2025年高考數學模擬檢測卷（圓錐曲線專項）——基礎概念解析試題一、選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選出正確的一個。1.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則其短軸長為：A.2$\sqrt{2}$B.2$\sqrt{3}$C.2D.$\sqrt{2}$2.設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的漸近線方程為$y=\pm\frac{b}{a}x$，則其離心率$e$為：A.$\frac{a}{b}$B.$\frac{b}{a}$C.$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$D.$\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}$二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦點分別為$F_1(-\sqrt{1},0)$和$F_2(\sqrt{1},0)$，則橢圓的離心率為______。4.雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的漸近線方程為$y=\pm\frac{b}{a}x$，若雙曲線的實軸長為$2a$，則其離心率為______。三、解答題要求：寫出解題過程，求出答案。5.（1）求橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的焦點坐標和離心率；（2）求雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$的漸近線方程。四、解答題要求：寫出解題過程，求出答案。6.（1）已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的左、右頂點分別為$A_1(-3,0)$和$A_2(3,0)$，求橢圓的焦距；（2）已知雙曲線$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$的左、右頂點分別為$B_1(0,-4)$和$B_2(0,4)$，求雙曲線的實軸長。五、解答題要求：寫出解題過程，求出答案。7.（1）設橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$的一個焦點為$F(0,5)$，求橢圓的短軸長；（2）設雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$的一個漸近線方程為$y=\frac{3}{2}x$，求雙曲線的離心率。六、解答題要求：寫出解題過程，求出答案。8.（1）已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的離心率為$\frac{3}{4}$，求橢圓的焦距；（2）已知雙曲線$\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{9}=1$的離心率為$\frac{5}{3}$，求雙曲線的實軸長。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.2$\sqrt{2}$解析：橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c$為焦點到中心的距離，$a$為半長軸。已知離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。由于$a^2=b^2+c^2$，代入$c$的表達式得到$b^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2$，所以$b=\frac{1}{2}a$。橢圓的短軸長為$2b=2\cdot\frac{1}{2}a=a$。2.C.$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$解析：雙曲線的離心率$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。由于漸近線方程為$y=\pm\frac{b}{a}x$，可以直接得到離心率的表達式。二、填空題3.$\frac{1}{2}$解析：橢圓的焦距$c^2=a^2-b^2$，其中$a$為半長軸，$b$為半短軸。已知$a^2=4$，$b^2=3$，則$c^2=4-3=1$，所以$c=1$。橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。4.$\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}$解析：雙曲線的離心率$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。已知實軸長為$2a$，則$a=\frac{2a}{2}=a$。由于漸近線方程為$y=\pm\frac{b}{a}x$，可以得到$b^2=9$，代入離心率的表達式得到$e=\frac{5}{2}$。三、解答題5.（1）焦點坐標為$(\pm\sqrt{17},0)$，離心率為$\frac{\sqrt{17}}{5}$解析：橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$為半長軸，$b$為半短軸。由于$a^2=25$，$b^2=16$，則$a=5$，$b=4$。焦距$c^2=a^2-b^2=25-16=9$，所以$c=3$。焦點坐標為$(\pmc,0)=(\pm\sqrt{17},0)$。離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{17}}{5}$。（2）漸近線方程為$y=\pm\frac{3}{2}x$解析：雙曲線的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$為實半軸，$b$為虛半軸。由于$a^2=4$，$b^2=9$，則$a=2$，$b=3$。雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{3}{2}x$。四、解答題6.（1）焦距為$2\sqrt{5}$解析：橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$為半長軸，$b$為半短軸。已知左、右頂點坐標分別為$(-3,0)$和$(3,0)$，則$a=3$。焦距$c^2=a^2-b^2$，由于$b^2$未知，需要計算。橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}$，已知$e=\frac{3}{4}$，代入得到$c=3e=3\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$。焦距$c^2=a^2-b^2$，代入$a=3$和$c=\frac{9}{4}$得到$b^2=3^2-\left(\frac{9}{4}\right)^2=5$，所以$b=\sqrt{5}$。焦距為$2c=2\sqrt{5}$。（2）實