高等數學a2期中測試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(z=\ln(x+y)\)的定義域是（）A.\(x+y\geq0\)B.\(x+y>0\)C.\(x+y\leq0\)D.\(x+y<0\)2.設\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(2x\)D.\(y\)3.曲線\(x=t\)，\(y=t^2\)，\(z=t^3\)在\(t=1\)處的切線方程為（）A.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)B.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}\)C.\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{1}\)D.\(\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}\)4.已知\(f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微，則（）A.偏導數一定連續B.偏導數不一定存在C.函數一定連續D.函數不一定連續5.二重積分\(\iint_D1dxdy\)（\(D\)是\(x^2+y^2\leq1\)）的值為（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)6.設\(z=e^{xy}\)，則\(dz\)=（）A.\(e^{xy}dx\)B.\(e^{xy}(ydx+xdy)\)C.\(e^{xy}dy\)D.\(e^{xy}(xdx+ydy)\)7.函數\(f(x,y)=x^2+y^2\)在點\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點8.交換積分次序\(\int_0^1dx\int_x^1f(x,y)dy\)=（）A.\(\int_0^1dy\int_0^yf(x,y)dx\)B.\(\int_0^1dy\int_y^1f(x,y)dx\)C.\(\int_1^0dy\int_y^1f(x,y)dx\)D.\(\int_1^0dy\int_0^yf(x,y)dx\)9.設\(u=xyz\)，則\(\frac{\partial^2u}{\partialx\partialy}\)=（）A.\(z\)B.\(xz\)C.\(yz\)D.\(xyz\)10.平面\(2x-y+3z=6\)在\(z\)軸上的截距是（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(3\)D.\(-3\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是多元函數可微的必要條件（）A.函數連續B.偏導數存在C.偏導數連續D.全增量\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)2.下列關于二重積分性質正確的是（）A.\(\iint_D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy=\iint_Df(x,y)dxdy+\iint_Dg(x,y)dxdy\)B.\(\iint_Dkf(x,y)dxdy=k\iint_Df(x,y)dxdy\)（\(k\)為常數）C.若\(f(x,y)\leqg(x,y)\)在\(D\)上成立，則\(\iint_Df(x,y)dxdy\leq\iint_Dg(x,y)dxdy\)D.\(\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Df(y,x)dxdy\)3.函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處取得極值的可能點有（）A.駐點B.偏導數不存在的點C.邊界點D.任意點4.下列曲面中是旋轉曲面的有（）A.\(x^2+y^2+z^2=1\)B.\(x^2+y^2-z=0\)C.\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{16}=1\)D.\(x^2-y^2-z^2=1\)5.設\(z=f(u,v)\)，\(u=x+y\)，\(v=x-y\)，則下列正確的是（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialf}{\partialu}+\frac{\partialf}{\partialv}\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{\partialf}{\partialu}-\frac{\partialf}{\partialv}\)C.\(dz=(\frac{\partialf}{\partialu}+\frac{\partialf}{\partialv})dx+(\frac{\partialf}{\partialu}-\frac{\partialf}{\partialv})dy\)D.\(\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=\frac{\partial^2f}{\partialu^2}+2\frac{\partial^2f}{\partialu\partialv}+\frac{\partial^2f}{\partialv^2}\)6.下列關于方向導數的說法正確的是（）A.函數在某點沿任意方向的方向導數都存在，則函數在該點可微B.函數在某點可微，則函數在該點沿任意方向的方向導數都存在C.方向導數的最大值就是梯度的模D.方向導數與梯度方向相同7.計算二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)時，選擇合適的積分次序考慮的因素有（）A.積分區域\(D\)的形狀B.被積函數\(f(x,y)\)的形式C.計算的難易程度D.隨機選擇8.下列哪些是柱面方程（）A.\(x^2+y^2=1\)B.\(y^2=2x\)C.\(z=x^2\)D.\(x^2+y^2+z^2=4\)9.已知\(z=\sin(x+y)\)，則（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=\cos(x+y)\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=\cos(x+y)\)C.\(dz=\cos(x+y)(dx+dy)\)D.\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=-\sin(x+y)\)10.對于函數\(z=f(x,y)\)，以下說法正確的是（）A.若\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)，則二階混合偏導數連續B.二階混合偏導數在連續的條件下與求導順序無關C.函數在某點偏導數存在則函數在該點一定連續D.函數在某點連續但偏導數不一定存在三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處偏導數存在，則函數在該點一定連續。（）2.二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)的值與積分區域\(D\)的劃分方式無關。（）3.函數\(z=f(x,y)\)的駐點一定是極值點。（）4.平面\(Ax+By+Cz+D=0\)的法向量為\(\vec{n}=(A,B,C)\)。（）5.若\(f(x,y)\)在\(D\)上可積，且\(D_1\subseteqD\)，則\(\iint_{D_1}f(x,y)dxdy\leq\iint_Df(x,y)dxdy\)。（）6.方向導數\(\frac{\partialf}{\partiall}\)是一個向量。（）7.交換二重積分的積分次序，被積函數不變。（）8.函數\(z=x^2+y^2\)的圖形是一個拋物面。（）9.若\(z=f(u,v)\)，\(u=\varphi(x)\)，\(v=\psi(x)\)，則\(\frac{dz}{dx}=\frac{\partialf}{\partialu}\frac{du}{dx}+\frac{\partialf}{\partialv}\frac{dv}{dx}\)。（）10.函數\(f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的全微分\(dz=\frac{\partialf}{\partialx}|_{(x_0,y_0)}\Deltax+\frac{\partialf}{\partialy}|_{(x_0,y_0)}\Deltay\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(z=x^3y+xy^3\)的一階偏導數。答：\(\frac{\partialz}{\partialx}=3x^2y+y^3\)；\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^3+3xy^2\)。2.計算二重積分\(\iint_Dxydxdy\)，其中\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)圍成的區域。答：先確定積分限，\(D\)：\(0\leqy\leq1-x\)，\(0\leqx\leq1\)。則\(\iint_Dxydxdy=\int_0^1dx\int_0^{1-x}xydy=\frac{1}{24}\)。3.求曲線\(x=t\)，\(y=t^2\)，\(z=t^3\)在點\((1,1,1)\)處的法平面方程。答：\(t=1\)時，切向量\(\vec{T}=(1,2,3)\)，法平面方程為\(1\times(x-1)+2\times(y-1)+3\times(z-1)=0\)，即\(x+2y+3z-6=0\)。4.求函數\(f(x,y)=x^2+y^2-2x+2y\)的極值。答：求駐點，\(\frac{\partialf}{\partialx}=2x-2=0\)，\(\frac{\partialf}{\partialy}=2y+2=0\)，得駐點\((1,-1)\)。\(A=2\)，\(B=0\)，\(C=2\)，\(AC-B^2=4>0\)且\(A>0\)，所以\(f(1,-1)=-2\)為極小值。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論多元函數可微、連續、偏導數存在之間的關系。答：可微能推出連續和偏導數存在；偏導數存在且連續能推出可微；連續推不出偏導數存在，偏導數存在也推不出連續，偏導數存在也推不出可微。2.在計算二重積分時，如何根據積分區域和被積函數選擇合適的坐標系？答：若積分區域是圓形、扇形、環形等，被積函數含\(x^2+y^2\)形式，選極坐標系；若積分區域是矩形、三角形等規則形狀，被積函數在直角坐標系下易積分，則選直角坐標系。3.舉例說明方向導數和梯度在實際問題中的應用。答：在登山問題中，方向導數可表示在某點沿不同方向的坡度變化；梯度方向是坡度最大方向。在熱傳導問題中，溫度變化方向與梯度有關，可據此研究熱量傳遞方向等。4.談談對多元函數極值與最值概念的理解及求法。答：極值是函數在某點鄰域內的局部性質，最值是在整個定義域或指