第二十八章銳角三角函數28.1銳角三角函數第1課時銳角的正弦新課導入為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上建一座揚水站，對坡面綠地進行噴灌.先測得斜坡的坡角(∠A)為30°，為使出水口的高度為35m，需要準備多長的水管？

從上述情境中，可以將這個問題歸結為：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35cm.求AB.

1ABC解：根據“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”,即可得AB=2BC=2×35=70(m).也就是說，需要準備70m長的水管.

探究新知(1)問題中是根據什么求出水管長度的？(2)如果出水口的高度是40m時，需要準備多長的水管？相似的直角三角形“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”80m(3)如果出水口的高度是am時，需要準備多長的水管？你從中發現了什么規律？水管的長度=2×出水口的高度2am；(4)如果出水口的高度是50m時，需要準備多長的水管？由此你能得出什么結論？100m；在直角三角形中，如果一個銳角的度數等于30°，這個角的對邊與斜邊的比都等于．

2思考任意畫一個Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，計算∠A

的對邊與斜邊的比

解：∵Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得

AB2=AC2+BC2=2BC2

(1)已知條件是什么？要求的是什么？我們可以根據什么定理來求解？根據勾股定理，你列出的等式是什么？的值與三角形的大小有關系嗎？由此，你能得出什么結論？條件：等腰直角三角形.求等腰直角三角形銳角對邊與斜邊的比.勾股定理：在一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方.

(2)當∠A是任意一個確定的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值呢？在Rt△ABC中，當銳角A的度數一定時，無論這個三角形大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值.ABCC'A'B'解：因為∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.因此

任意畫Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關系？

3知識歸納1．在Rt△ABC中，當銳角A的度數一定時，無論這個直角三角形大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個_________．固定值2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的________________叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝____．對邊與斜邊的比

例題與練習例1

如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，求sinA和sinB

的值.ABC43(1)ABC135(2)解：如圖(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得如圖(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得

ABC43(1)ABC135(2)例2

如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于點E.設∠ADE＝α且sinα＝45，AB＝4，求AD的長．解:∵∠ADE＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠BAC＝90°，∴∠ADE＝∠BAC，

設AC＝5x，BC＝4x，則AB＝3x＝4，

例3

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑．若⊙O的半徑為，AC＝2，求sinB的值．

ABODCABODC解：連接CD.∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD=90°，

由圓周角定理，得∠B＝∠D，課堂小結正弦的定義及運用∠A的對邊斜邊sinA=

ABCcba斜邊對邊隨堂檢測1．教材P64練習第1題．2．如圖，在⊙O中過直徑AB延長線上的點C作⊙O的一條切線，切點為D.若AC＝7，AB＝4，則sinC的值為____.

3．如圖，把含30°角的三角尺ABC繞點B按逆時針方向旋轉90°到三角尺DBE的位置，連接AD，求sin∠ADE的值．AEDBCAEDBCF

解：過點E作EF⊥AD于點F.