2012年高考數學試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)2.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m=\)（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_5=14\)，其前\(n\)項和\(S_n=100\)，則\(n=\)（）A.9B.10C.11D.125.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)6.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((0,-1)\)C.\((1,0)\)D.\((-1,0)\)7.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)8.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^2\)，\(c=\log_2{0.3}\)，則（）A.\(a\gtb\gtc\)B.\(a\gtc\gtb\)C.\(b\gta\gtc\)D.\(c\gta\gtb\)9.直線\(x+y+1=0\)與圓\((x-1)^2+y^2=2\)的位置關系是（）A.相切B.相交C.相離D.不確定10.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.1B.2C.3D.4多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x+1\)2.以下哪些是等比數列的性質（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}(n\geq2)\)B.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)C.\(a_m+a_n=a_p+a_q(m+n=p+q)\)D.\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q(m+n=p+q)\)3.已知直線\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)，則\(l_1\parallell_2\)的條件是（）A.\(A_1B_2-A_2B_1=0\)B.\(A_1C_2-A_2C_1\neq0\)C.\(A_1A_2+B_1B_2=0\)D.\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)4.以下屬于基本初等函數的有（）A.冪函數B.指數函數C.對數函數D.三角函數5.對于函數\(y=f(x)\)，下列說法正確的是（）A.若\(f(a)=f(b)\)，則\(a=b\)B.若函數在區間\((a,b)\)上單調遞增，則\(f^\prime(x)\geq0\)在\((a,b)\)上恒成立C.函數的極值點處導數一定為\(0\)D.函數\(y=f(x)\)與\(y=-f(x)\)的圖象關于\(x\)軸對稱6.已知\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個不同平面，\(m\)，\(n\)是兩條不同直線，則下列命題正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(m\paralleln\)C.若\(m\perp\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\perpn\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(m\perp\beta\)，則\(\alpha\parallel\beta\)7.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性質有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}(c^2=a^2-b^2)\)D.焦點坐標為\((\pmc,0)\)8.以下哪些是導數的運算法則（）A.\((u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)B.\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)C.\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}(v\neq0)\)D.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)9.已知\(a\)，\(b\)為正實數，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq4\)C.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}\)10.下列命題中，真命題有（）A.\(\existsx\inR\)，\(x^2+1\lt0\)B.\(\forallx\inR\)，\(x^2\geq0\)C.\(\existsx\inR\)，\(\sinx=2\)D.\(\forallx\inR\)，\(e^x\gt0\)判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=x^3\)是奇函數。（）3.直線\(y=kx+b\)中，\(k\)表示直線的斜率。（）4.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）5.向量\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta\)（\(\theta\)為\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角）。（）6.對數函數\(y=\log_ax(a\gt0,a\neq1)\)的定義域是\((0,+\infty)\)。（）7.兩條異面直線所成角的范圍是\([0,\frac{\pi}{2}]\)。（）8.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)是函數\(y=f(x)\)的極值點。（）9.等比數列的公比\(q\)可以為\(0\)。（）10.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心坐標是\((0,0)\)，半徑是\(r\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^2-2x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸公式為\(x=-\frac{b}{2a}\)，此函數\(a=1\)，\(b=-2\)，則對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數得\(y=2\)，所以頂點坐標為\((1,2)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第一象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：根據\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。3.求直線\(2x-y+1=0\)與直線\(x+y-4=0\)的交點坐標。答案：聯立方程組\(\begin{cases}2x-y+1=0\\x+y-4=0\end{cases}\)，兩式相加消去\(y\)得\(3x-3=0\)，解得\(x=1\)，把\(x=1\)代入\(x+y-4=0\)得\(y=3\)，交點坐標為\((1,3)\)。4.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，求其前\(n\)項和\(S_n\)的公式。答案：等差數列前\(n\)項和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，將\(a_1=1\)，\(d=2\)代入得\(S_n=n\times1+\frac{n(n-1)}{2}\times2=n^2\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調性。答案：在\((0,+\infty)\)上任取\(x_1\)，\(x_2\)，且\(x_1\ltx_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)。因為\(x_1\)，\(x_2\in(0,+\infty)\)且\(x_1\ltx_2\)，所以\(x_2-x_1\gt0\)，\(x_1x_2\gt0\)，即\(f(x_1)-f(x_2)\gt0\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調遞減。2.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是代數法，聯立直線與圓的方程得方程組，消元后得一元二次方程，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.討論如何根據三角函數圖象確定其解析式。答案：先觀察圖象的最值確定\(A\)的值（\(A=\frac{最大值-最小值