2025年羅馬尼亞數學奧林匹克（RMOP）模擬試卷（數論與組合難題）競賽備考全書一、數論1.設正整數n，若n的各位數字之和為s(n)，且滿足s(n)=1，求證：n不是完全平方數。2.已知正整數a、b、c滿足a+b+c=2^3，且a^2+b^2+c^2=2^4，求證：a、b、c中至少有一個是奇數。3.設正整數n，若n的各位數字之和為s(n)，且n除以3余1，求證：n的各位數字之和s(n)也除以3余1。4.設正整數a、b、c滿足a^2+b^2+c^2=1，求證：a、b、c中至少有兩個是奇數。5.已知正整數n，若n除以4余3，求證：n的各位數字之和s(n)也除以4余3。二、組合1.設集合A={1，2，3，4，5}，集合B={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，從集合A中任取一個元素，從集合B中任取一個元素，求取出的兩個元素之和為偶數的概率。2.已知有5個球，編號為1、2、3、4、5，隨機將它們放入3個盒子中，求每個盒子中至少有一個球的概率。3.從0到9這10個數字中，任取5個不同的數字，組成一個五位數，求這個五位數是偶數的概率。4.設集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合B={2，4，6，8}，從集合A中任取一個元素，從集合B中任取一個元素，求取出的兩個元素之和為偶數的概率。5.從0到9這10個數字中，任取4個不同的數字，組成一個四位數，求這個四位數是偶數的概率。三、數論與組合結合1.已知正整數a、b、c滿足a^2+b^2+c^2=1，且a、b、c兩兩互質，求證：a、b、c中至少有一個是奇數。2.設正整數n，若n的各位數字之和為s(n)，且n除以5余2，求證：n的各位數字之和s(n)也除以5余2。3.設集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合B={2，4，6，8}，從集合A中任取一個元素，從集合B中任取一個元素，求取出的兩個元素之和為偶數的概率。4.從0到9這10個數字中，任取5個不同的數字，組成一個五位數，求這個五位數是偶數的概率。5.設正整數n，若n的各位數字之和為s(n)，且n除以7余3，求證：n的各位數字之和s(n)也除以7余3。四、數論與幾何結合1.在直角坐標系中，點P的坐標為(a,b)，其中a、b為正整數。若a^2+b^2=5，求點P的坐標(a,b)的所有可能值。2.已知正方形ABCD的邊長為2，點E在邊CD上，且CE=1，求三角形ABE的面積。3.圓O的半徑為r，圓O上有一點P，OP=r/2，求OP與圓心O的連線的斜率。4.在直角坐標系中，點A的坐標為(1,2)，點B的坐標為(-3,4)，求直線AB的方程。五、組合與概率1.有5張不同顏色的卡片，隨機從中抽取3張，求抽取的3張卡片顏色各不相同的概率。2.在一副52張的標準撲克牌中，隨機抽取一張，求抽到的牌是紅桃的概率。3.一個箱子里有3個白球、4個黑球、2個藍球，隨機從這個箱子中取出一個球，求取出的球是黑色的概率。4.從1到10這10個數字中，隨機選擇一個數字，求選擇的數字大于5的概率。六、數論與概率結合1.設正整數n，若n除以6余3，求n的各位數字之和s(n)除以6的余數。2.在一個袋子里有5個紅球、4個藍球、3個綠球，隨機從這個袋子中取出一個球，求取出的球是紅色的概率。3.從1到100這100個數字中，隨機選擇一個數字，求選擇的數字能被3整除的概率。4.設正整數a、b、c滿足a^2+b^2+c^2=30，求a、b、c中至少有一個是偶數的概率。本次試卷答案如下：一、數論1.解析：假設n是完全平方數，那么存在正整數m使得n=m^2。由于m^2的各位數字之和為m的各位數字之和的兩倍，因此n的各位數字之和s(n)是偶數。但題目條件給出s(n)=1，這是不可能的，因為任何正整數的各位數字之和要么是0，要么是偶數。因此，n不可能是完全平方數。2.解析：由于a^2+b^2+c^2=2^4，而2^4是4的倍數，所以a^2+b^2+c^2的奇偶性與a、b、c的奇偶性相同。因為a+b+c=2^3，即a+b+c是偶數，所以a、b、c中至少有一個是偶數。而偶數的平方仍然是偶數，所以a^2+b^2+c^2也是偶數，這與題目條件矛盾。因此，a、b、c中至少有一個是奇數。3.解析：設n的各位數字之和為s(n)，則n可以表示為n=9k+r，其中k是n中包含的9的個數，r是n除以9的余數（0≤r<9）。由于n除以3余1，即n=3m+1，將n表示為k和r的形式得到3m+1=9k+r。因為3m是3的倍數，所以r也必須是3的倍數。而0≤r<9，所以r只能是0、3、6或9。因此，s(n)是3的倍數，所以s(n)除以3余0，即s(n)也除以3余1。4.解析：假設a、b、c都是偶數，那么a^2、b^2、c^2也都是偶數。偶數的平方相加仍然是偶數，所以a^2+b^2+c^2也是偶數。這與題目條件a^2+b^2+c^2=1矛盾，因為1是奇數。因此，a、b、c中至少有一個是奇數。5.解析：假設n的各位數字之和為s(n)，則n可以表示為n=9k+r，其中k是n中包含的9的個數，r是n除以9的余數（0≤r<9）。由于n除以4余3，即n=4m+3，將n表示為k和r的形式得到4m+3=9k+r。因為4m是4的倍數，所以r也必須是4的倍數。而0≤r<9，所以r只能是0、4或8。因此，s(n)是4的倍數，所以s(n)除以4余0，即s(n)也除以4余3。二、組合1.解析：集合A中任取一個元素有5種可能，集合B中任取一個元素有9種可能，總共有5×9=45種取法。其中，兩個元素之和為偶數的情況有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共17種。所以概率為17/45。2.解析：有5個球，放入3個盒子中，每個盒子至少有一個球的情況有C(5,2)種（選擇2個球放入同一個盒子），然后剩下的3個球每個盒子一個，所以有C(5,2)×C(3,1)種。總共有3^5種放入方法，所以概率為C(5,2)×C(3,1)/3^5。3.解析：10個數字中任取5個數字，總共有C(10,5)種取法。其中，5個數字都是奇數的情況有C(5,5)種，5個數字都是偶數的情況也有C(5,5)種。所以概率為2×C(5,5)/C(10,5)。4.解析：與第一題類似，集合A中任取一個元素有5種可能，集合B中任取一個元素有4種可能，總共有5×4=20種取法。其中，兩個元素之和為偶數的情況有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,3)，(3,5)，(3,7)，(4,4)，(4,6)，(4,8)，共15種。所以概率為15/20。5.解析：與第三題類似，10個數字中任取4個數字，總共有C(10,4)種取法。其中，4個數字都是奇數的情況有C(5,4)種，4個數字都是偶數的情況也有C(5,4)種。所以概率為2×C(5,4)/C(10,4)。三、數論與組合結合1.解析：與第一題類似，假設a、b、c都是奇數，那么a^2、b^2、c^2也都是奇數。奇數的平方相加仍然是奇數，所以a^2+b^2+c^2也是奇數。這與題目條件a^2+b^2+c^2=1矛盾，因為1是奇數。因此，a、b、c中至少有一個是偶數。2.解析：與第三題類似，假設n的各位數字之和為s(n)，則n可以表示為n=9k+r，其中k是n中包含的9的個數，r是n除以9的余數（0≤r<9）。由于n除以5余2，即n=5m+2，將n表示為k和r的形式得到5m+2=9k+r。因為5m是5的倍數，所以r也必須是5的倍數。而0≤r<9，所以r只能是0、5或10。因此，s(n)是5的倍數，所以s(n)除以5余0，即s(n)也除以5余2。3.解析：與第一題類似，集合A中任取一個元素有5種可能，集合B中任取一個元素有4種可能，總共有5×4=20種取法。其中，兩個元素之和為偶數的情況有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,3)，(3,5)，(3,7)，(4,4)，(4,6)，(4,8)，共15種。所以概率為15/20。4.解析：與第三題類似，10個數字中任取5個數字，總共有C(10,5)種取法。其中，5個數字都是奇數的情況有C(5,5)種，5個數字都是偶數的情況也有C(5,5)種。所以概率為2×C(5,5)/C(10,5)。5.解析：與第三題類似，假設n的各位數字之和為s(n)，則n可以表示為n=9k+r，其中k是n中包含的9的個數，r是n除以9的余數（0≤r<9）。由于n除以7余3，即n=7m+3，將n表示為k和r的形式得到7m+3=9k+r。因為7m是7的倍數，所以r也必須是7的倍數。而0≤r<9，所以r只能是0、7或14。因此，s(n)是7的倍數，所以s(n)除以7余0，即s(n)也除以7余3。四、數論與幾何結合1.解析：點P的坐標滿足a^2+b^2=5，可能的坐標有(2,1)，(1,2)，(-2,1)，(-1,2)，(2,-1)，(1,-2)，(-2,-1)，(-1,-2)。2.解析：三角形ABE的面積可以通過底邊CD和高來計算。底邊CD的長度為2，高為AB的長度，即2√2。3.解析：由于OP=r/2，且OP是圓的半徑，所以OP與圓心O的連線是圓的半徑，斜率為0。4.解析：直線AB的斜率為(4-2)/(-3-1)=-1/2，通過點A(1,2)可以寫出直線的方程為y-2=-1/2(x-1)。五、組合與概率1.解析：抽取的3張卡片顏色各不相同，可以是紅、黑、藍，或者黑、紅、藍，或者藍、黑、紅。每種情況的概率為(1/5)×(1/9)×(3/9)×3=1/30，總概率為3/30=1/10。2.解析：抽到的牌是紅桃的概率為13/52=1/4。3.解析：取出的球是黑色的概率為4/9。4.解析：選擇的數字大于5的概率為5/10=1/2。六、數論與概率結合1.解析：設n的各位數字之和為s(n)，則n可以表示為n=9k+r，其中k是n中包含的9的個數，r是n除以9的余數（0≤r<9）。由于n除以6余3，即n=6m+3，將n表示為k和r的形式得到6m+3=9k+r。因