(gè)紅球）中任取4個(gè)，取到紅球數(shù)\(X\)服從超幾何分布，\(N=8\)，\(M=3\)，\(n=4\)。（）4.超幾何分布\(X\simH(n,M,N)\)中，\(E(X)=n\frac{M}{N}\)。（）5.當(dāng)\(N\)很大，\(n\)相對較小時(shí)，超幾何分布與二項(xiàng)分布沒有區(qū)別。（）6.超幾何分布的概率\(P(X=k)\)中，\(k\)最大取值為\(n\)。（）7.已知超幾何分布\(X\simH(5,2,10)\)，則\(P(X=3)=\frac{C_{2}^{3}C_{8}^{2}}{C_{10}^{5}}\)。（）8.超幾何分布中\(zhòng)(D(X)=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\)。（）9.從12個(gè)產(chǎn)品（4個(gè)次品）中任取6個(gè)，取到次品數(shù)\(X\)服從超幾何分布。（）10.超幾何分布的概率\(P(X=k)\)滿足\(P(X=k)\geq0\)且\(\sum_{k=0}^{\min(n,M)}P(X=k)=1\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述超幾何分布的定義。答案：超幾何分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)上一種離散概率分布。它描述了從有限\(N\)個(gè)物件（其中包含\(M\)個(gè)指定種類的物件）中抽出\(n\)個(gè)物件，成功抽出該指定種類的物件的次數(shù)（不放回）。2.超幾何分布與二項(xiàng)分布的主要區(qū)別是什么？答案：超幾何分布是不放回抽樣，總體個(gè)數(shù)有限；二項(xiàng)分布是放回抽樣，可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，總體個(gè)數(shù)可視為無限。超幾何分布概率與總體中某類元素個(gè)數(shù)有關(guān)，二項(xiàng)分布概率與每次試驗(yàn)成功概率有關(guān)。3.如何計(jì)算超幾何分布的期望\(E(X)\)？答案：對于超幾何分布\(X\simH(n,M,N)\)，期望\(E(X)=n\frac{M}{N}\)。其中\(zhòng)(n\)是抽取樣本數(shù)量，\(M\)是總體中某類元素個(gè)數(shù)，\(N\)是總體元素個(gè)數(shù)。4.寫出超幾何分布概率\(P(X=k)\)的公式及各參數(shù)含義。答案：公式\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)。\(N\)是總體數(shù)量，\(M\)是總體中某類元素?cái)?shù)量，\(n\)是抽取樣本數(shù)量，\(k\)是樣本中該類元素?cái)?shù)量，\(C_{a}^{b}\)是組合數(shù)。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實(shí)際生活中，哪些場景適合用超幾何分布來建模？舉例說明。答案：如產(chǎn)品抽檢，一批\(N\)件產(chǎn)品中有\(zhòng)(M\)件次品，從中抽取\(n\)件檢測，抽到次品數(shù)用超幾何分布建模。還有從一群有不同特征的人群中選若干人，求具有某特征人數(shù)等場景，像從\(N\)個(gè)學(xué)生（\(M\)個(gè)男生）選\(n\)人，選到男生人數(shù)可建模。2.當(dāng)超幾何分布中的\(N\)不斷增大，\(n\)相對較小時(shí)，超幾何分布近似二項(xiàng)分布，如何從概率公式角度理解這種近似？答案：超幾何分布\(P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}\)，\(N\)很大\(n\)相對小時(shí)，每次抽取對總體中兩類元素比例影響小，近似放回抽樣。此時(shí)超幾何分布概率公式計(jì)算結(jié)果與二項(xiàng)分布\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)（\(p=\frac{M}{N}\)）相近。3.超幾何分布的方差\(D(X)=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}\)，分析\(n\)，\(M\)，\(N\)對\(D(X)\)的影響。答案：\(n\)增大，\(D(X)\)增大；\(M\)變化影響較復(fù)雜，當(dāng)\(M\)接近\(\frac{N}{2}\)時(shí)\(D(X)\)較大；\(N\)增大，若\(n\)相對小，\(D(X)\)變小，因?yàn)閈(N\)大時(shí)抽樣更穩(wěn)定。4.如何判斷一個(gè)實(shí)際問題適合用超幾何分布還是二項(xiàng)分布來解決？答案：看抽樣方式，不放回抽樣且總體有限用超幾何分布；放回抽樣或總體無限、每次試驗(yàn)獨(dú)立，用二項(xiàng)分