第二十七章

相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定第3課時兩角分別相等的兩個三角形相似新課導入1.觀察這樣的兩個三角形相似嗎？2.如果一個三角形中的兩個角與另一個三角形中的兩個角對應相等，這樣的兩個三角形相似嗎？相似相似探究新知觀察兩副三角尺,其中有同樣兩個銳角（30°與60°，或45°與45）的兩個三角尺大小可能不同，但它們看起來是相似的。

1你能證明它們相似嗎？(1)作△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，分別度量這兩個三角形的邊長，計算的值，你有什么發現？由此你能做出一個怎樣的猜想？BACA＇B＇C＇

猜想：△ABC∽△A'B'C'

(2)在△ABC

與△A'B'C'中，如果滿∠B=∠B',∠C=∠C'，那么能否判定這兩個三角形相似？A＇B＇C＇BAC證明：在A'B'上截取A'D=AB，過D作DE∥B'C'交A'C'于點E，∵DE∥B'C'，∴△A'DE∽△A'B'C',又∵∠A=∠A',∠B=∠B',DE∥B'C',AB=A'D,∴∠A'DE=∠B'=∠B,∴△ABC≌△A'DE,∴△ABC∽△A'B'C.A＇B＇C＇BACDE一般地，我們有利用兩組角判定兩個三角形相似的定理：∵∠A=∠A'∴△ABC∽△A′B′C'.兩角分別相等的兩個三角形相似.ABCA'B'C'思考:我們知道，兩個直角三角形全等可以用“HL”來判定，那么滿足斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似嗎？

2(1)直角三角形三邊存在什么關系？可以證明直角三角形三邊關系：任意兩邊長度之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。如果直角三角形兩直角邊分別為A和B，斜邊為C，那么A2+B2=C2(2)已知兩邊成比例，如何判定兩直角三角形相似？如圖，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°,∠C'=90°,

，求證Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.ABCA'B'C'分析：要證Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.可設法證

若設

則只需證

ABCA'B'C'證明：

則AB=kA'B',AC=kA'C'.由勾股定理，得

ABCA'B'C'

ABCA'B'C'

∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.知識歸納1．兩角分別相等的兩個三角形相似．2．兩直角三角形相似的判定方法：①一銳角對應相等；②兩直角邊對應成比例；③斜邊和一直角邊對應成比例．3．思考：同學們總結一下，兩等腰三角形相似的判定方法有哪些？兩等邊三角形，兩等腰直角三角形相似的判定方法呢？兩等腰三角形相似的判定方法有：所有等邊三角形都相似，所有等腰直角三角形都相似．①頂角相等；②底角相等；③腰和底對應成比例．例題與練習例1

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一點，AE=5，ED⊥AB，垂足為D，求AD的長.DABCE解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∵∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED∽△ABC.

DABCE如果兩個直角三角形滿足一個銳角相等，或兩組直角邊成比例，那么這兩個直角三角形相似.例2

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D，過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E，連接BC交AD于點F.若AB＝6，AD＝5，求AF的長．ABCEDFO解：如圖．連接BD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2－AD2＝11.∵∠2＝∠3，∠2＝∠1，∴∠1＝∠3.∵∠ADB＝∠BDF＝90°，∴△DFB∽△DBA，ABCEDFO123

∴BD2＝AD·DF，

例3

如圖，在△ABC與△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝10cm，AB＝8cm，如果圖中的兩個直角三角形相似，求AD的長．解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，

∴當△ABC∽△ADB時，∴AD＝6.4cm；

當△ABC∽△BDA時，

∴BD＝6.4cm，綜上所述，AD的長為6.4cm或4.8cm.課堂小結1．兩角分別相等的兩個三角形相似.2．如果兩個直角三角形滿足一個銳角相等，或兩組直角邊成比例，那么這兩個直角三角形相似.3．所有等邊三角形都相似，所有等腰直角三角形都相似．隨堂檢測1．教材P36練習第1，2，3題．2．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△AED的是(

)DA.∠AED＝∠B

B.∠ADE＝∠C

3．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，則當A′B′＝___時，△ABC∽△A′B′C′.10證明：∵AB＝AC，∴AB＝