高中數學人教A版(2019)必修第二冊8.6空間直線、平面的垂直習題一、選擇題要求：在下列各題中，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在空間直角坐標系中，已知點A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，則直線AB的方向向量是：A.(3,3,3)B.(3,3,-3)C.(3,-3,3)D.(3,-3,-3)2.在空間直角坐標系中，已知直線l過點P(1,2,3)且垂直于平面α，平面α的法向量是n=(1,2,3)，則直線l的方程是：A.x+y+z=6B.x-y-z=6C.x+y-z=6D.x-y+z=63.在空間直角坐標系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l與平面α的交點坐標是：A.(1,4,5)B.(2,5,6)C.(3,6,7)D.(4,7,8)4.在空間直角坐標系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l在平面α上的投影方程是：A.x=2t+1B.y=3t+4C.z=t+5D.x=2t+1，y=3t+45.在空間直角坐標系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l與平面α所成的角θ滿足：A.θ=π/4B.θ=π/3C.θ=π/2D.θ=π二、填空題要求：將正確答案填入空格中。6.在空間直角坐標系中，已知點A(1,2,3)，B(4,5,6)，則直線AB的長度為______。7.在空間直角坐標系中，已知直線l過點P(1,2,3)且垂直于平面α，平面α的法向量是n=(1,2,3)，則直線l的方程為______。8.在空間直角坐標系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l與平面α的交點坐標為______。9.在空間直角坐標系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l在平面α上的投影方程為______。10.在空間直角坐標系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，則直線l與平面α所成的角θ為______。四、解答題要求：解下列各題。11.已知空間直角坐標系中，點A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，求證：直線AB和直線BC垂直。12.在空間直角坐標系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，求直線l與平面x+y+z=10的交點坐標。五、證明題要求：證明下列各題。13.證明：若直線l垂直于平面α，則直線l上的任意一點到平面α的距離相等。14.證明：若兩條直線分別垂直于兩個互相垂直的平面，則這兩條直線互相垂直。六、應用題要求：解決下列實際問題。15.在空間直角坐標系中，已知直線l過點P(1,2,3)且平行于平面α，平面α的法向量是n=(1,2,3)，求直線l的方程。16.在空間直角坐標系中，已知直線l的方程為x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，求直線l與平面x+y+z=10所成的角θ的正弦值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：B解析：直線AB的方向向量為B點坐標減去A點坐標，即(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)，由于方向向量可以是任意非零倍數，所以選B。2.答案：D解析：直線l垂直于平面α，其方向向量與平面α的法向量n=(1,2,3)平行，因此直線l的方程可以表示為x-y+z=常數。由于直線l過點P(1,2,3)，代入得1-2+3=2，所以直線l的方程為x-y+z=2，即D選項。3.答案：C解析：將直線l的參數方程代入平面α的方程x+y+z=10中，得到2t+1+3t+4+t+5=10，解得t=1，代入直線l的參數方程得到交點坐標為(2,5,6)，即C選項。4.答案：A解析：直線l在平面α上的投影方程與直線l的方程相同，因為投影不改變直線在投影平面上的方向，所以選A。5.答案：B解析：直線l與平面α所成的角θ是直線l的方向向量與平面α的法向量之間的夾角。由于直線l的方向向量為(2,3,1)，平面α的法向量為(1,2,3)，兩向量的夾角余弦值為(2*1+3*2+1*3)/(√(2^2+3^2+1^2)*√(1^2+2^2+3^2))=13/(√14*√14)=13/14，所以θ=π/3，即B選項。二、填空題6.答案：√29解析：直線AB的長度為兩點間距離公式計算，即√[(4-1)^2+(5-2)^2+(6-3)^2]=√(3^2+3^2+3^2)=√(9+9+9)=√27=3√3=√29。7.答案：x-y+z=2解析：直線l垂直于平面α，其方向向量與平面α的法向量n=(1,2,3)平行，因此直線l的方程可以表示為x-y+z=常數。由于直線l過點P(1,2,3)，代入得1-2+3=2，所以直線l的方程為x-y+z=2。8.答案：(2,5,6)解析：與選擇題第3題解析相同。9.答案：x=2t+1解析：與選擇題第4題解析相同。10.答案：π/3解析：與選擇題第5題解析相同。四、解答題11.答案：證明過程略。解析：使用向量積（叉積）判斷兩條直線是否垂直，即計算向量AB和向量BC的叉積，如果叉積為零向量，則兩直線垂直。12.答案：交點坐標為(2,5,6)解析：將直線l的參數方程代入平面α的方程x+y+z=10中，解出參數t，然后代入直線l的參數方程得到交點坐標。五、證明題13.答案：證明過程略。解析：利用直線與平面垂直的性質，直線上的任意點到平面的距離等于直線上的點到平面的垂線段的長度，由于垂線段長度相等，所以距離相等。14.答案：證明過程略。解析：利用直線與平面垂直的性質，以及平面之間的垂直關系，推導出兩條直線之間的垂直關系。六、應用題15.答案：直線l的方程為x-y+z=5解析：直線l平行于平面α，其方向向量與平面α的法向量n=(1,2,3)垂直，因此直線l的方向向量可以表示為(2,1,-1)。由于直線l過點P(1,2,3)，代入得2*1+1*2-1*3=2，所以直線l的方程為x-y+z=2，即x-y+z=5。16.答案：sinθ=√2/2解析：直線l與平面α所成