圓錐曲線測試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.拋物線\(y=2x^2\)的焦點坐標是（）A.\((0,\frac{1}{8})\)B.\((0,\frac{1}{2})\)C.\((\frac{1}{8},0)\)D.\((\frac{1}{2},0)\)2.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的離心率是（）A.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{2}\)3.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}x\)C.\(y=\pm\frac{5}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{5}x\)4.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，\(F_1,F_2\)為焦點，若橢圓上存在一點\(P\)使得\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.\([\frac{\sqrt{2}}{2},1)\)B.\((0,\frac{\sqrt{2}}{2})\)C.\((0,\frac{1}{2})\)D.\([\frac{1}{2},1)\)5.拋物線\(y^2=8x\)上一點\(P\)到焦點的距離是\(6\)，則\(P\)點坐標是（）A.\((4,\pm4\sqrt{2})\)B.\((4,4\sqrt{2})\)C.\((5,\pm2\sqrt{10})\)D.\((5,2\sqrt{10})\)6.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的實軸長是虛軸長的\(2\)倍，則其離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)B.\(\sqrt{5}\)C.\(\frac{5}{2}\)D.\(5\)7.橢圓\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1\)的焦距是\(2\)，則\(m\)的值是（）A.\(5\)B.\(3\)C.\(5\)或\(3\)D.\(8\)8.拋物線\(y=ax^2\)的準線方程是\(y=2\)，則\(a\)的值是（）A.\(\frac{1}{8}\)B.\(-\frac{1}{8}\)C.\(8\)D.\(-8\)9.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1\)的焦點到漸近線的距離為（）A.\(2\sqrt{3}\)B.\(2\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(1\)10.若橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)上一點\(P\)到一個焦點的距離為\(3\)，則\(P\)到另一個焦點的距離為（）A.\(2\)B.\(7\)C.\(5\)D.\(3\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下關于橢圓的說法正確的是（）A.平面內到兩個定點\(F_1,F_2\)的距離之和等于常數（大于\(|F_1F_2|\)）的點的軌跡B.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的長軸長為\(2a\)C.橢圓的離心率\(e\)滿足\(0<e<1\)D.橢圓的焦點一定在\(x\)軸上2.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的性質正確的是（）A.實軸長為\(2a\)B.漸近線方程為\(y=\pm\frac{b}{a}x\)C.離心率\(e>1\)D.焦點坐標為\((\pmc,0)\)，其中\(c^2=a^2+b^2\)3.拋物線\(y^2=2px(p>0)\)的性質有（）A.焦點坐標為\((\frac{p}{2},0)\)B.準線方程為\(x=-\frac{p}{2}\)C.拋物線上一點到焦點的距離等于到準線的距離D.開口向右4.已知橢圓\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1(m>0,n>0)\)，下列說法正確的是（）A.若\(m>n\)，焦點在\(x\)軸上B.若\(m<n\)，焦點在\(y\)軸上C.離心率\(e=\sqrt{1-\frac{m}{n}}\)（\(m<n\)時）D.長軸長一定為\(2\sqrt{m}\)5.雙曲線\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的相關性質正確的是（）A.實軸長為\(2a\)B.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}{b}x\)C.離心率\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)D.焦點坐標為\((0,\pmc)\)，其中\(c^2=a^2+b^2\)6.對于拋物線\(x^2=2py(p>0)\)，以下說法正確的是（）A.焦點坐標為\((0,\frac{p}{2})\)B.準線方程為\(y=-\frac{p}{2}\)C.拋物線上一點到焦點的距離等于到準線的距離D.開口向上7.橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的性質正確的是（）A.\(a=5\)，\(b=3\)B.離心率\(e=\frac{4}{5}\)C.焦點坐標為\((\pm4,0)\)D.長軸長為\(10\)8.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的性質正確的是（）A.實軸長為\(6\)B.漸近線方程為\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.離心率\(e=\frac{5}{3}\)D.焦點坐標為\((\pm5,0)\)9.拋物線\(y^2=-4x\)的性質有（）A.焦點坐標為\((-1,0)\)B.準線方程為\(x=1\)C.拋物線上一點到焦點的距離等于到準線的距離D.開口向左10.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)與雙曲線\(\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1(m>0,n>0)\)有共同焦點\(F_1,F_2\)，\(P\)是兩曲線的一個交點，則（）A.\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)（橢圓定義）B.\(||PF_1|-|PF_2||=2m\)（雙曲線定義）C.\(a^2-b^2=m^2+n^2\)D.以上都不對三、判斷題（每題2分，共20分）1.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)中，\(a\)一定大于\(b\)大于\(0\)。（）2.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程與\(a,b\)的值有關。（）3.拋物線\(y^2=2px(p>0)\)上一點到焦點的距離等于到\(y\)軸距離加上\(\frac{p}{2}\)。（）4.橢圓的離心率越大，橢圓越圓。（）5.雙曲線的離心率\(e\)的取值范圍是\((0,1)\)。（）6.拋物線\(x^2=2py(p<0)\)開口向下。（）7.橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦點坐標為\((\pm\sqrt{7},0)\)。（）8.雙曲線\(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{2}{3}x\)。（）9.拋物線\(y=-\frac{1}{8}x^2\)的準線方程是\(y=2\)。（）10.橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為定值。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的長軸長、短軸長、離心率和焦點坐標。-答案：\(a=4\)，\(b=3\)，\(c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\)。長軸長\(2a=8\)，短軸長\(2b=6\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)，焦點坐標\((\pm\sqrt{7},0)\)。2.寫出雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的實軸長、虛軸長、漸近線方程和離心率。-答案：實軸長\(2a=6\)，虛軸長\(2b=8\)，漸近線方程\(y=\pm\frac{4}{3}x\)，\(c=\sqrt{9+16}=5\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}\)。3.已知拋物線\(y^2=12x\)，求其焦點坐標和準線方程。-答案：\(2p=12\)，\(p=6\)，焦點坐標\((\frac{p}{2},0)\)即\((3,0)\)，準線方程\(x=-\frac{p}{2}=-3\)。4.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)與雙曲線\(\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1(m>0,n>0)\)有共同焦點\(F_1,F_2\)，\(P\)是兩曲線的一個交點，證明\(|PF_1|^2+|PF_2|^2=2(a^2+m^2)\)。-答案：由橢圓定義\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)，平方得\(|PF_1|^2+2|PF_1|\cdot|PF_2|+|PF_2|^2=4a^2\)①；由雙曲線定義\(||PF_1|-|PF_2||=2m\)，平方得\(|PF_1|^2-2|PF_1|\cdot|PF_2|+|PF_2|^2=4m^2\)②。①+②得\(|PF_1|^2+|PF_2|^2=2(a^2+m^2)\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論橢圓、雙曲線、拋物線的離心率對圖形形狀的影響。-答案：橢圓離心率\(e\)越接近\(0\)越圓，越接近\(1\)越扁；雙曲線離心率\(e>1\)，\(e\)越大開口越開闊；拋物線離心率\(e=1\)，形狀固定。2.橢圓和雙曲線在定義、方程和性質上有哪些相似點和不同點？-答案：相似點：都用平面內動點與兩定點距離關系定義。方程結構類似。不同點：定義中橢圓距離和為定值，雙曲線距離差絕對值為定值；橢圓離心率\((0,1)\)，雙曲線\(e>1\)，性質如漸近線等也不同。3.拋物線的焦點和準線在實際生活中有哪些應用？-答案：在汽車前照燈中，燈泡放在拋物線焦點處，光線經反射后平行射出；在衛星接收天線中，把接收器放在焦點位置可接收更多信號，利用了拋物線上點到焦點和準線距離相等的性質。4.如何根據給定條件確定圓錐曲線的方程？-答案：先根據條件判斷曲線類型。若已知焦點位置、\(a,b,c\)等關系，對于橢圓和雙曲線，利用標準方程形式列方程求解