第二十七章

相似27.1圖形的相似27.2.1相似三角形的判定第2課時三邊成比例或兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似新課導入1.如圖，AB∥CD，AE＝3，DE＝2，則＝____．

2.如圖，已知AB∥CD∥EF，則下列結(jié)論不正確的是(

)C

3．判定兩個三角形全等我們有SSS，SAS，ASA，AAS等方法，類似地，判定兩個三角形相似是否也有類似的簡單方法呢？探究新知任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍.度量這兩個三角形的角，他們分別相等嗎？這兩個三角形相似嗎？

1通過測量不難發(fā)現(xiàn)∠A=∠A‘，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因為兩個三角形的邊對應成比例，所以△ABC

∽△A′B′C′.A′B′C′CBA如圖，在△ABC和△A'B'C'中，

,求證△ABC∽△A'B'C'.(1)改變?nèi)我饨腔騥值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？ABCA'B'C'證明:在線段A′B′

(或延長線)上截取AD=AB，過點D作DE∥B′C′

交A′C′于點E.∵DE∥BC，∴△A′DE∽△A′B′C′.

A′D=AB，

ABCA'B'C'DE∴DE=BC，A′E=AC.

∴△A′DE≌△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′.△A'DE是證明的中介，它把△ABC與△

A'B'C'聯(lián)系起來.ABCA'B'C'DE由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理：

∴△ABC∽△A′B′C′.三邊成比例的兩個三角形相似．ABCA'B'C'全等三角形還可以用SAS來判定，那么相似三角形呢？能不能通過兩邊和夾角來判定兩個三角形相似呢？

2ABCA'B'C'(1)如圖，在△ABC和△A'B'C'中,已知∠A=∠A',求證△ABC∽△A'B'C'.

證明：在A'B'上截取A'D=AB，作DE∥B'C'交A'C'于點E.∵DE//B'C'又∵∠A=∠A',ABCA'B'C'DE∴△A'DE∽△A'B'C',

又∵A'D=AB，

∴A'E=AC，

∴△A'DE≌△ABC,∴△A'B'C'≌△ABC.由此我們得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

∴△ABC∽△A′B′C′.ABCA'B'C'(2)若把圖中的條件“∠A＝∠A′”換成“∠B＝∠B′”，那么兩個三角形一定相似嗎？不一定，如下圖，因為不能證明構(gòu)造的三角形和原三角形全等.A′B′DC′ABC知識歸納1．三邊________的兩個三角形相似．2．兩邊成比例且夾角_______的兩個三角形相似．成比例相等例題與練習例1

根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.（1）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm.（2）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解:(1)相似.理由如下：∵∴∴△ABC∽△A′B′C′.

(2)相似.理由如下：∵∴又∵∠A'=∠A,

例2

在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC與△DFE相似，需添加的一個條件是_____________________．(寫出一種情況即可)BC＝2EF(或∠A＝∠D)例3

如圖，在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果邊AB上的點P使得以P，A，D為頂點的三角形和以P，B，C為頂點的三角形相似，求AP的長．解：設AP＝x，則BP＝7－x.(1)當△APD∽△BCP時，則

，即

，解得x＝1或x＝6，符合條件；(2)當△APD∽△BPC時，則

，即

，解得x＝

，符合條件．綜上所述，AP的長是1或6或.

課堂小結(jié)1．三邊成比例的兩個三角形相似．2．兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．ABCA'B'C'隨堂檢測1．教材P34練習第1，2，3題．2．如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中點，在AB上取一點F，使△CBF與△CDE相似，則BF的長是(

)

A．5

B．8.2

C．6.4

D．1.8D3．如圖，在正方形網(wǎng)格上畫出梯形ABCD，連接BD，則∠BDC的度數(shù)是_______．135°4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分別是AB，AC上的點，且AD·AB＝AE·