第二十七章

相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形應用舉例新課導入你看過或聽過解密埃及金字塔的故事嗎？你知道古希臘數學家泰勒斯是怎樣求出金字塔的高度的嗎？探究新知據傳說，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度.

1如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO.解：太陽光是平行光線，因此∠BAO=∠EDF．又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF．

因此金字塔的高度為134m.

(1)本例中是如何構造相似三角形求高的？太陽光是平行光線,金字塔的影子和木棍的影子在同一時刻的投影可以構成兩個相似的三角形，相似三角形對應高的比等于相似比.(2)在太陽光下，如何利用影長求物體高度，你能從中得出什么結論？表達式：物1高：物2高=影1長：影2長測量不能到達頂部的物體的高度，可以用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q

和S，使點P，Q，S

共線且直線PS與河垂直，接著在過點S

且與PS

垂直的直線a

上選擇適當的點T，確定PT

與過點Q

且垂直PS

的直線b

的交點R．已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據這些數據，計算河寬PQ．

2PRQSbTa

PQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90(m).因此，河寬大約為90m.解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，PRQSbTa∴△PQR∽△PST.

(1)構造相似三角形求河寬，至少需要測量幾個數據？至少需要測量三個數據，PRQSbTaQS，

ST，

QR的三個數據.(2)利用全等能求河寬嗎？請設計出具體方案．PQaORbS如圖，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q

，連接點P，Q，使直線PQ

與河垂直，接著在垂直PQ

的直線a

上取點O、R．使點O是線段QR的中點，過點R做垂直于直線a的直線b，連接OP，并延長直線OP交直線b于點S.由此△OPQ≌△OSR，河寬PQ=SR.ASA知識歸納1．同一時刻的太陽光線下，物高與影長成比例．2．利用相似三角形解決問題的基本方法是：構造相似三角形，利用相似三角形的性質求解．例題與練習例1

如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m，一個人估計自己眼睛距離地面1.6m，她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路

l從左向右前進，當她與左邊較低的樹的距離小于多少時，就看不到右邊較高的樹的頂端C

了?(1)(2)分析：如圖(1)，設觀察者眼睛的位置(視點)為點F，畫出觀察者的水平視線FG，FG交AB，CD于點H，K.視線FA，FG的夾角∠AFH

是觀察點A

的仰角.類似地，∠CFK

是觀察點C

時的仰角，由于樹的遮擋，區域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區域(盲區)之內.(1)(2)解：如圖(2)，假設觀察者從左向右走到E點時，她的眼睛的位置點E與兩棵樹的頂端A，C恰在一條直線上.

解得EH=8（m）由此可見，當她與左邊較低的樹的距離小于8m時，就不能看到右邊較高的樹的頂點C了.∴△AEH∽△CEK.∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.例2

九年級(1)班課外活動小組利用標桿測量學校旗桿的高度，已知標桿高度CD＝3m，標桿與旗桿的水平距離BD＝15m，人的眼睛與地面的高度EF＝1.6m，人與標桿CD的水平距離DF＝2m，求旗桿AB的高度．解：由已知得CG∥AH，∴△CGE∽△AHE，∴AH＝11.9(m)

∴AB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)．答：旗桿AB的高度為13.5m.

例3

如圖，花叢中有一路燈桿AB.在燈光下，小明在點D處的影長DE＝3m，沿BD方向行走到點G，DG＝5m，這時小明的影長GH＝5m．如果小明的身高為1.7m，求路燈桿AB的高度．(精確到0.1m)解:根據題意，得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH.在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，

答：路燈桿AB的高度約為6.0m.又∵CD＝FG＝1.7m，解得BD＝7.5m．將BD＝7.5m代入①，得AB＝5.95m≈6.0m.

課堂小結1．測量不能直接測量的物體的高度：2．測量不能直接測量的兩點間的距離：3．把實際問題轉化成有關相似三角形的數學模型.通常用同一時刻物高與影長成比例解決．通常構造相似三角形求解．隨堂檢測1．教材P41練習第1，2題．2．如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5m有一棵樹，在北岸邊每隔50m有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15m的點P處看北岸，發現北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為_____m.22.53．如圖，為了測量一棵樹CD的高度，測量者在點B處立一根高為2m的標桿，觀測者站在點F處時，觀測者的眼睛E與標桿頂A和樹頂C在同一條直線上，若測量得到BD＝6.4m，FB＝1.6m，EF＝1.6m，求樹的高度．解:過點E作EG⊥CD于點G，交AB于