廣東省普寧市第一中學2015-2016學年高一上學期期中考試數學試題一、選擇題1.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$，若$a=1$，$b=0$，$c=-1$，則函數$f(x)$的圖像與x軸的交點坐標是（）A.$(0,0)$B.$(1,0)$C.$(-1,0)$D.無交點2.設$a$，$b$，$c$是實數，且$a^2+b^2=c^2$，則下列命題正確的是（）A.$a+b+c=0$B.$a-b+c=0$C.$a-b-c=0$D.以上都不對二、填空題3.已知函數$f(x)=2x+3$，則函數$f(x+1)$的圖像可看作函數$f(x)$的圖像向左平移（）個單位。4.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_5=10$，則該等差數列的公差為（）。5.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}$，若$0<x<1$，則函數$f(x)$的值域是（）。三、解答題6.解不等式組$\begin{cases}x-2>0\\x^2-3x+2<0\end{cases}$。四、解答題7.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求函數$f(x)$的極值。8.設向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,-2)$，求向量$\vec{a}$與$\vec$的點積。9.在平面直角坐標系中，點$A(2,3)$關于直線$x+y=1$的對稱點為$B$，求點$B$的坐標。五、解答題10.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3$，求證：數列$\{a_n\}$是等差數列。11.已知等比數列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_4=24$，求該等比數列的公比。12.已知函數$f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x-2}$，求函數$f(x)$的定義域。六、解答題13.已知函數$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$，求函數$f(x)$的值域。14.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，求$\cosA$。15.已知向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec=(2,-3)$，求向量$\vec{a}$與$\vec$的夾角余弦值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：B解析：因為$a=1$，$b=0$，$c=-1$，所以$f(x)=x^2-1$，函數$f(x)$的圖像與x軸的交點坐標是$(1,0)$。2.答案：C解析：因為$a^2+b^2=c^2$，根據勾股定理可知，$\triangleABC$是直角三角形，其中$a$，$b$是直角邊，$c$是斜邊。由于$a$，$b$，$c$是實數，故$a-b-c=0$。二、填空題3.答案：1解析：函數$f(x)=2x+3$，$f(x+1)=2(x+1)+3=2x+5$，函數$f(x+1)$的圖像可看作函數$f(x)$的圖像向左平移1個單位。4.答案：2解析：由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$，$a_5=10$，得$10=2+(5-1)d$，解得$d=2$。5.答案：$(0,+\infty)$解析：因為$0<x<1$，所以$f(x)=\frac{1}{x}$的值域是$(0,+\infty)$。三、解答題6.答案：$x\in(2,1)$解析：不等式組$\begin{cases}x-2>0\\x^2-3x+2<0\end{cases}$的解集是$x\in(2,1)$。四、解答題7.答案：極小值$f(-1)=2$，極大值$f(2)=-2$解析：對函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x_1=-1$，$x_2=\frac{4}{3}$。當$x=-1$時，$f(x)$取得極小值$f(-1)=2$；當$x=\frac{4}{3}$時，$f(x)$取得極大值$f(2)=-2$。8.答案：$-1$解析：向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,-2)$，$\vec{a}\cdot\vec=2\times1+3\times(-2)=-1$。9.答案：$B(-1,-2)$解析：點$A(2,3)$關于直線$x+y=1$的對稱點$B$滿足$\begin{cases}2+x=1\\3+y=1\end{cases}$，解得$B(-1,-2)$。五、解答題10.答案：證明見解析解析：由$a_{n+1}=2a_n+3$，得$a_{n+1}-1=2(a_n-1)$，又$a_1-1=0$，所以數列$\{a_n-1\}$是首項為0，公比為2的等比數列，即$a_n-1=0$，所以數列$\{a_n\}$是等差數列。11.答案：公比$q=2$解析：由等比數列的通項公式$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=3$，$a_4=24$，得$24=3q^3$，解得$q=2$。12.答案：$x\neq2$解析：函數$f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x-2}$的定義域是$x\neq2$。六、解答題13.答案：$[0,+\infty)$解析：函數$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$的值域是$[0,+\infty)$。14.答案：$\cosA=\frac{1}{2}$解析：由余弦定理得$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{49+64-25}{2\times7\times8}=\frac{1}{2}$。15.答案：$\cos<\vec{a},\vec>=-\frac{1}{5}$解析：向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec=(2,-3)$，$\cos<\vec{a},\vec>=\fra